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數(shù)學(xué)建模常.模型及其MATLAB等軟件實(shí)現(xiàn)
講師：清風(fēng)

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十大模型，涉及近三十種算法
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為什么錄制這門課程？?
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如何準(zhǔn)備數(shù)模？

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數(shù)學(xué)建模的任務(wù)分配
數(shù)學(xué)建模三大塊： 建模+ 編程+ 寫作

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模型講解
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從簡(jiǎn)單的例子開始，慢慢的引出模型。
（體驗(yàn)真正的建模過程）

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編程講解
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不需要MATLAB基礎(chǔ)，先講基礎(chǔ)語法和函數(shù)，再講模型的實(shí)現(xiàn)（注釋詳細(xì)）。

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寫作訓(xùn)練
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每一講結(jié)束后都會(huì)有相應(yīng)的作業(yè)供你練習(xí)，例如：

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寫作訓(xùn)練
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每個(gè)算法都會(huì)配有拓展資料
（看看優(yōu)秀論文是如何寫作的吧）

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第一講:層次分析法
(The analytic hierarchy process, 簡(jiǎn)稱AHP)?
建模比賽中最基礎(chǔ)的模型之一，其主要用于解決
評(píng)價(jià)類問題（例如：選擇哪種方案最好、哪位運(yùn)
動(dòng)員或者員工表現(xiàn)的更優(yōu)秀）。
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溫馨提示
（1）視頻中提到的所有附件可在售后群的群文件中下載。
包括講義、代碼、軟件安裝包、優(yōu)秀的作業(yè)、我視頻中推薦的資料等。
（2）視頻中或者有講義中發(fā)現(xiàn)有錯(cuò)誤可私戳群主清風(fēng)反饋。我會(huì)將錯(cuò)誤修改后重新上傳到群文件，?
大家留意文件名稱后面的日期。在線勘誤地址：?
http://note.youdao.com/noteshare?id=66f9dd707874e0428610502b45c074d9?
（3）討論群的群號(hào)獲取地址（討論群是付費(fèi)群，群文件也有大量資料，大家可自愿決定是否入群）?
http://note.youdao.com/noteshare?id=4997251d8219a45d56631e412b1e9392?
（4）更多優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)建模資料大家可關(guān)注我的微店店鋪(微信掃右邊二維
碼進(jìn)店)和b站網(wǎng)站獲取。
https://space.bilibili.com/52614961?
（5）配套的資源和代碼可發(fā)給你的朋友或者隊(duì)友一起交流，請(qǐng)不要上傳
到公開的互聯(lián)網(wǎng)上，版權(quán)歸清風(fēng)老師所有。
（未經(jīng)授權(quán)將原創(chuàng)資料散播到互聯(lián)網(wǎng)的行為是違規(guī)的哦）?
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模型介紹
1

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評(píng)價(jià)類問題可用打分解決
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高考結(jié)束了，?
我該選華科還是武大呢？

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評(píng)價(jià)類問題可用打分解決
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小明最關(guān)心大學(xué)里面的這四個(gè)方面：?
學(xué)習(xí)氛圍（0.4）?
就業(yè)前景（0.3）?
男女比例（0.2）?
校園景色（0.1）?
括號(hào)里面的數(shù)值表示小明認(rèn)為的重要性程度（權(quán)重），其和為1。
注：本例子僅用于學(xué)習(xí)，大家可暫時(shí)忽略真實(shí)情況下應(yīng)考慮到的更多細(xì)節(jié)（例如學(xué)校中的具體專業(yè)）。

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評(píng)價(jià)類問題可用打分解決
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學(xué)習(xí)氛圍
注：本例子對(duì)涉及到的學(xué)校并無惡意，僅用于教學(xué)使用
（請(qǐng)觀看到此視頻的華科武大同學(xué)別吐槽哦）?
0.7?
0.3

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評(píng)價(jià)類問題可用打分解決
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就業(yè)前景
= = 0.5

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評(píng)價(jià)類問題可用打分解決
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男女比例
0.3 0.7?
約為1.35:1

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評(píng)價(jià)類問題可用打分解決
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校園景色
華科玉蘭
VS?
武大櫻花
0.25 0.75

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根據(jù)權(quán)重表格計(jì)算得分
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指標(biāo)權(quán)重華科武大
學(xué)習(xí)氛圍0.4 0.7 0.3?
就業(yè)前景0.3 0.5 0.5?
男女比例0.2 0.3 0.7?
校園景色0.1 0.25 0.75?
小明整理好了這張權(quán)重表格：?
華科最終得分：0.515?
0.7 × 0.4 + 0.5 × 0.3 + 0.3 × 0.2 + 0.25 ×0.1?
武大最終得分：0.485?
0.3 × 0.4 + 0.5 × 0.3 + 0.7 × 0.2 + 0.75 ×0.1

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華科最終得分：0.515?
武大最終得分：0.485?
由于華科分?jǐn)?shù)高于武大，小明最終選擇了華科。。。

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一個(gè)小小的總結(jié)
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使用打分法解決評(píng)價(jià)問題，只需要我們補(bǔ)充完成下面這張表格即可：?
指標(biāo)權(quán)重方案1 方案2 ……?
指標(biāo)1?
指標(biāo)2?
指標(biāo)3?
……?
指標(biāo)權(quán)重華科武大
學(xué)習(xí)氛圍0.4 0.7 0.3?
就業(yè)前景0.3 0.5 0.5?
男女比例0.2 0.3 0.7?
校園景色0.1 0.25 0.75?
同顏色的單元格的和為1，它們表示的針對(duì)某一因素
所占的權(quán)重。

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一道引出層次分析法的例題
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填好志愿后，小明同學(xué)想出去旅游。在查閱了網(wǎng)上的攻略后，他初步選擇
了蘇杭、北戴河和桂林三地之一作為目標(biāo)景點(diǎn)。
請(qǐng)你確定評(píng)價(jià)指標(biāo)、形成評(píng)價(jià)體系來為小明同學(xué)選擇最佳的方案。

