玩转地图投影公式，通过例题对兰伯特投影与墨卡托投影求取正反解
???? hello~~今天yogurt要和大家分享的是如何玩轉地圖投影的公式，由正解公式求解：(Lat,Lon)-->(E,N)，或者由反解公式求解：（E,N）-->（Lat,Lon）。關于怎么進行投影？大家可以參考我之前寫過的一篇《.gen地圖文件的投影編程實現(xiàn)（以墨卡托投影和蘭伯特投影為例）》http://www.cnblogs.com/to-sunshine/p/6048438.html。接下來，yogurt先給大家簡單介紹一下地球橢球及其參數(shù)，還有蘭伯特投影和墨卡托投影公式，讓大家對于投影這個概念和過程有個大致地了解。然后，通過兩個例子分別對蘭伯特投影和墨卡托投影進行正反算求解。
============================yogurt小課堂開課了===========================
??? 什么叫做地球橢球？我們都知道地球是一個兩邊寬上下扁的不規(guī)則橢球體。那么為了簡化計算，我們把這個橢球體近似看作一個標準橢球體，它擁有以下參數(shù)：
長半徑：a??? ； ??????????????????????????????? 短半徑：b??? ；
扁率：
第一偏心率：??????? ???? 第二偏心率：???????
?
扁率與偏心率的關系為：e 2 = 2 X f - f 2??? 。
??? 當然，地球橢球體與普通標準橢球體還是有一定區(qū)別的，下面的參數(shù)則是地球橢球體特有的：???? 首先，我們要來了解這兩個概念：
法截面：設過橢球表面上任意一點A做法線AL，通過法線的平面所截成的截面；
子午圈截面：包含子午圈的橢球體截面；? ? ?? -->?? 對應曲率半徑 （該半徑對應的圓弧是與所有經線相平行的）
卯酉圈截面：垂直于子午圈截面的法截面。 ?? -->?? 對應曲率半徑（該半徑cos之后得到的半徑是對應的緯線圈上的半徑，對應的圓弧是與所有緯線相平行的）
如圖：
?
假設某點?? 緯度：ρ??? 經度：λ
由?? 弧長 l = 半徑 r X? 弧度φ? 得到：
南北方向弧長：dN = M X dρ?? ，??? 東西方向弧長：dE = （N X cosρ） X dλ??? 。
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???
??? 什么叫做地圖投影呢？即：建立平面上的點（用平面直角坐標或極坐標表示） 和地球表面上的點（用緯度Φ和經度λ表示）之間 的函數(shù)關系，用數(shù)學表達這種關系，就是：
??? 蘭伯特投影：是等角正軸割圓錐投影；??????? 墨卡托投影：是等角正切圓柱投影。
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???
1、? 利用蘭伯特等角投影正解和反解公式進行求解
正解公式由(Lat,Lon)à(E,N)：
注：設原點緯度為，原點經度為，第一標準緯線φ1，第二標準緯線φ2，則：
（來自我老師課件）
反解公式由（E,N）à（Lat,Lon）：
注：設原點緯度為，原點經度為，第一標準緯線φ1，第二標準緯線φ2，則：
（來自我老師課件）
?
2、? 利用墨卡托投影的正解和反解公式進行求解
正解公式由（B，L）à（X，Y）：
注：設標準緯度B0，原點緯度0，原點經度L0
（來自我老師課件）
?
反解公式由（X，Y）à（B，L）：
注：設標準緯度B0，原點緯度0，原點經度L0
（來自我老師課件）
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=================================下課了================================
??? 下面用兩道例題來實踐一下這個正反解算過程。
??? 第一題：根據(jù)Clarke 1986橢球體及以下參數(shù)，利用蘭伯特投影求解 Lat = 28°30’ N ，Lon = 96° W的N、E坐標，然后反算Lat/Lon，寫出主要步驟。已知該橢球體的參數(shù)如下：
??? a = 6378206.400 m??? ?? 1/f=294.97870????
??? 原點緯度: 27°50’N????? ?? 原點經度: 99° W
??? 第一標準緯線緯度: 28°23’ N??????? 第二標準緯線緯度：30°17’ N
??? 東偏移: 609,600 meter?????? 北偏移: 0 meter
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一、正解：
1、參數(shù)分析：
由公式
可知，需要求出未知參數(shù)r、rf和角度，這三個參數(shù)也有求解公式。
觀察參數(shù)的求解公式：
可知，m公式可以算出m1和m2,；t公式可以算出t1和t2和tf；n和f的值是唯一的；還需要根據(jù)扁率f算出橢圓的第一偏心率e。
?
