第O章　　緒論

一、教學設計

1．教學內容：數值計算方法這門課程的形成背景及主要研究內容、研究方法、主要特點；算法的有關概念及要求；誤差的來源、意義、及其有關概念。數值計算中應注意的一些問題。

2．重點難點：算法設計及其表達法；誤差的基本概念。數值計算中應注意的一些問題。

3．教學目標：了解數值計算方法的基本概念；掌握誤差的基本概念：誤差、相對誤差、誤差限、相對誤差限、有效數字；理解有效數字與誤差的關系。學會選用相對較好的數值計算方法。

4．教學方法：介紹與討論

二、教學過程

§1。1引論

1．課程簡介：

數學科學的一個分支，它研究數值計算方法的設計、分析和有關的理論基礎與軟件實現問題。另外，有一個較常用的名詞“數值分析”，其包含的內容屬于計算數學的一個部分。

2．歷史沿革：

①數學最初導源于計算，計算曾經是古代數學的最重要的組成部分。

②各個時期的大數學家，在發展基礎數學的同時也都對計算方法作出了重要貢獻。例如：牛頓、拉格朗日、高斯、秦九韶等。

③直到20世紀40年代，由于技術手段和計算工具條件的不足，發展比較緩慢，作用也比較有限。

3．計算方法的形成：

①20世紀下半葉，計算機極大地擴展了數學的應用范圍與能力。如：天氣預報

②計算能力的提高與所用計算方法的效能密切相關。

③以原來分散在數學各分支的計算方法為基礎的一門新的數學科學“計算數學”開始形成并迅速發展。，

②針對數值問題研究可在計算機上執行且行之有效的新系列計算公式。

例：解線性方程組，已有Cram法則，但不可行。(幾十萬年)

③誤差分析，即研究數值問題的性態和數值方法的穩定性。

6．計算機數值方法的研究對象：(與科學計算有關的數學問題是多種多樣的，最基本類型有：)

利用計算機解決科學計算問題的全過程大致如下：

實際問題――＞構造數學模型――＞設計數值計算方法――＞程序設計――＞上機求出結果――＞回到實際問題。

數學模型舉例：

例1：雞兔同籠：(共10只，34只腳)導致方程組；

例2：曲邊梯形的面積。

相應地，本課程主要研究的數值問題有：函數的插值與逼近方法；微分與積分計算方法；線性方程組與非線性方程組計算方法；微分方程數值解等。

7．主要特點

既有純數學的高度抽象性與嚴密科學性的特點，同時又具有應用廣泛性與數值試驗的高度技術性。(要求先掌握基本數學知識，以及計算機的基本操作)

8．學習目的：

①學習一些常用的數值方法，掌握數值方法的基本理論，為進一步研究新算法奠定基礎。

②初步掌握一種軟件包：Mathematic,Matlab等的使用方法。

9．參考書目：

［1］袁蔚平等編.《計算方法與實習》.南京 ：東南大學出版社,2000年7月

［2］李慶楊等編.《數值分析》 .武漢：華中工學院出版社,1982年1月

［3］葛福生編.《數值計算方法》.南京 ：河海大學出版社,1996年4月

§1。2數值問題與數值算法

1．數值問題：指輸入數據與輸出數據之間函數關系的一個確定而無歧義的描述。

例：求二次方程的根，可算作一個數值問題；求常微分方程的解，卻不能稱作數值問題，需離散化。

2．數值方法：求解數值問題的計算機上可執行的系列計算公式。

例1：Cram法則，Gauss消去法

例2：求根公式→

3．數值算法：指有步驟地完成解數值問題的過程，數值方法是它的前提和基礎，它是數值方法的具體化。具備以下四個特性：①目的性；②確定性；③可執行性；④有窮性。(有別于常規的思維)

算法設計的目的：①可靠性好、計算精度高；②計算復雜性好；③為程序設計作準備。

4．算法設計及其表達法

表達方法：自然語言法和圖示法。

例：通過二次方程求根的例子，說明數值方法與數值算法的區別，并演示算法常用的表達方法之一：自然語言法(圖示法不加介紹)。(首先要選擇數值方法：公式法或迭代法)

主要步驟：(閱讀課本后，要求自己解釋)

1．輸入數據

2．若怎樣？(若，，否則…)

3．若，計算，

若怎樣？()

若怎樣？()

若怎樣？

4．輸出

§2誤差

2-1 誤差的基本概念

1．誤差來源及種類：①模型誤差(忽略次要因素)②觀測誤差(測量工具的限制)③截斷誤差(有限代替無限，如Taylor展開)④舍入誤差(計算機字長位數有限)，主要討論③④。

2．舉例說明誤差分析的重要性：計算。

遞推公式(A)：，；，；

遞推公式(B)：，

計算。

遞推公式(A)：，；，；

遞推公式(B)：，

，，

故　，取中值即得

計算結果見表

nIn(A)In(A)In(B)In00.6321205590.63210.6321205590.632120558810.3678794410.36790.3678794410.367879441220.2642411

總結

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