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一道引出層次分析法的例題
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填好志愿后，小明同學(xué)想出去旅游。在查閱了網(wǎng)上的攻略后，他初步選擇
了蘇杭、北戴河和桂林三地之一作為目標(biāo)景點(diǎn)。
請(qǐng)你確定評(píng)價(jià)指標(biāo)、形成評(píng)價(jià)體系來為小明同學(xué)選擇最佳的方案。
評(píng)價(jià)類問題

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一道引出層次分析法的例題
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填好志愿后，小明同學(xué)想出去旅游。在查閱了網(wǎng)上的攻略后，他初步選擇
了蘇杭、北戴河和桂林三地之一作為目標(biāo)景點(diǎn)。
請(qǐng)你確定評(píng)價(jià)指標(biāo)、形成評(píng)價(jià)體系來為小明同學(xué)選擇最佳的方案。
評(píng)價(jià)類問題
解決評(píng)價(jià)類問題，大家首先要想到以下三個(gè)問題：?
① 我們?cè)u(píng)價(jià)的目標(biāo)是什么？?
② 我們?yōu)榱诉_(dá)到這個(gè)目標(biāo)有哪幾種可選的方案？?
③ 評(píng)價(jià)的準(zhǔn)則或者說指標(biāo)是什么？（我們根據(jù)什么東西來評(píng)價(jià)好壞）

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一道引出層次分析法的例題
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填好志愿后，小明同學(xué)想出去旅游。在查閱了網(wǎng)上的攻略后，他初步選擇
了蘇杭、北戴河和桂林三地之一作為目標(biāo)景點(diǎn)。
請(qǐng)你確定評(píng)價(jià)指標(biāo)、形成評(píng)價(jià)體系來為小明同學(xué)選擇最合適的方案。
解決評(píng)價(jià)類問題，大家首先要想到以下三個(gè)問題：?
① 我們?cè)u(píng)價(jià)的目標(biāo)是什么？?
答：為小明同學(xué)選擇最佳的旅游景點(diǎn)。
② 我們?yōu)榱诉_(dá)到這個(gè)目標(biāo)有哪幾種可選的方案？?
答：三種，分別是去蘇杭、去北戴河和去桂林。
③ 評(píng)價(jià)的準(zhǔn)則或者說指標(biāo)是什么？（我們根據(jù)什么東西來評(píng)價(jià)好壞）?
答：題目沒給相關(guān)數(shù)據(jù)支撐，需要我們確定。

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一道引出層次分析法的例題
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解決評(píng)價(jià)類問題，大家首先要想到以下三個(gè)問題：?
① 我們?cè)u(píng)價(jià)的目標(biāo)是什么？?
答：為小明同學(xué)選擇最佳的旅游景點(diǎn)。
② 我們?yōu)榱诉_(dá)到這個(gè)目標(biāo)有哪幾種可選的方案？?
答：三種，分別是去蘇杭、去北戴河和去桂林。
③ 評(píng)價(jià)的準(zhǔn)則或者說指標(biāo)是什么？（我們根據(jù)什么東西來評(píng)價(jià)好壞）?
答：題目沒給相關(guān)數(shù)據(jù)支撐，需要我們查閱相關(guān)的資料。
一般而言，前兩個(gè)問題的答案是顯而易見的，第三個(gè)問題的答案
需要我們根據(jù)題目中的背景材料、常識(shí)以及網(wǎng)上搜集到的參考資料進(jìn)
行結(jié)合，從中篩選出最合適的指標(biāo)。

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優(yōu)先選擇知網(wǎng)（或者萬方、百度學(xué)術(shù)、谷歌學(xué)術(shù)等平臺(tái)）搜索相關(guān)的文獻(xiàn)：

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大學(xué)生啦！?
一定要知道知網(wǎng)哦。
為什么優(yōu)先在別人發(fā)表的論文中尋找指標(biāo)？?
顯得專業(yè)
另外，別人研究使用的方法你也可以借鑒

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假如你沒找到相關(guān)的文獻(xiàn)怎么辦？?
和小組成員來場(chǎng)頭腦風(fēng)暴
+?
在平臺(tái)上搜索別人或者專家的看法唄

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強(qiáng)烈推薦一個(gè)很膩害的網(wǎng)站：?
蟲部落-快搜： https://search.chongbuluo.com/?
優(yōu)先級(jí)：?
. 谷歌搜索（國(guó)內(nèi)進(jìn)不去的話就使用百度搜索吧）?
. 微信搜索
. 知乎搜索
例如本題我們可以搜索關(guān)鍵字：?
旅游選擇因素、根據(jù)什么因素選擇旅游景點(diǎn)、旅游景點(diǎn)評(píng)價(jià)指標(biāo)等

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假如我們查詢了資料后選擇了以下五個(gè)指標(biāo)：?
①景點(diǎn)景色
②旅游花費(fèi)
③居住環(huán)境
④飲食情況
⑤交通便利程度
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了蘇杭、北戴河和桂林三地之一作為目標(biāo)景點(diǎn)。
請(qǐng)你確定評(píng)價(jià)指標(biāo)、形成評(píng)價(jià)體系來為小明同學(xué)選擇最佳的方案。

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解決評(píng)價(jià)類問題，大家首先要想到以下三個(gè)問題：?
① 我們?cè)u(píng)價(jià)的目標(biāo)是什么？?
答：為小明同學(xué)選擇最佳的旅游景點(diǎn)。
② 我們?yōu)榱诉_(dá)到這個(gè)目標(biāo)有哪幾種可選的方案？?
答：三種，分別是去蘇杭、去北戴河和去桂林。
③ 評(píng)價(jià)的準(zhǔn)則或者說指標(biāo)是什么？（我們根據(jù)什么東西來評(píng)價(jià)好壞）?
答：景色、花費(fèi)、居住、飲食、交通。
腦洞：假如現(xiàn)在小明就在我們面前，我們要對(duì)他提
哪些問題才能幫他合理的做決定？

