一、概念

支持向量機是學習策略的間隔最大化，可形式化為一個求解凸二次規(guī)劃的問題，也等價于正則化的合頁損失函數的最小化問題。支持向量機的學習算法是求解凸二次規(guī)劃的最優(yōu)化算法。

二、問題類型

1）訓練數據線性可分時，通過硬間隔最大化，學習一個線性的分類器，叫線性可分支持向量機，又稱硬間隔支持向量機。

2）當訓練數據近似線性可分時，加入松弛變量，通過軟間隔最大化，叫線性支持向量機，又稱軟間隔支持向量機。

3）當訓練數據線性不可分時，通過使用核技巧及軟間隔最大化，學習非線性支持向量機。

三、線性可分支持向量機

點(a₀,a₁)到直線或者平面w₀x₀+w₁x₁+b的距離如下：

　　　　　　　　　　　　

換成向量形式為：

　　　　　　　　　　　　

定義超平面(w,b)關于訓練集T的幾何間隔為超平面(w,b)關于T中所有樣本點(x_i,y_i)的幾何間隔之最小值，幾何間隔一般是實例點到超平面的帶符號的距離，當樣本點被超平面正確分類時就是實例點到超平面的距離。

在線性可分時，r=|w·x+b|等價為y_i(w·x_i+b)，yi=±1，因為當樣本被正確分類時，y_i(w·x_i+b)的乘積亦為正值，r又稱為函數間隔

從上述點到平面的距離可以看出，當w和b成倍進行縮放的時候，距離是不變的，因為分子分母正好抵消。所以為了方便計算與優(yōu)化，我們對w和b進行縮放，讓離超平面最近的點(包含正負樣本)的函數距離r=1，這樣y_i(w·x_i+b)≥1恒成立。在滿足函數間隔都大于等于1的情況下，我們力求幾何間隔最大化，因為幾何間隔最大，在圖形上直觀顯示就是所有點離超平面都盡可能遠，分類的置信度就越高。所以我們的優(yōu)化目標變?yōu)椋?/p>

　　　　　　　　　　　　　　

轉化為求最小值如下：

　　　　　　　　　　　　

這是一個約束條件下求極值的凸二次規(guī)劃問題，可以采用拉格朗日對偶性方法求極值，最后就得到超平面w*·x+b*=0及分類決策函數f(x)=sign(w*·x+b*),即線性可分支持向量機。

拉格朗日對偶性求解：

優(yōu)化目標（拉格朗日不等式約束條件下求極值，條件不等式必須轉化為≤0的形式）：

　　

定義拉格朗日函數：

　　　　　　　　　　

根據拉格朗日對偶性，原始問題的對偶問題是極大極小問題：

　　　　　　　　　　

步驟如下：

1）求minL(w,b,α)，將拉格朗日函數L分別對w,b求偏導數并令其等于0，可以求得w和b

2）將求得的w和b帶入拉格朗日函數，變成了只有α的函數，再求對α的極大值

求解得：

　　　　　　　　

知識點

1、最大超平面是有幾個，哪些是支持向量？

最大分離超平面存在且唯一。支持向量就是函數間隔為1的那些點，在決定分離超平面時只有支持向量起作用，其它實例點不起作用，支持向量的個數很少，所以支持向量機由很少的"重要的"訓練樣本確定。

2.為什么起作用的只有支持向量？

1）首先，在對w,b進行縮放的時候，就是讓離超平面最近的樣本點也即支持向量的函數距離r=1，所以初始w,b的值就是有支持向量來確定的，然后再最大化幾何間隔的時候，也是在r=1的前提下，最大化超平面和支持向量的幾何間隔距離，其它樣本點根本沒有參與到優(yōu)化當中。

2）其次，在拉格朗日對偶求解過程中，滿足kkt條件才能求得原問題最優(yōu)解，1-y_i(w*·x_i+b*≤0，α_i*(1-y_i(w*·x_i+b*))=0，如果α_i都等于0， 這求得的權重w=0，b=0，顯然不是最優(yōu)超平面，所有必有α_i>0出現，而這個時候1-y_i(w*·x_i+b*)就等于0，所以這些點就是支持向量，最后求解的w就是根據支持向量求得的。

四、線性支持向量機

線性可分問題的支持向量機學習方法，對線性不可分訓練數據是不適用的，因為這時上述方法中的不等式約束條件并不能成立，如下圖所示：

　　　　　　　　　　　　

