1.基本原理

一般線性規劃問題的數學標準型為

滿足約束條件的解，稱為可行解，使目標函數達到最大值的可行解稱為最優解。所有可行解構成的集合稱為問題的可行域。

Matlab中規定線性規劃的標準形式為

?

?式中：f,x,b，beq,lb,ub為列向量，其中f稱為價值向量，b稱為資源向量，A，Aeq為矩陣。

Matlab中求解線性規劃的命令為

[x,fval]=linprog(f,A,b)

[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq)

[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

其中：x返回決策向量的取值，fval返回目標函數的最優值，A和b對應線性不等約束；Aeq和beq對應線性等式約束；lb和ub分別對應x的下界向量和上界向量。

2.案例分析

?例1 使用Matlab軟件求解下列線性規劃問題。

?Matlab代碼：

f=[-3;1;1]; a=[1,-2,1;4,-1,-2]; b=[11,-3]; aeq=[-2,0,1]; beq=1; [x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)); x,y=-y

求解結果為：

x1=4,x2=1,x3=9,z的最大值為2。

例2 一架貨機有三個貨艙：前艙、中倉和后艙。三個貨艙所能裝載的貨物的最大重量和體積有限制如表5所示。并且為了飛機的平衡，三個貨艙裝載的貨物重量必須與其最大的容許量成比例。

現有四類貨物用該貨機進行裝運，貨物的規格以及裝運后獲得的利潤如表6所示：

?

?假設：

（1）每種貨物可以無限細分；

（2）每種貨物可以分布在一個或者多個貨艙內；

（3）不同的貨物可以放在同一個貨艙內，并且可以保證不留空隙。 問應如何裝運，使貨機飛行利潤最大？

解：用=1,2,3,4分別表示貨物1，貨物2，貨物3和貨物4；=1,2,3分別表示前艙、中艙和后艙。設表示第i種貨物裝在第j個貨艙內的重量，分別表示第j個艙的重量限制和體積限制，分別表示可以運輸的第i種貨物的重量，單位重量所占的空間和單位貨物的利潤，則目標函數為

約束條件為

?

Matlab代碼：?

clc,clear c=[3100;3800;3500;2850]; c=c*ones(1,3); c=c(:);%把矩陣轉化成一列 a1=zeros(4,12); for i=1:4a1(i,i:4:12)=1; end b1=[18;15;23;12]; a2=zeros(3,12); for i=1:3a2(i,4*i-3:4*i)=1; end b2=[10;16;8]; a3=zeros(3,12); bb=[480;650;580;390]; for j=1:3a3(j,4*j-3:4*j)=bb; end b3=[6800;8700;5300]; a=[a1;a2;a3];b=[b1;b2;b3]; aeq=zeros(2,12); aeq(1,1:4)=1/10; aeq(1,5:8)=-1/16; aeq(2,5:8)=1/16; aeq(2,9:12)=-1/8; beq=zeros(2,1); [x,y]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,zeros(12,1)); x=reshape(x,[4,3]) x=sum(x'),y=-y

利用Matlab求解得到每個貨艙存放每種貨物的結果如下

即四種貨物的噸數分別為0t,15t,15.9474t,3.0526t，總利潤為121520元。

?

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Matlab线性规划的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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