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還記得這張權(quán)重表格嗎？?
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指標(biāo)權(quán)重蘇杭北戴河桂林
景色
花費(fèi)
居住
飲食
交通

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直接問權(quán)重的弊端
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有同學(xué)可能會(huì)想，直接叫小明填好這張表不就完事啦~?
這樣往往比較片面和不周全
（隔一天問他答案可能就變了）?
在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時(shí)，遇到的主要困難
是這些比重常常不易定量化。此外，當(dāng)影響某因素的因子較多時(shí)，直接
考慮各因子對(duì)該因素有多大程度的影響時(shí)，常常會(huì)因考慮不周全、顧此
失彼而使決策者提出與他實(shí)際認(rèn)為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至
有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。
——選自司守奎[kuí]老師的《數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用教材》

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分而治之的思想
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指標(biāo)權(quán)重蘇杭北戴河桂林
景色
花費(fèi)
居住
飲食
交通
分而治之：我們先來確定指標(biāo)的權(quán)重吧~?
問題：?
一次性考慮這五個(gè)指標(biāo)之間的關(guān)系，往往考慮不周。
解決方法：?
兩個(gè)兩個(gè)指標(biāo)進(jìn)行比較，最終根據(jù)兩兩比較的結(jié)果來推算出權(quán)重。

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層次分析法的思想登場(chǎng)
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如果用1-9表示重要程度（見下表），請(qǐng)你兩兩比較上述這五個(gè)指標(biāo)對(duì)
于選擇最終的旅游景點(diǎn)的重要性。
標(biāo)度含義
1 表示兩個(gè)因素相比，具有同樣重要性
3 表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素稍微重要
5 表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素明顯重要
7 表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素強(qiáng)烈重要
9 表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素極端重要
2, 4, 6, 8 上述兩相鄰判斷的中值
倒數(shù)A和B相比如果標(biāo)度為3，那么B和A相比就是1/3?
（注：這里的重要性有時(shí)候解釋為滿意度更方便理解）

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標(biāo)度含義
1 同樣重要性
3 稍微重要
5 明顯重要
7 強(qiáng)烈重要
9 極端重要
2, 4, 6, 8 上述兩相鄰判斷的中值
倒數(shù)A和B相比如果標(biāo)度為3，?
那么B和A相比就是1/3?
景色花費(fèi)居住飲食交通
景色1?
花費(fèi)1?
居住1?
飲食1?
交通1?
Q1: 根據(jù)右邊這個(gè)表，請(qǐng)你比較景色和花費(fèi)的重要程度。
A1: 我認(rèn)為花費(fèi)比景色略微重要(介于同等重要1和稍微重要3之間吧)?
1/2?
Q2: 根據(jù)右邊這個(gè)表，請(qǐng)你比較景色和居住的重要程度。
A2: 我認(rèn)為景色比居住要重要一點(diǎn)(介于稍微重要3和明顯重要5之間吧)?
4?
2?
1/4

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景色花費(fèi)居住飲食交通
景色1 1/2 4 3 3?
花費(fèi)2 1 7 5 5?
居住1/4 1/7 1 1/2 1/3?
飲食1/3 1/5 2 1 1?
交通1/3 1/5 3 1 1?
就這樣，小明回答了10次【組合數(shù)C(5,2) 】，你根據(jù)他所回
答的填好了上面這張表。
注：實(shí)際情況下沒有小明幫我們回答，層次分析法中這張表是交給‘專家’?
填的，具體我們等后面再說。
標(biāo)度含義
1 同樣重要性
3 稍微重要
5 明顯重要
7 強(qiáng)烈重要
9 極端重要
2, 4, 6, 8 上述兩相鄰判斷的中值
倒數(shù)A和B相比如果標(biāo)度為3，?
那么B和A相比就是1/3

??
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景色花費(fèi)居住飲食交通
景色1 1/2 4 3 3?
花費(fèi)2 1 7 5 5?
居住1/4 1/7 1 1/2 1/3?
飲食1/3 1/5 2 1 1?
交通1/3 1/5 3 1 1?
標(biāo)度含義
1 同樣重要性
3 稍微重要
5 明顯重要
7 強(qiáng)烈重要
9 極端重要
2, 4, 6, 8 上述兩相鄰判斷的中值
倒數(shù)A和B相比如果標(biāo)度為3，?
那么B和A相比就是1/3?
總結(jié)：上面這個(gè)表是一個(gè)5 × 5的方陣，我們記為A，對(duì)應(yīng)的元素為.......?
這個(gè)方陣有如下特點(diǎn)：?
（1）......表示的意義是，與指標(biāo)..相比，..的重要程度。
（2）當(dāng).. = ..時(shí)，兩個(gè)指標(biāo)相同，因此同等重要記為1，這就解釋了主對(duì)角線元素為1。
（3）...... > 0且滿足...... × ...... = 1 （我們稱滿足這一條件的矩陣為正互反矩陣）?
實(shí)際上，上面這個(gè)矩陣就是層次分析法中的判斷矩陣。

??
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景色花費(fèi)居住飲食交通
景色1 1/2 4 3 3?
花費(fèi)2 1 7 5 5?
居住1/4 1/7 1 1/2 1/3?
飲食1/3 1/5 2 1 1?
交通1/3 1/5 3 1 1?
得到了判斷矩陣，就可以計(jì)算出權(quán)重了。
具體方法我們稍后再講。

??
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指標(biāo)權(quán)重蘇杭北戴河桂林
景色
花費(fèi)
居住
飲食
交通
如何計(jì)算蘇杭、北戴河與桂林在景色方面所占的權(quán)重（得分）呢？

