8.拉普拉斯變換

一、拉普拉斯變換定義

要知道不是所有函數(shù)傅里葉變換都存在，為了找到收斂變換，在傅里葉變換基礎(chǔ)上，信號(hào)乘以一個(gè)衰減因子$e^{?\sigma t}$于是得到拉普拉斯變換對(duì)：
$$\begin{array}{rl}{F}_{(}s)& ={\int }_0^{\infty }f(t)e^{?st}dt\\ f(t)& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{\sigma ?j\infty }^{\sigma +j\infty }F(s)e^{st}ds\end{array}$$

分析發(fā)現(xiàn)拉氏正變換是一個(gè)定積分，拉氏反變換是復(fù)變函數(shù)積分。

二、常用拉普拉斯變換
$$u(t)\leftarrow \to \frac{1}{s}$$

$$e^{?at}=\frac{1}{s+a}(\sigma >?a)$$

$$\delta (t)\leftarrow \to 1$$

三、拉普拉斯變換基本性質(zhì)

? 1.線性疊加特性

?

? 2.原函數(shù)微分
$$\frac{df(t)}{dt}\leftarrow \to sF(s)?f(0_{?})$$
? 3.原函數(shù)積分
$${\int }_{?\infty }^{t}f(\tau )d\tau =\frac{F(s)}{s}+\frac{f^{?1}(0)}{s}$$
? 4.卷積
$$f_1(t)?f_2(t)\leftarrow \to F_1(s)F_2(s)$$

四、拉普拉斯逆變換

? 1.部分分式分解

? 2.留數(shù)法

五，RLC元件的時(shí)域關(guān)系

$$\begin{array}{rl}{v}_R(t)& =R{i}_R(t)\\ v_L(t)& =L\frac{d{i}_L(t)}{dt}\\ v_C(t)& =\frac{1}{C}{\int }_{?\infty }^t{i}_C(\tau )d\tau \end{array}$$

故不考慮初始條件得到S域的元件等價(jià)阻抗模型
$$R，sL，\frac{1}{sC}$$
六、系統(tǒng)函數(shù)
$$H(s)\leftarrow \to h(t)$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的8.拉普拉斯变换的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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