最近在項目中需要在激光雷達（Lidar）和相機（Camera）之間進行標定，即需要標定出相機內參和外參，使用的標定方法是張正友標定法，這里給出其數學理論推導過程。

論文原文：《A Flexible New Technique for Camera Calibration》

論文翻譯：https://blog.csdn.net/humanking7/article/details/46689293

參考資料：https://blog.csdn.net/hongbin_xu/article/details/78965037

目錄

1.基本方程

2.標定平面到圖像平面的單應性(Homography)

3.內參約束條件

4. 求相機標定參數

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1.基本方程

這里參考原論文的符號規定，2維點表示為：，三維點表示為：。

對應的齊次表示為： ，。則三維點和二維點之間的關系可以寫為：。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

其中：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

為任意比例因子，都是相機外參，用于將外界坐標通過旋轉和平移操作轉換為相機坐標。為旋轉矩陣，為平移向量。A是相機內參，是坐標的主點，和是圖像在軸和軸的比例因子，是描述兩個坐標軸親傾斜角的參數（如果兩個坐標軸相互垂直，則=0，默認為0）。

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2.標定平面到圖像平面的單應性(Homography)

設的第列旋轉矩陣為，那么可以表示為：

代入原方程中：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

不失一般性，假設標定平面在世界坐標系中Z坐標為0，則方程簡化為：? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???

同理，齊次坐標此時為：。

因此點和它在圖像上的映射點之間的關系可以使用單應矩陣H來表示：

????????????????????????????????????????????????????????????
很顯然，是一個維度為3×3的矩陣。其中為內參矩陣，為外參矩陣。

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3.內參約束條件

令，則有：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

其中中λ是任意的標量。

因為旋轉矩陣的每一列兩兩正交，即與正交，可以得到兩個約束條件：

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

從前面的公式可的方程組：

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

可以推導出：

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

代入可得：

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????

?????????????????????????????????????????????????????????????????????

也即：

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

對于矩陣來說，它是一個3×3的矩陣，有9個參數，那么就有8個自由度。對應的外參有6個（旋轉矩陣有3個，平移向量有3個）。下面我們來求解相機標定參數。

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4. 求相機標定參數

為方便討論，定義：

???????????????????????????????????????????????????????????????????????

且已知，則：

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????

則為：

????????????????????????????????????????????????????????????

不難發現是對稱的，我們可以使用6個變量來表示出。定義一個6維向量：

??????????????????????????????????????????????????????????????????????

令的第列，對于，則有：

??????????????????

代入，則上式簡化為：

?????????????????????????????????????????????????????????????????????? ? ? ? ??

其中：

??????????????????????????????????????????????????????????????????

回到我們前面推導出的約束條件：

????????????????????????????????????????????????????????????? ? ? ? ? ??

?????????????????????????????????????????????????????????????????

這兩個約束條件可以改寫為齊次形式：

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

用一個新的矩陣來表示這兩個式子：

??????????????????????????????????????????????????????????????????

如果觀察了n張圖片，那么可以得到n個方程V?b=0。我們想要解出b，b是一個6維向量，要求出唯一解，則至少需要6個方程。一個V?b=0有2個約束條件，那么要求出唯一解，至少需要3個V?b=0，即至少需要3張圖片（n≥3）。

如果求出了唯一解，那么就可以得到，那就也可以求出相機內參。

下面直接給出結果：

???????????????????????????????????????????????????????????? ???

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利用內參矩陣求解外參矩陣

從前面的方程已知：

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????

可得外參：

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????

整理可得：

???????????????????????????????????????????????????????

至此，已經求出了相機的外參和內參。在張正友論文還討論了畸變參數和極大似然估計，博客里沒有深入探討。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的深入理解张正友相机标定法：数学理论详细推导的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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