??
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填寫判斷矩陣
42 / 94?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 5?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/5 1/2 1?
標(biāo)度含義
1 同樣重要性
3 稍微重要
5 明顯重要
7 強(qiáng)烈重要
9 極端重要
2, 4, 6, 8 上述兩相鄰判斷的中值
倒數(shù)
A和B相比如果標(biāo)度為3，?
那么B和A相比就是1/3?
Q1：你覺得蘇杭的風(fēng)景和北戴河相比如何？?
A1：稍微好一點(diǎn)點(diǎn)吧（介于1-3之間）?
Q2：你覺得蘇杭的風(fēng)景和桂林相比如何？?
A2：要明顯的好哦（5）?
Q3：你覺得北戴河的風(fēng)景和桂林相比如何？?
A3：稍微好一點(diǎn)點(diǎn)吧（介于1-3之間）

??
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花費(fèi)蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 1/3 1/8?
北戴河3 1 1/3?
桂林8 3 1?
居住蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 1 3?
北戴河1 1 3?
桂林1/3 1/3 1?
飲食蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 3 4?
北戴河1/3 1 1?
桂林1/4 1 1?
交通蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 1 1/4?
北戴河1 1 1/4?
桂林4 4 1

??
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一個(gè)有可能出問題的地方：?
44 / 94?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 5?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/5 1/2 1?
標(biāo)度含義
1 同樣重要性
3 稍微重要
5 明顯重要
7 強(qiáng)烈重要
9 極端重要
2, 4, 6, 8 上述兩相鄰判斷的中值
倒數(shù)A和B相比如果標(biāo)度為3，?
那么B和A相比就是1/3?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 1?
北戴河1/2 1 2?
桂林1 1/2 1?
蘇杭= A 北戴河= B 桂林= C?
蘇杭比北戴河景色好一點(diǎn)A > B?
蘇杭和桂林景色一樣好A = C?
北戴河比桂林景色好一點(diǎn)B > C?
出現(xiàn)了矛盾之處（不一致的現(xiàn)象）?
（要是把左表中的2換成更大的數(shù)，那
么不一致會(huì)更加嚴(yán)重）

??
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一致矩陣
45 / 94?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 4?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/4 1/2 1?
標(biāo)度含義
1 同樣重要性
3 稍微重要
5 明顯重要
7 強(qiáng)烈重要
9 極端重要
2, 4, 6, 8 上述兩相鄰判斷的中值
倒數(shù)A和B相比如果標(biāo)度為3，?
那么B和A相比就是1/3

??
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一致矩陣的例子
46 / 94?
景色花費(fèi)居住飲食交通
景色1 1/2 4 3 3?
花費(fèi)2 1 8 6 6?
居住1/4 1/8 1 3/4 3/4?
飲食1/3 1/6 4/3 1 1?
交通1/3 1/6 4/3 1 1?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 4?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/4 1/2 1
觀察上面這兩個(gè)矩陣的特點(diǎn)：?
各行（各列）之間成倍數(shù)關(guān)系

??
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一致矩陣
47 / 94?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 5?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/5 1/2 1?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 4?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/4 1/2 1?
若矩陣中每個(gè)元素...... > 0且滿足...... × ...... = 1 ，則我們稱該矩陣為正互反矩陣。
在層次分析法中，我們構(gòu)造的判斷矩陣均是正互反矩陣。
若正互反矩陣滿足...... × ...... = ......，則我們稱其為一致矩陣。
注意：在使用判斷矩陣求權(quán)重之前，必須對(duì)其進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。

??
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一致性檢驗(yàn)
48 / 94?
原理：檢驗(yàn)我們構(gòu)造的判斷矩陣和一致矩陣是否有太大的差別。
下面的知識(shí)需要用到線性代數(shù)
的知識(shí)，沒學(xué)過的同學(xué)可以忽
略掉證明過程，只需要了解如
何計(jì)算即可。

??
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景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 4?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/4 1/2 1?
景色花費(fèi)居住飲食交通
景色1 1/2 4 3 3?
花費(fèi)2 1 8 6 6?
居住1/4 1/8 1 3/4 3/4?
飲食1/3 1/6 4/3 1 1?
交通1/3 1/6 4/3 1 1?
計(jì)算可看：EIG_consistent_matrix.m

??
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若正互反矩陣（判斷矩陣）滿足...... × ...... = ......，則我們稱其為一致矩陣。
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 a?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/a 1/2 1?
a = [1:1:8]?
b = []?
for i = 1:size(a,2)?
A =?
[1,2,a(i);1/2,1,2;1/a(i),1/2,1]?
b = [b,max(eig(A))]?
end?
plot(a,b)?
判斷矩陣越不一致時(shí)，最大特征值與n相差就越大。
代碼文件名稱：PPT_1.m

??
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一致性檢驗(yàn)的步驟
51 / 94?
第一步：計(jì)算一致性指標(biāo)CI?
第二步：查找對(duì)應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI?
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15?
RI 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59?
注：在實(shí)際運(yùn)用中，n很少超過10，如果指標(biāo)的個(gè)數(shù)大于10，則可考慮建立二級(jí)指標(biāo)體系
第三步：計(jì)算一致性比例CR?
如果CR < 0.1, 則可認(rèn)為判斷矩陣的一致性可以接受；否則需要對(duì)
判斷矩陣進(jìn)行修正。

??
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兩個(gè)小問題
52 / 94?
（1）平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI怎么計(jì)算來的？?
（2）為什么要這樣構(gòu)造CI，為什么要以0.1為劃分依據(jù)？?
大家有興趣的話可以去查看作者的原論文，?
作者是通過多次蒙特卡羅模擬得到的最佳的方案。

??
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一致矩陣怎么計(jì)算權(quán)重？?
53 / 94?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 4?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/4 1/2 1?
從簡(jiǎn)單的開始入手，先來看一致矩陣：?
對(duì)于景色這點(diǎn)而言：（注：這里的重要性有時(shí)候解釋為滿意度更方便理解）?
蘇杭的重要性如果是1，那么北戴河的重要性就是1/2，桂林的重要性就是1/4.?
注意，權(quán)重一定要進(jìn)行歸一化處理：?
蘇杭= 1 /（1+0.5+0.25）?
北戴河= 0.5 /（1+0.5+0.25）?
桂林= 0.25 /（1+0.5+0.25）?
標(biāo)度含義
1 同樣重要性
3 稍微重要
5 明顯重要
7 強(qiáng)烈重要
9 極端重要
2, 4, 6, 8 上述兩相鄰判斷的中值
倒數(shù)A和B相比如果標(biāo)度為3，?
那么B和A相比就是1/3

