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编程问答

HMM——前向算法与后向算法

發(fā)布時間:2023/12/13 编程问答 45 豆豆
生活随笔 收集整理的這篇文章主要介紹了 HMM——前向算法与后向算法 小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

1. 前言

前向算法和后向算法主要還是針對HMM三大問題之一的評估問題的計算,即給定模型參數(shù),計算觀察序列的概率。文章不介紹過多公式,主要看兩個例子

復(fù)習一下HMM的三大要素(以海藻(可觀測)和天氣(隱狀態(tài))為例):

①初始概率向量:當前時刻天氣的可能性,屬于先驗概率

②狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣:從當前天氣轉(zhuǎn)移到下一個天氣的可能性,比如P(雨天|晴天)即為晴天轉(zhuǎn)移到雨天的概率

③混淆矩陣:當前天氣為某種天氣的時候,海藻狀態(tài)為某種狀態(tài)的可能性,比如P(干燥|晴天)即為晴天時候海藻干燥的概率

問題:給定HMM模型參數(shù)以及海藻的三天狀態(tài):干燥、濕潤、濕透。

目的:求解海藻出現(xiàn)這三種狀態(tài)的概率。

2. 窮舉搜索直接計算

2.1 理論介紹

已知:給定HMM模型參數(shù)λ=(π,A,B),和觀察序列

求解:觀測序列O出現(xiàn)的概率P(O|I,λ)

方法:列舉所有可能的狀態(tài),分別求解各個狀態(tài)序列與觀測序列的聯(lián)合概率P(O,I | λ),最后求和就得到了P(O|λ)

具體過程:

①狀態(tài)序列出現(xiàn)的概率是

②對于其中一種狀態(tài)序列,觀測序列的概率是

依據(jù)貝葉斯公式可以計算

③求和

?

2.2 實例推導(dǎo)

給定隱馬爾可夫模型,也就是在模型參數(shù)(π,A,B)已知的情況下,我們想找到觀察序列的概率。

最直接的方法是列舉出每種可能的轉(zhuǎn)移,如下圖所示(借用英文文獻中的那個例子):

?

??

圖中展示了三天的海藻狀態(tài),第一列對應(yīng)第一天海藻為dry時候三種可能的天氣隱狀態(tài),第二列對應(yīng)第二天海藻為damp時候三種可能的天氣隱狀態(tài),第三列對應(yīng)第三天海藻為soggy時候三種可能的天氣隱狀態(tài);每個隱狀態(tài)都有一個概率指向當前可能的海藻狀態(tài),由混淆矩陣給出;從第一天到第二天和第二天到第三天的天氣隱狀態(tài)之間都有轉(zhuǎn)移概率,由轉(zhuǎn)移概率矩陣給出。

計算觀察序列概率的方法是找到所有的可能路徑,因為每種海藻觀察情況都有三種可能天氣,所以共有33=27條路徑,即27種不同的天氣序列,然后將所有可能的觀察序列的概率加和起來:

不適用于大的模型和較長的序列。可以利用概率的時間不變性減少問題的復(fù)雜性。

?

3.前向算法

3.1 理論推導(dǎo)

前向概率:給定隱馬爾科夫模型λ,定義到時刻 t 部分觀測序列為,狀態(tài)的概率為前向概率:

說白了就是計算當給出模型參數(shù)的時候,計算一個觀測序列和第 t 時刻為狀態(tài)的聯(lián)合概率,這是一個遞推的過程,可以一層一層的計算,而不是像列舉法,直接一條路徑走到頭,然后再計算下一條路徑;最后能夠通過加和遞推得到P(O|λ)

已知:因馬爾科夫模型λ和觀測序列O

輸出:觀測序列概率P(O | λ )

方法:前向概率遞推得到P(O,I | λ),加和得到P(O | λ)

具體過程:

① 初值,計算第一個時間點處于各隱狀態(tài)的概率

等式右邊表示最初第i個狀態(tài)出現(xiàn)的概率,乘以在這個狀態(tài)下,某個觀測狀態(tài)的概率。不懂沒關(guān)系,待會看天氣的實例解釋。

② 遞推?