從上圖可知，線性不可分意味著樣本點(x,y)不能滿足函數間隔≥1的約束條件，正負樣本點出現混雜在一起的情況，這個時候如果從中間畫一個超平面，分錯的樣本點的函數間隔就會為負值。為了解決此問題，使其滿足該條件，為每個樣本都引入一個松弛變量ξ_i，ξ_i≥0。

當ξ_i=0時，代表樣本點函數間隔正好為1；

當0<ξ_i<1時，代表樣本點位于支持向量所在的線與超平面之間，分類依舊正確；

當ξ_i=1時，代表樣本點位于分類超平面上。

當1<ξ_i時，代表樣本點已經被分錯。

也就是說松弛變量只為分錯的點，以及函數間隔≤1的樣本點設置，最終讓他們的函數間隔等于1，所以ξ_i只可能≥0，不可能小于0。

加入松弛變量后，約束條件就變?yōu)椋?/p>

　　　　　　　　　　　　

同時，對每個松弛變量ξ_i，在目標函數中支持一個代價，最終優(yōu)化目標如下：

　　　　　　　　　　

C>0稱為懲罰參數，C值增大對誤分類的懲罰增大，C值小時對誤分類的懲罰減小。最優(yōu)化目標的含義為：使1/2||w||²盡量小即間隔盡量大的情況下，同時使誤分類點的個數盡量少。

求解依然采用拉格朗日對偶法，同上述線性可分支持向量機。

知識點

1.為什么要引入松弛變量？

可以參考上述線性不可分的圖例，中間混雜了很多正負樣本點，屬于近似線性可分但又不能線性可分的情況，這個時候無法按照線性可分的約束條件進行求解，為了轉變?yōu)榫€性可分條件，才引入了松弛變量。另外引入松弛變量可以防止過擬合，同樣參考上述圖例，如果將混雜的樣本點完全分開，就會畫出一條曲曲折折的曲線，而這樣的曲線并不一定是真正兩種類別的合理分割線或者說分割面，中間混雜的部分有可能是噪音數據，所以不能完全迎合這些樣本點來畫分割面，避免陷入過擬合狀態(tài)。合理的方法，就是圖例所畫的超平面，引入松弛變量，在混雜數據中間畫一條超平面，讓大部分數據能夠分開即可，不迎合一部分噪音數據。

合頁損失函數(hinge loss)

Hinge loss專用于二分類問題，y為真實label，y^為預測值，函數如下：

　　　　　　　　　　　　　　

當預測值被完全正確分為±1的時候，損失最小loss=0，當正樣本預測值為0.9，loss=0.1；當正樣本預測值為-0.8，這個時候樣本已經被誤分，loss=1.8損失變得比較大。

　　　　　　　　　　

從上述圖示看得出，當樣本點的函數間隔≥1時候，loss就開始持續(xù)為0；當函數間隔<1的時候，loss就越來越大。

SVM可以通過直接最小化合頁損失函數求得最優(yōu)的分離超平面，目標函數如下：

　　　　　　　　

其等價于上述引入松弛變量的優(yōu)化函數，證明如下：

　　令1-y_i(w·x_i+b)=ξ_i，通過前面松弛變量部分可得知，ξ_i的值只可能≥0，這個跟max(0,1-y_i(w·x_i+b))取值一致，而且其實就是一模一樣的取值，因為通過前面松弛變量部分可知，松弛變量只為那些函數間隔≤1的樣本點設置，而最終設置值就是讓他們函數間隔r=1，所以這些樣本點1-y_i(w·x_i+b)=ξ_i，而起作用的樣本點就是這些函數間隔r=1的樣本點，其它r＞1的樣本點完全不起作用。所以上述合頁損失函數可以變?yōu)槿缦拢?sub>

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

至于前面的懲罰參數C，則可以另λ=1/2*C,再整體乘以參數C就保持一致了。

為什么叫合頁損失函數呢？

根據上述圖示可知，損失函數的圖形像一個合頁，因而叫合頁損失函數。

五、非線性支持向量機

用線性分類方法求解非線性分類問題分為兩步：

1）利用核技巧將原空間的數據映射到新空間

2）在新空間里用線性分類學習方法從訓練數據中學習分類模型。

核技巧的想法是，在學習與預測中只定義核函數K(x,z),而不顯式地定義映射函數，也就是學習是隱式地在特征空間進行的，不需要顯式地定義特征空間和映射函數。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的SVM理解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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