??
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判斷矩陣計(jì)算權(quán)重
54 / 94?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 5?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/5 1/2 1?
僅使用第一列的數(shù)據(jù)，計(jì)算出來的權(quán)重：?
蘇杭= 1 /（1+0.5+0.2）= 0.5882?
北戴河= 0.5 /（1+0.5+0.2）= 0.2941?
桂林= 0.2 /（1+0.5+0.2）= 0.1177

??
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判斷矩陣計(jì)算權(quán)重
55 / 94?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 5?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/5 1/2 1?
僅使用第一列的數(shù)據(jù)，計(jì)算出來的權(quán)重：?
蘇杭= 1 /（1+0.5+0.2）= 0.5882?
北戴河= 0.5 /（1+0.5+0.2）= 0.2941?
桂林= 0.2 /（1+0.5+0.2）= 0.1177?
使用第二列的數(shù)據(jù)，計(jì)算出來的權(quán)重：?
蘇杭= 2 /（2+1+0.5）= 0.5714?
北戴河= 1 /（2+1+0.5）= 0.2857?
桂林= 0.5 /（2+1+0.5）= 0.1429?
使用第三列的數(shù)據(jù)，計(jì)算出來的權(quán)重：?
蘇杭= 5 /（5+2+1）= 0.625?
北戴河= 2 /（5+2+1）= 0.25?
桂林= 1 /（5+2+1）= 0.125

??
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方法1：算術(shù)平均法求權(quán)重
56 / 94?
僅使用第一列的數(shù)據(jù)，計(jì)算出來的權(quán)重：?
蘇杭= 1 /（1+0.5+0.2）= 0.5882?
北戴河= 0.5 /（1+0.5+0.2）= 0.2941?
桂林= 0.2 /（1+0.5+0.2）= 0.1177?
使用第二列的數(shù)據(jù)，計(jì)算出來的權(quán)重：?
蘇杭= 2 /（2+1+0.5）= 0.5714?
北戴河= 1 /（2+1+0.5）= 0.2857?
桂林= 0.5 /（2+1+0.5）= 0.1429?
使用第三列的數(shù)據(jù)，計(jì)算出來的權(quán)重：?
蘇杭= 5 /（5+2+1）= 0.625?
北戴河= 2 /（5+2+1）= 0.25?
桂林= 1 /（5+2+1）= 0.125?
綜合上述三列，我們求平均權(quán)重：?
蘇杭= (0.5882+0.5714+0.625)/3=0.5949?
北戴河= (0.2941+0.2857+0.25)/3=0.2766?
桂林= (0.1177+0.1429+0.125)/3=0.1285

??
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方法1：算術(shù)平均法求權(quán)重
57 / 94?
第一步：將判斷矩陣按照列歸一化
（每一個(gè)元素除以其所在列的和）?
第二步：將歸一化的各列相加(按行求和)?
第三步：將相加后得到的向量中每個(gè)元素除以n即可得到權(quán)重向量
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 5?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/5 1/2 1?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭0.5882 0.5714 0.625?
北戴河0.2941 0.2857 0.25?
桂林0.1177 0.1429 0.125?
未歸一化的權(quán)重
蘇杭0.5882+0.5714+0.625 = 1.7846?
北戴河0.2941+0.2857+0.25=0.8298?
桂林0.1177+0.1429+0.125=0.3856?
權(quán)重
蘇杭1.7846 / 3 = 0.5949?
北戴河0.8298 / 3 = 0.2766?
桂林0.3856 / 3 = 0.1285

??
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方法1：算術(shù)平均法求權(quán)重
58 / 94?
第一步：將判斷矩陣按照列歸一化
（每一個(gè)元素除以其所在列的和）?
第二步：將歸一化的各列相加(按行求和)?
第三步：將相加后得到的向量中每個(gè)元素除以n即可得到權(quán)重向量

??
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方法2：幾何平均法求權(quán)重
59 / 94?
幾何平均法求權(quán)重也有三步：?
第一步：將A的元素按照行相乘得到一個(gè)新的列向量
第二步：將新的向量的每個(gè)分量開n次方
第三步：對(duì)該列向量進(jìn)行歸一化即可得到權(quán)重向量
算術(shù)平均法權(quán)重幾何平均法權(quán)重
蘇杭0.5949 0.5954?
北戴河0.2766 0.2764?
桂林0.1285 0.1283?
注： 權(quán)重和應(yīng)為1，這里由于四舍五入所以會(huì)有可以忽略的差距。

??
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方法3：特征值法求權(quán)重
60 / 94?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 4?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/4 1/2 1?
注意，權(quán)重一定要進(jìn)行歸一化處理：?
蘇杭= 1 /（1+0.5+0.25）?
北戴河= 0.5 /（1+0.5+0.25）?
桂林= 0.25 /（1+0.5+0.25）

??
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方法3：特征值法求權(quán)重
61 / 94?
假如我們的判斷矩陣一致性可以接受，那么我們可以仿照一致矩陣權(quán)重的求法。
第一步：求出矩陣A的最大特征值以及其對(duì)應(yīng)的特征向量
第二步：對(duì)求出的特征向量進(jìn)行歸一化即可得到我們的權(quán)重
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 5?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/5 1/2 1?
最大特征值為3.0055 , 一致性比例CR = 0.0053?
對(duì)應(yīng)的特征向量：[-0.8902,-0.4132,-0.1918]?
對(duì)其歸一化：[0.5954,0.2764,0.1283]?
算術(shù)平均法幾何平均法特征值法
蘇杭0.5949 0.5954 0.5954?
北戴河0.2766 0.2764 0.2764?
桂林0.1285 0.1283 0.1283