中括號意思就是當前層的所有N個隱狀態(tài)與下一層的第i個狀態(tài)的連接,里面的 α 是到時刻t部分觀測序列為,且在 t 時刻處于狀態(tài) j 的概率(前向計算給出,第一層用的是過程①),a是 t 時刻第 j 個狀態(tài)到 t+1 時刻第 i 個狀態(tài)的轉(zhuǎn)移情況(轉(zhuǎn)移矩陣給出);中括號外面乘以的b是當前狀態(tài)下,對應(yīng)觀測情況發(fā)生的概率,比如當前是晴天,那么晴天對應(yīng)海藻濕潤的概率是什么呢?就是b,由混淆矩陣給出。

③終止

其實就是求解在時刻t,所有狀態(tài)的概率求和。

前向算法的高效在于:利用路徑結(jié)構(gòu)將前向概率遞推到全局。在t=1時刻,計算每個狀態(tài)與觀測情況的聯(lián)合概率;t=2...T的時候,計算狀態(tài)與觀測情況的聯(lián)合概率時都用到了前一個時刻剛計算出來的聯(lián)合概率。

窮舉法時間復(fù)雜度:TNT

前向算法的時間復(fù)雜度:N2T其中T是指觀察序列的長度,N是指隱藏狀態(tài)數(shù)目。

【注】每次前向得到的均為隱狀態(tài)和觀測情況的聯(lián)合概率,因而最后一步需要來一次加法。

3.2 實例分解

將上述三步推廣到三天海藻觀察和天氣狀態(tài)中:

(1)計算t=1時的局部概率

局部概率的計算公式:

αt ( j )= Pr( t=1時刻的海藻觀察?|?隱藏狀態(tài)?j ) x Pr( t=1?時刻每個隱狀態(tài)可能發(fā)生的初始概率

?

所以初始時刻狀態(tài) j 的局部概率依賴于此狀態(tài)的初始概率及相應(yīng)時刻我們所見的觀察概率。

(2)? 計算 t >1 時的局部概率

αt ( j )= Pr( t 時刻海藻的觀察情況 | 隱藏狀態(tài) j ) x Pr( t 時刻狀態(tài)到 t+1時刻狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率)

假設(shè)乘號左邊項Pr( 觀察情況 | 隱藏狀態(tài) )已經(jīng)有了,需要考慮右邊Pr( t?時刻所有指向?j?狀態(tài)的路徑)

計算到達某個狀態(tài)的所有路徑的概率。可以計算到達此狀態(tài)的每條路徑的概率并對它們求和。

計算α所需要的路徑數(shù)目隨著觀察序列的增加而指數(shù)級遞增。但是t-1時刻給出了所有到達此狀態(tài)的前一路徑概率。因此,我們可以通過t-1時刻的局部概率定義?t?時刻的局部概率。即:

我們計算的這個概率等于相應(yīng)的觀察概率?( t+1時在狀態(tài)?j 的觀察概率)與該時刻到達此狀態(tài)的概率總和(上一步每個局部概率的計算結(jié)果與相應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率乘積后再相加)的乘積。假設(shè)式子中t=1,拿上圖為例,第三列的中間節(jié)點代表的就是觀察海藻處于某種狀態(tài)時出現(xiàn)某種天氣的概率即b,后面的加和項就是第二列三個節(jié)點的概率與對應(yīng)轉(zhuǎn)移到第三排中間結(jié)點概率的乘積的和。

(3)將第(2)步按照下表j(所有狀態(tài))加和起來即可

4. 后向算法

后向概率:給定隱馬爾可夫模型,定義在時刻t狀態(tài)為的條件下,從t+1時刻到T的部分觀測序列為后向概率

用遞推方法求后向概率,但是并非用簡單的加法得到P(O|λ)