2、求解過程：
（1）首先根據(jù)f的值求出基本參數(shù)e；
（2）然后就可以根據(jù)e的值和已知點的緯度以及第一和第二標準緯線算出m1、m2和t、t1、t2、tf的值；
（3）接著就可以根據(jù)m1、m2和t1、t2算出n的值；
（4）再根據(jù)m1、t1和n可以算出未知參數(shù)角度和F；
（5）最后根據(jù)這些參數(shù)可以算出最后的未知參數(shù) r 和 rf 的值。
（6）將求解出來的r和角度帶入公式，得到投影后的經度；
將求解出來的rf和角度帶入公式，得到投影后的緯度。
?
3、結果：（903253.1578,169962.9044），過程超級難算的，這個結果yogurt也不敢保證正確哦（〒_〒）
?
二、反解：
1、參數(shù)分析：
由公式：
可知，需要求出未知參數(shù)t’、e以及 θ‘ 和n，尤其第一個公式未知數(shù) φ 同時在等式的兩側就需要迭代直到兩次迭代的結果非常接近為止，另外的四個參數(shù)也有求解公式。
觀察參數(shù)的求解公式：
可知，Ef、Nf是題目中已知的假東和假北值，e、n、F、rf可以用正解中算出的值對應，剩下的r’、t’、角度’是需要求的。
?
2、求解過程：
（1）根據(jù)E、Ef和rf、N、Nf求出r’和角度’；
（2）根據(jù)r’的值和a、F、n求出t’；
（3）最后把t’和e帶入到公式，假設 φ 的值為25°N帶入公式右邊，
計算之后得到一個新的 φ1，將 φ1帶入公式右邊，計算得到 φ2，重復帶入公式右邊，直到某個 φ 帶入后算出來的 φ 值和帶入前非常接近為止，得到 φ 最終的結果；
把角度 θ’、和n還有原點經度帶入公式，得到投影前的經度值。
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3、結果：（96,28.5）過程超級難算的，這個結果yogurt也不敢保證正確哦（〒_〒）
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? ? 第二題：根據(jù)Krassowski 1940橢球體及以下參數(shù)，利用墨卡托投影求解 Lat = 53°00’ N ，Lon = 53° E的N、E坐標，然后反算Lat/Lon，寫出主要步驟。已知該橢球體的參數(shù)如下：
??? a = 6378245.0 m ? ? ? 1/f = 298.3
??? 原點經度：51° W??????? 第一標準緯線緯度：42° N
??? 西偏移：300,000 meter???????? 北偏移：300,000 meter
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?
一、正解：
1、參數(shù)分析：
由公式：
可知，需要求出未知參數(shù)e和K，K也有求解公式。
觀察參數(shù)的求解公式：
?
可知，除了題目已知參數(shù)外，還需要算出橢球體的短半軸和第二偏心率e’。
?
2、求解過程：
（1）根據(jù)扁率 f 和第一偏心率的關系算出第一偏心率e；
（2）根據(jù) e 和 a 的關系可以算出短半軸 b 的值；
（3）根據(jù) a 和 b 可以算出第二偏心率 e’；
（4）根據(jù) K 的求解公式，利用a、b和 e’ 以及標準緯度 B0 的值算出K；
（5）將K和e代入公式，得到投影后的緯度；將K代入公式，得到投影后的經度值。
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3、結果：（-162372.5867,5067861.1471）同樣，過程超級難算的，這個結果yogurt也不敢保證正確哦（〒_〒）
?
二、反解：
1、參數(shù)分析：
由公式其中參數(shù)EXP為自然對數(shù)底，
可知其他所需的參數(shù)分別是K和e可以用正解中算出值，以及題目中已知的原點緯度L0。
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2、求解過程：
（1）根據(jù)Y、K和原點經度L0，利用公式直接得到投影前的經度；
根據(jù)EXP、K、X和e的值帶入公式，假設B的值為50°N帶入公式右邊，，得到一個新的B1，再將B1帶入公式右邊得到B2，重復帶入，直到帶入前和帶入后的值非常接近時為止，得到投影前的緯度值。
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3、結果：（53,53）同樣，過程超級難算的，這個結果yogurt也不敢保證正確哦（〒_〒）~~
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??? 好啦，今天yogurt就和大家講到這里啦，大家有什么不明白的可以評論提問，我看到就會解答噠~~
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轉載于:https://www.cnblogs.com/to-sunshine/p/7646162.html
總結
以上是生活随笔為你收集整理的玩转地图投影公式，通过例题对兰伯特投影与墨卡托投影求取正反解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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