??
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將計(jì)算結(jié)果填入權(quán)重表
62 / 94?
指標(biāo)權(quán)重蘇杭北戴河桂林
景色0.5954 0.2764 0.1283?
花費(fèi)
居住
飲食
交通
算術(shù)平均法幾何平均法特征值法
蘇杭0.5949 0.5954 0.5954?
北戴河0.2766 0.2764 0.2764?
桂林0.1285 0.1283 0.1283

??
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代碼演示（具體代碼詳講在視頻后半段）?
63 / 94?
景色花費(fèi)居住飲食交通
景色1 1/2 4 3 3?
花費(fèi)2 1 7 5 5?
居住1/4 1/7 1 1/2 1/3?
飲食1/3 1/5 2 1 1?
交通1/3 1/5 3 1 1?
算術(shù)平均法幾何平均法特征值法
景色0.2623 0.2636 0.2636?
花費(fèi)0.4744 0.4773 0.4758?
居住0.0545 0.0531 0.0538?
飲食0.0985 0.0988 0.0981?
交通0.1103 0.1072 0.1087?
求左邊這個(gè)判斷矩陣的權(quán)重
代碼文件名稱：ccfx.m

??
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指標(biāo)權(quán)重蘇杭北戴河桂林
景色0.2636 0.5954 0.2764 0.1283?
花費(fèi)0.4758?
居住0.0538?
飲食0.0981?
交通0.1087?
算術(shù)平均法幾何平均法特征值法
景色0.2623 0.2636 0.2636?
花費(fèi)0.4744 0.4773 0.4758?
居住0.0545 0.0531 0.0538?
飲食0.0985 0.0988 0.0981?
交通0.1103 0.1072 0.1087

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花費(fèi)蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 1/3 1/8?
北戴河3 1 1/3?
桂林8 3 1?
居住蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 1 3?
北戴河1 1 3?
桂林1/3 1/3 1?
飲食蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 3 4?
北戴河1/3 1 1?
桂林1/4 1 1?
交通蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 1 1/4?
北戴河1 1 1/4?
桂林4 4 1

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匯總結(jié)果得到權(quán)重矩陣
66 / 94?
指標(biāo)權(quán)重蘇杭北戴河桂林
景色0.2636 0.5954 0.2764 0.1283?
花費(fèi)0.4758 0.0819 0.2363 0.6817?
居住0.0538 0.4286 0.4286 0.1429?
飲食0.0981 0.6337 0.1919 0.1744?
交通0.1087 0.1667 0.1667 0.6667?
我們可以得到使用特征值法求得的權(quán)重矩陣，根據(jù)此矩陣，?
我們可以計(jì)算出每個(gè)旅游景點(diǎn)的得分。

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計(jì)算各方案的得分
67 / 94?
指標(biāo)權(quán)重蘇杭北戴河桂林
景色0.2636 0.5954 0.2764 0.1283?
花費(fèi)0.4758 0.0819 0.2363 0.6817?
居住0.0538 0.4286 0.4286 0.1429?
飲食0.0981 0.6337 0.1919 0.1744?
交通0.1087 0.1667 0.1667 0.6667?
蘇杭得分：

??
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類似的，我們可以得到北戴河得分為0.245，?
桂林得分為0.455.?
因此最佳的旅游景點(diǎn)是桂林。
這里用EXCEL計(jì)算可大大減輕工作量哦。
文件：根據(jù)權(quán)重矩陣計(jì)算得分.xlsx?
要點(diǎn)： F4可以鎖定單元格

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層次分析法
69 / 94?
層次分析法（The Analytic Hierarchy Process即AHP)是由美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家、
匹茲堡大學(xué)教授T . L. Saaty于20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一種系統(tǒng)分析與決策的綜合
評(píng)價(jià)方法，是在充分研究了人類思維過程的基礎(chǔ)上提出來的，它較合理地解
決了定性問題定量化的處理過程。
AHP的主要特點(diǎn)是通過建立遞階層次結(jié)構(gòu)，把人類的判斷轉(zhuǎn)化到若干因
素兩兩之間重要度的比較上，從而把難于量化的定性判斷轉(zhuǎn)化為可操作的重
要度的比較上面。在許多情況下，決策者可以直接使用AHP進(jìn)行決策，極大
地提高了決策的有效性、可靠性和可行性，但其本質(zhì)是一種思維方式，它把
復(fù)雜問題分解成多個(gè)組成因素，又將這些因素按支配關(guān)系分別形成遞階層次
結(jié)構(gòu)，通過兩兩比較的方法確定決策方案相對(duì)重要度的總排序。整個(gè)過程體
現(xiàn)了人類決策思維的基本特征，即分解、判斷、綜合，克服了其他方法回避
決策者主觀判斷的缺點(diǎn)。

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三個(gè)問題對(duì)我們的啟發(fā)
70 / 94?
填好志愿后，小明同學(xué)想出去旅游。在查閱了網(wǎng)上的攻略后，他初步選擇
了蘇杭、北戴河和桂林三地之一作為目標(biāo)景點(diǎn)。
請(qǐng)你確定評(píng)價(jià)指標(biāo)、形成評(píng)價(jià)體系來為小明同學(xué)選擇最佳的方案。
解決評(píng)價(jià)類問題，大家首先要想到以下三個(gè)問題：?
① 我們?cè)u(píng)價(jià)的目標(biāo)是什么？?
答：為小明同學(xué)選擇最佳的旅游景點(diǎn)。
② 我們?yōu)榱诉_(dá)到這個(gè)目標(biāo)有哪幾種可選的方案？?
答：三種，分別是去蘇杭、去北戴河和去桂林。
③ 評(píng)價(jià)的準(zhǔn)則或者說指標(biāo)是什么？（我們根據(jù)什么東西來評(píng)價(jià)好壞）?
答：景色、花費(fèi)、居住、飲食、交通。