具體過程(參考李航《統(tǒng)計學習方法》):

輸入:隱馬爾可夫模型λ,觀測序列O

輸出:觀測序列概率P(O|λ)

①初始化后向概率,最終時刻的所有狀態(tài)規(guī)定

②對于t=T-1,T-2,...1遞推計算,時刻 t 狀態(tài)為條件下時刻t+1之后的觀測序列為的后向概率,其實就是第t+1 時刻的N個狀態(tài)到t 時刻狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率乘以t+1時刻每個隱狀態(tài)對應(yīng)的觀察情況為o(t+1)的概率,再乘以狀態(tài)j之后的觀測序列的后向概率,此項能夠遞推得到

③計算一種加和,但是與前向算法的加和還不一樣,它的含義是與步驟②一樣的,只不過初始概率 π 代替了轉(zhuǎn)移概率 a?

5. 統(tǒng)一寫法

《統(tǒng)計學習方法》中將前向算法和后向算法統(tǒng)一起來歸納了

6. 前向算法實例

6.1 海藻的實例

由馬爾可夫模型MM可知:由一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移至另一個狀態(tài)中,存在著轉(zhuǎn)移概率,并對這種轉(zhuǎn)移概率可以依據(jù)其緊接的前一種狀態(tài)推算出來,與該系統(tǒng)原始狀態(tài)和此次轉(zhuǎn)移前的馬爾可夫過程無關(guān)。

隱馬爾可夫模型(Hidden Markov models ,HMM)是馬爾可夫鏈的一種,它的狀態(tài)不能直接觀察到,但能通過觀測向量序列觀察到,每個觀測向量都是通過某些概率密度分布表現(xiàn)為各種狀態(tài),每一個觀測向量是由一個具有相應(yīng)概率密度分布的狀態(tài)序列產(chǎn)生的。

假設(shè)連續(xù)觀察三天的水藻濕度為(Dry,Damp,Soggy),求出該觀察序列的概率。天氣狀態(tài)有三類(Sunny,Cloudy,Rainy),而且海藻濕度和天氣有一定關(guān)系。

已知:

?1> 隱藏狀態(tài):Sunny,Cloudy,Rainy

? ? ? ?海藻濕度有四類:{Dry,Dryish,Damp,Soggy}

?2>?觀察狀態(tài)序列:{Dry,Damp,Soggy}

?3>? 初始狀態(tài)序列:Sunny(0.63),Cloudy(0.17),Rainy(0.20)

?4>? 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

?

Sunny

Cloudy

Rainy

Sunny

0.5

0.375

0.125

Cloudy

0.25

0.125

0.625

Rainy

0.25

0.375

0.375

?

?

?

Cloudy(昨天)→Sunny(今天)的概率是0.25

Sunny(昨天)→Rainy(今天)的概率是0.125?

5>?混淆矩陣

?

Dry

Dryish

Damp

Soggy

Sunny

0.6

0.2

0.15

0.05

Cloudy

0.25

0.25

0.25

0.25

Rainy

0.05

0.10

0.35

0.50

怎么計算觀察序列的概率?

即統(tǒng)計P(observation|Sunny,Sunny, Sunny)+P(observation| Sunny, Sunny, Cloudy)+ P(observation| Sunny,Sunny,Rainy)+ P(observation| Sunny, Cloudy, Sunny) + P(observation| Sunny, Cloudy,Cloudy)+ P(observation| Sunny, Cloudy, Rainy) + …總共33種可能性。

實際由于馬爾可夫模型,第二天的狀況只取決于第一天,第三天的只取決于第二天,與第一天的天氣沒關(guān)系。

①??先求第一天的P(Day1-Sunny),P(Day1-Cloudy),P(Day1-Rainy),Day1的海藻濕度是Dry

P(Day1-Sunny) =0.63*0.6;

P(Day1-Cloudy)=0.17*0.25;

P(Day1-Rain)=0.20*0.05;

