實驗六 拉普拉斯變換及其逆變換

一、目的

(1)掌握連續系統及信號拉普拉斯變換概念

(2)掌握利用MATLAB繪制系統零極點圖的方法

(3)掌握利用MATLAB求解拉普拉斯逆變換的方法

二、拉普拉斯變換曲面圖的繪制

連續時間信號的拉普拉斯變換定義為:

(6-1)

其中，若以為橫坐標(實軸)，為縱坐標(虛軸)，復變量就構成了一個復平面，稱為平面。

顯然，是復變量的復函數，為了便于理解和分析隨的變化規律，可以將寫成：

(6-2)

其中，稱為復信號的模，而則為的幅角。

從三維幾何空間的角度來看，和對應著復平面上的兩個平面，如果能繪出它們的三維曲面圖，就可以直觀地分析連續信號的拉普拉斯變換隨復變量的變化規律。

上述過程可以利用MATLAB的三維繪圖功能實現。現在考慮如何利用MATLAB來繪制平面的有限區域上連續信號的拉普拉斯變換的曲面圖，現以簡單的階躍信號為例說明實現過程。

我們知道，對于階躍信號，其拉普拉斯變換為。首先，利用兩個向量來確定繪制曲面圖的平面的橫、縱坐標的范圍。例如可定義繪制曲面圖的橫坐標范圍向量x1和縱坐標范圍向量y1分別為：

x1=-0.2:0.03:0.2;

y1=-0.2:0.03:0.2;

然后再調用meshgrid()函數產生矩陣s，并用該矩陣來表示繪制曲面圖的復平面區域，對應的MATLAB命令如下：

[x,y]=meshgrid(x1,y1);

s=x+i*y;

上述命令產生的矩陣包含了復平面， 范圍內以時間間隔0.03取樣的所有樣點。

最后再計算出信號拉普拉斯變換在復平面的這些樣點上的值，即可用函數mesh()繪出其曲面圖，對應命令為：

fs=abs(1./s);

mesh(x,y,fs);

surf(x,y,fs);

title('單位階躍信號拉氏變換曲面圖');

colormap(hsv);

axis([-0.2,0.2,-0.2,0.2,0.2,60]);

rotate3d;

執行上述命令后，繪制的單位階躍信號拉普拉斯變換曲面圖如圖6-1所示。

例6-1：已知連續時間信號，求出該信號的拉普拉斯變換，并利用MATLAB繪制拉普拉斯變換的曲面圖。

解：該信號的拉普拉斯變換為：

利用上面介紹的方法來繪制單邊正弦信號拉普拉斯變換的曲面圖，實現過程如下：

%繪制單邊正弦信號拉普拉斯變換曲面圖程序

clf;

a=-0.5:0.08:0.5;

b=-1.99:0.08:1.99;

[a,b]=meshgrid(a,b);

d=ones(size(a));

c=a+i*b;%確定繪制曲面圖的復平面區域

c=c.*c;

c=c+d;

c=1./c;

c=abs(c);%計算拉普拉斯變換的樣值

mesh(a,b,c);%繪制曲面圖

surf(a,b,c);

axis([-0.5,0.5,-2,2,0,15]);

title('單邊正弦信號拉氏變換曲面圖');

colormap(hsv);

上述程序運行結果如圖6-2所示。

二、由拉普拉斯曲面圖觀察頻域與復頻域的關系

如果信號的拉普拉斯變換的極點均位于平面左半平面，則信號的傅立葉變換與存在如下關系：

(6-3)

即在信號的拉普拉斯變換中令，就可得到信號的傅立葉變換。從三維幾何空間角度來看，信號的傅立葉變換就是其拉普拉斯變換曲面圖中虛軸所對應的曲線。可以通過將曲面圖在虛軸上進行剖面來直觀的觀察信號拉普拉斯變換與其傅立葉變換的對應關系。

例6-2：試利用MATLAB繪制信號的拉普拉斯變換的曲面圖，觀察曲面圖在虛軸剖面上的曲線，并將其與信號傅立葉變換繪制的幅度頻譜相比較。

解：根據拉普拉斯變換和傅立葉變換定義和性質，可求得該信號的拉普拉斯變換和傅立葉變換如下：

利用前面介紹的方法繪制拉普拉斯變換曲面圖。為了更好地觀察曲面圖在虛軸剖面上的曲線，定義繪制曲面圖的S平面實軸范圍從0開始，并用view函數來調整觀察視角。實現命令如下：

clf;

a=-0:0.1:5;

b=-20:0.1:20;

[a,b]=meshgrid(a,b);

c=a+i*b;%確定繪圖區域

c=1./((c+1).*(c+1)+1);

c=abs(c);%計算拉普拉斯變換

mesh(a,b,c);%繪制曲面圖

surf(a,b,c);

view(-60,20)%調整觀察視角

axis([-0,5,-20,20,0,0.5]);

title('拉普拉斯變換(S域像函數)');

col

總結

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