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層次分析法第一步
71 / 94?
1.分析系統(tǒng)中各因素之間的關(guān)系，建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu).?
選擇旅游地
(O)?
景色（C1） 花費(fèi)（C2) 居住（C3) 飲食（C4) 交通（C5)?
蘇杭（P1） 北戴河（P2） 桂林（P3）?
目標(biāo)層
Objective?
準(zhǔn)則層
Criterion?
方案層
Plan?
圖1.1.旅游地選擇層次結(jié)構(gòu)圖
注意：如果你用到了層次分析法，那么這個(gè)層次結(jié)構(gòu)圖要放在你的建模論文中哦。

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使用SmartArt生成
72 / 94?
選擇最佳旅游地(O)?
景色（C1）?
花費(fèi)（C2)?
居住（C3)?
飲食（C4)?
交通（C5)?
蘇杭（P1）?
北戴河（P2）?
去桂林（P3）

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使用專業(yè)軟件：億圖圖示
73 / 94?
簡(jiǎn)單演示：?
（1）新建組織結(jié)構(gòu)圖——自定義組織結(jié)構(gòu)圖
（2）1個(gè)長(zhǎng)方形方格，并復(fù)制出8個(gè)和它同大小的長(zhǎng)方形
（3）將這9個(gè)長(zhǎng)方形排成3行（1+5+3）?
（4）使用對(duì)齊和分布這兩個(gè)功能讓它們排列的有序
（5）選擇文本工具，在這些長(zhǎng)方形里面輸入文字
（6）使用箭頭連接線工具中的直線連接上這些長(zhǎng)方形
（7）保存后選擇文件——導(dǎo)出&發(fā)送——Word?
（8）將Word中的圖像復(fù)制到你的論文中即可，別忘了加上標(biāo)題。

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層次分析法第二步
74 / 94?
2. 對(duì)于同一層次的各元素關(guān)于上一層次中某一準(zhǔn)則的重要
性進(jìn)行兩兩比較，構(gòu)造兩兩比較矩陣（判斷矩陣）。
選擇旅游地
(O)?
景色（C1） 花費(fèi)（C2) 居住（C3) 飲食（C4) 交通（C5)?
蘇杭（P1） 北戴河（P2） 桂林（P3）?
目標(biāo)層
Objective?
準(zhǔn)則層
Criterion?
方案層
Plan

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構(gòu)造判斷矩陣
75 / 94?
O C1 C2 C3 C4 C5?
C1 1 1/2 4 3 3?
C2 2 1 7 5 5?
C3 1/4 1/7 1 1/2 1/3?
C4 1/3 1/5 2 1 1?
C5 1/3 1/5 3 1 1?
左邊這個(gè)矩陣的名稱是：?
判斷矩陣O — C?
任何評(píng)價(jià)類模型都具有主觀性：?
理想：采用專家群體判斷
現(xiàn)實(shí)：幾乎都是自己填的

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看看優(yōu)秀論文的做法吧
76 / 94?
【2008年國(guó)賽B題一等獎(jiǎng)】關(guān)于高等教育學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)價(jià)及建議

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看看優(yōu)秀論文的做法吧
77 / 94?
[2016年國(guó)賽MATLAB創(chuàng)新獎(jiǎng)B題]中國(guó)人民大學(xué)-小區(qū)開放道路通行影響

??
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C1 P1 P2 P3?
P1 1 2 4?
P2 1/2 1 2?
P3 1/4 1/2 1?
C2 P1 P2 P3?
P1 1 1/3 1/8?
P2 3 1 1/3?
P3 8 3 1?
C3 P1 P2 P3?
P1 1 1 3?
P2 1 1 3?
P3 1/3 1/3 1?
C4 P1 P2 P3?
P1 1 3 4?
P2 1/3 1 1?
P3 1/4 1 1?
C5 P1 P2 P3?
P1 1 1 1/4?
P2 1 1 1/4?
P3 4 4 1?
判斷矩陣C1-P 判斷矩陣C2-P 判斷矩陣C3-P 判斷矩陣C4-P 判斷矩陣C5-P?
準(zhǔn)則層—方案層的判斷矩陣的數(shù)值要結(jié)合實(shí)際來填寫，如果題目中有其他數(shù)據(jù)，?
可以考慮利用這些數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。
例如：有一個(gè)指標(biāo)是交通安全程度，現(xiàn)在要比較開放小區(qū)、半開放小區(qū)和封閉小區(qū)，而且
你收集到了這些小區(qū)車流量的數(shù)據(jù)，那么就可以根據(jù)這個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行換算作為你的判斷矩陣。

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層次分析法第三步
79 / 94?
3. 由判斷矩陣計(jì)算被比較元素對(duì)于該準(zhǔn)則的相對(duì)權(quán)重，?
并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)（檢驗(yàn)通過權(quán)重才能用）.?
三種方法計(jì)算權(quán)重：?
（1）算術(shù)平均法（2）幾何平均法（3）特征值法
強(qiáng)烈建議大家在比賽時(shí)三種方法都使用：?
以往的論文利用層次分析法解決實(shí)際問題時(shí)，都是采用其中某一種方法
求權(quán)重，而不同的計(jì)算方法可能會(huì)導(dǎo)致結(jié)果有所偏差。為了保證結(jié)果的
穩(wěn)健性，本文采用了三種方法分別求出了權(quán)重，再根據(jù)得到的權(quán)重矩陣
計(jì)算各方案的得分，并進(jìn)行排序和綜合分析，這樣避免了采用單一方法
所產(chǎn)生的偏差，得出的結(jié)論將更全面、更有效。

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一致性檢驗(yàn)的步驟
80 / 94?
第一步：計(jì)算一致性指標(biāo)CI?
第二步：查找對(duì)應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI?
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15?
RI 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59?
注：在實(shí)際運(yùn)用中，n很少超過10，如果指標(biāo)的個(gè)數(shù)大于10，則可考慮建立二級(jí)指標(biāo)體系
第三步：計(jì)算一致性比例CR?
如果CR < 0.1, 則可認(rèn)為判斷矩陣的一致性可以接受；否則需要對(duì)
判斷矩陣進(jìn)行修正。