②??再求第二天的P(Day2-Sunny),P(Day2-Cloudy),P(Day2-Rainy), Day2的海藻濕度是Damp

P(Day2-Sunny)=(P(Day1-Sunny)*0.5 + P(Day1-Cloudy)*0.25 +P(Day1-Rainy)*0.25)* 0.15

P(Day2-Cloudy) =(P(Day1-Sunny)*0.375+ P(Day1-Cloudy)*0.125 + P(Day1-Rainy)*0.375) * 0.25

P(Day2-Rainy) =(P(Day1-Sunny)*0.125+P(Day1-Cloudy)*0.625 + P(Day1-Rainy)*0.375)* 0.35

同理繼續(xù)求第三日的各天氣概率,Day3的海藻濕度是soggy。

P(Day3-Suny)=(P(Day2-Sunny)*0.5 + P(Day2-Cloudy)*0.25 +P(Day2-Rainy)*0.25)* 0.05

P(Day3-Cloudy) =(P(Day2-Sunny)*0.375+ P(Day2-Cloudy)*0.125 + P(Day2-Rainy)*0.375) * 0.25

P(Day3-Rainy)=(P(Day2-Sunny)*0.125+ P(Day2-Cloudy)*0.625 + P(Day2-Rainy)*0.375)* 0.50

推出:

P(observationlist) =P(Day3-Sunny)+P(Day3-Cloudy)+P(Day3-Rainy) = 0.030319

6.2 盒中取球的實例

已知HMM模型參數(shù):

轉(zhuǎn)移概率矩陣A:

?

0.50.20.3
0.30.50.2
0.20.30.5

混淆矩陣B:

?

0.50.5
0.40.6
0.70.3

初始概率:

π=(0.2 , 0.4 , 0.4)

求解:三次取球顏色為(紅、白、紅)的概率P(O|λ)

提示:盒子相當于三種隱狀態(tài),兩種顏色的球相當于觀測情況,觀測序列由(紅、白、紅)給出

(1)計算初值

(2)遞推計算

(3)終止條件

7. 后向算法實例

關(guān)于后向算法,直接以6.2盒子(隱)和球(觀測)的實例為例推導(dǎo)吧:

(1)初始化第三次取球為紅球時候,即最終時刻所有狀態(tài)的概率為1

式中下標為觀測情況,括號為隱狀態(tài),比如第一個式子意思就是第一個隱狀態(tài)對應(yīng)的觀測到紅球的概率

(2)逆推迭代倒數(shù)第二次觀察情況為白球的情況

第一個式子表示的是第二次觀測,如果狀態(tài)為1,那么第二、三次觀測為(白、紅)的聯(lián)合概率分布,a是第二層隱狀態(tài)(第一個盒子)轉(zhuǎn)移到第三層隱狀態(tài)(三個盒子)的轉(zhuǎn)移概率,b表示第三層的三個隱狀態(tài)觀測到紅球的概率,β(等式右邊)表示已知模型參數(shù)和第三層隱狀態(tài),求第三次觀測到紅球的概率,其實第(1)步計算是1

第二個式子表示的是第二次觀測,如果狀態(tài)為2,那么第二、三次觀測為(白、紅)的聯(lián)合概率分布,a是第二層隱狀態(tài)(第二個盒子)轉(zhuǎn)移到第三層隱狀態(tài)(三個盒子)的轉(zhuǎn)移概率,b表示第三層的三個隱狀態(tài)觀測到紅球的概率,β(等式右邊)表示已知模型參數(shù)和第三層隱狀態(tài),求第三次觀測到紅球的概率,其實第(1)步計算是1

同理推導(dǎo)第一層的情況

(3)計算加和

可以發(fā)現(xiàn)前向算法和后向算法的結(jié)果相同

【注】前向算法中計算結(jié)果舍去了一位,結(jié)果應(yīng)該是0.035512

?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的HMM——前向算法与后向算法的全部內(nèi)容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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