??
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CR > 0.1 如何修正？?
81 / 94?
景色蘇杭A 北戴河B 桂林C?
蘇杭A 1 2 1?
北戴河B 1/2 1 2?
桂林C 1 1/2 1?
往一致矩陣上調(diào)整~~~?
一致矩陣各行成倍數(shù)關(guān)系

??
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層次分析法第四步
82 / 94?
4 . 計(jì)算各層元素對(duì)系統(tǒng)目標(biāo)的合成權(quán)重，并進(jìn)行排序。
指標(biāo)權(quán)重方案1 方案2 ……?
指標(biāo)1?
指標(biāo)2?
指標(biāo)3?
……?
權(quán)重矩陣
指標(biāo)權(quán)重蘇杭北戴河桂林
景色0.2636 0.5954 0.2764 0.1283?
花費(fèi)0.4758 0.0819 0.2363 0.6817?
居住0.0538 0.4286 0.4286 0.1429?
飲食0.0981 0.6337 0.1919 0.1744?
交通0.1087 0.1667 0.1667 0.6667

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層次分析法的一些局限性
83 / 94?
（1）評(píng)價(jià)的決策層不能太多，太多的話n會(huì)很大，判斷矩陣和一致矩陣差異
可能會(huì)很大。
平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI的表格中n最多是15。
（2）如果決策層中指標(biāo)的數(shù)據(jù)是已知的，那么我們?nèi)绾卫眠@些數(shù)據(jù)來使得
評(píng)價(jià)的更加準(zhǔn)確呢？?
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15?
RI 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59?
學(xué)生加權(quán)成績(jī)工時(shí)數(shù)課外競(jìng)賽得分
蔣虹89.7 32 5?
時(shí)迎春86.5 20 4?
…… …… …… ……?
陶訪楓87.9 12 9?
梁冷安90.1 10 6?
姜秀芳82.6 12 3

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代碼詳解
2

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溫馨提示
代碼講解部分針對(duì)的是Matlab新手哦~?
如果你Matlab已經(jīng)學(xué)的很不錯(cuò)，可以跳
過這部分哦，直接看代碼即可。
文件：ccfx_base.m和ccfx_Learn

??
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本節(jié)代碼部分知識(shí)點(diǎn)索引
86 / 94?
1. Matlab基本的小常識(shí)
分號(hào)的作用、注釋的快捷鍵、clc和clear、disp和input?
2. sum函數(shù)
3. Matlab中如何提取矩陣中指定位置的元素？?
4. size函數(shù)
5. repmat函數(shù)
6. Matlab中矩陣的運(yùn)算(加點(diǎn)和不加點(diǎn))?
7. Matlab中求特征值和特征向量
8. find函數(shù)的基本用法
9. 矩陣與常數(shù)的大小判斷運(yùn)算
10. 判斷和循環(huán)語句

??
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模型拓展
3

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企業(yè)資金分配問題.pdf

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層次分析法在太陽鏡產(chǎn)品質(zhì)量評(píng)價(jià)中的應(yīng)用.pdf

??
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課后練習(xí)
4

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課后訓(xùn)練
92 / 94?
代碼優(yōu)化：?
（1）請(qǐng)對(duì)代碼進(jìn)行優(yōu)化，例如輸入判斷矩陣A時(shí)，是否能自動(dòng)檢查
矩陣A是否為正互反矩陣？?
（2）如果我們輸入的是一個(gè)二階的判斷矩陣，請(qǐng)觀察結(jié)果有什么問
題？怎么改進(jìn)代碼來修正這個(gè)問題。
論文寫作訓(xùn)練：?
題目來源：姜啟元《數(shù)學(xué)建模》第四版
也可以自選題目，你感興趣的評(píng)價(jià)類問題都行。

??
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注意事項(xiàng)
93 / 94?
注意：論文的格式可參考：全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽論文模板.doc?
層次分析法模型交流群：821245457?
加群需要正確回答問題，層次分析法的英文縮寫：AHP?
課件、代碼以及拓展的文檔等全部會(huì)發(fā)到群文件，?
請(qǐng)大家自己下載學(xué)習(xí)。
作業(yè)大家打包后私發(fā)給群主（清風(fēng)）即可。
（交了作業(yè)的同學(xué)我有時(shí)間會(huì)幫你們看的哦
會(huì)給你們相應(yīng)的評(píng)價(jià)和建議）

??
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下一講預(yù)告：TOPSIS法
94 / 94?
題目：評(píng)價(jià)下表中20條河流的水質(zhì)情況。
注：含氧量越高越好；PH值越接近7越好；細(xì)菌總數(shù)越少越好；植物性營(yíng)養(yǎng)物量介于10-20之間最佳，超
過20或低于10均不好。
注：數(shù)據(jù)是我隨手編的，僅用于講解相應(yīng)的算法，可能有不合理之處，請(qǐng)見諒。
河流含氧量（ppm) PH值細(xì)菌總數(shù)(個(gè)/mL) 植物性營(yíng)養(yǎng)物量（ppm)?
A 4.69 6.59 51 11.94?
B 2.03 7.86 19 6.46?
C 9.11 6.31 46 8.91?
D 8.61 7.05 46 26.43?
E 7.13 6.5 50 23.57?
F 2.39 6.77 38 24.62?
G 7.69 6.79 38 6.01?
H 9.3 6.81 27 31.57?
I 5.45 7.62 5 18.46?
J 6.19 7.27 17 7.51?
K 7.93 7.53 9 6.52?
L 4.4 7.28 17 25.3?
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第一節(jié)層次分析法為試聽課程
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清風(fēng)老師數(shù)學(xué)建模視頻課程第1講層次分析法

總結(jié)

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