模糊數學緒論

用數學的眼光看世界，可把我們身邊的現象劃分為:

確定性現象：如水加溫到100C就沸騰，這種現象的規律性靠經典數學去刻畫;

隨機現象：如擲篩子，觀看那一面向上，這種現象的規律性靠概率統計去刻畫;

模糊現象：如“今天天氣很熱”，“小伙子很帥”，…。

此話準確嗎？有多大的水分？靠模糊數學去刻畫。

??本文借鑒了數學建模清風老師的課件與思路，如果大家發現文章中有不正確的地方，歡迎大家在評論區留言，也可以點擊查看右側鏈接查看清風老師視頻講解：清風數學建模：https://www.bilibili.com/video/BV1DW411s7wi

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文章目錄

• • 模糊數學緒論
  • 一、概述
  • • 1. 數學中研究的量的劃分
    • 2. 模糊綜合評價模型
  • 二、經典集合和模糊集合的基本概念
  • • 1. 經典集合（classical set）和特征函數
    • 2. 模糊集合（fuzzy set）和隸屬函數
  • 三、隸屬函數的三種確定方法
  • • 1. 模糊統計法
    • 2. 借助已有的客觀尺度
    • 3. 指派法
  • 四 、 應用：模糊綜合評價( 評判 )
  • • 1. 評價問題概述
    • 2. 一級模糊綜合評價
    • 3. 多級模糊綜合評價
  • 五、模型總結

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一、概述

1. 數學中研究的量的劃分

量分為 確定性 和 不確定性：

確定性：

經典數學（幾何、代數）

不確定性：

隨機性（概率論、隨機過程）

灰性（灰色系統）

模糊性（模糊數學）

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2. 模糊綜合評價模型

??模糊綜合評價法是一種基于 模糊數學 的綜合 評價方法。該綜合評價法根據模糊數學的 隸屬度理論 把定性評價轉化為定量評價，即用模糊數學對受到多種因素制約的事物或對象做出一個總體的評價。
??它具有結果清晰，系統性強的特點，能較好地解決模糊的、難以量化的問題，適合各種 非確定性問題的解決。

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二、經典集合和模糊集合的基本概念

1. 經典集合（classical set）和特征函數

• 經典集合：具有相同屬性的事物的集體，例如：顏?、性別、?機、品牌等、?然數集。

• 集合的基本屬性：（1）若 $a\in A$，$b\in A$，則 $a=b$，這是 互斥性 的體現。（2）$a\in A$ 和 $a\in /A$，有且僅有之一發生，這是 確定性 的體現。

• 數學中對于經典集合的刻畫：特征函數
  
  ${\mathbf{f}}_{\mathbf{A}}:\mathbf{U}\to \{0,1\}$

  其中：$\to$ 代表定義，$U$ 代表論域（我們感興趣的一些對象的集合），$f_a$ 表示 $A$ 集合的特征函數。例：
  $$\begin{gathered} 成績及格的集合A=\{60,61,?,100\} \\ {f}_A=\{\begin{array}{l}\text{1,成績≥60}\\ \text{0,成績＜60}\end{array}，U是全班成績的一個集合\{65,77,?,36\} \\ {f}_A=\{\begin{array}{l}\text{1},x\in A\\ 0,x\in /A\end{array}，?x\in U(注：U可看作是定義域，\{0,1\}可看作是值域) \end{gathered}$$

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2. 模糊集合（fuzzy set）和隸屬函數

• 模糊集合：用來描述模糊性概念的集合。（帥、高、白、年輕…）
• 與經典集合相比，模糊集合承認 亦此亦彼
• 數學中對于模糊集合的刻畫： 隸屬函數
  
  ${\mathbf{u}}_{\mathbf{A}}:\mathbf{U}\to [0,1]$
  其中注意與{o,1} 的區別，{0，1}只有兩種可能，[0,1]有無數種可能。
  例：$A$ =”年輕“（年輕時一個模糊的概念），$U$ =（0，150）表示年齡的集合。隸屬函數如下：
  $$u_A=?\begin{array}{l}\text{1???,0＜x＜20}\\ \text{(}40?x)/20\text{?},20\le x\le 40\\ \text{0???,?40＜x＜150}\end{array}$$

注意：隸屬函數不唯一!
對于 U 中每一個元素，均對應于A中的一個隸屬度，隸屬度介于[0,1]，隸屬度越大越屬于這種集合。
注：若對于一個模糊集合 $A$ 我們給定一個隸屬函數 $u_A$，那么我們可以將 $A$ 和 $u_A$ 視為等同。（方便表示，即$A(x)=u_A(x)$ ）

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三、隸屬函數的三種確定方法

1. 模糊統計法

原理：找多個人與對一個模糊概念進行描述（例如發放問卷調查），用隸屬頻率去定義隸屬度。
這種方法只需要了解。

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2. 借助已有的客觀尺度

需要有合適的指標 , 并能收集到數據。

注：找到的指標必須介于0和1之間，否則需要做歸一化處理。
恩格爾系數(%) = 食品支出總額/家庭或個人消費支出總額×100%。隨著家庭和個?收?增加，收?中?于?品??的?出?例將逐漸減?，這?定律被稱為恩格爾定律。

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3. 指派法

根據問題的性質直接套用某些分布作為隸屬函數，主觀性較強。

其中，梯形分布用得較多。下面用例題進行說明：

例：已知某一天的 SO2 的濃度為0.07mg/m^3，大氣污染物中關于 SO2 的評價標準如下表，要求計算 SO2 在每一個等級中的隸屬度。

解：I級為偏小型，Ⅱ級和Ⅲ級為中間型，Ⅳ級為偏大型。（這里的確定主要是根據 偏向指定值 來劃分）

(等號在哪邊無所謂，一般使用梯形分布最為簡單)
則：A1(0.07)=0.8，A2(0.07)=0.2，A3(0.07)=0，A4(0.07)=0

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四 、 應用：模糊綜合評價( 評判 )

1. 評價問題概述

模糊評價問題是要解決的問題是：
??1. 把論域中的對象對應評語集中的一個指定的評語
??2. 將方案作為評語集并選擇一個最優的方案。

在模糊綜合評價中，引入三個集合：（下面的符號和概念中的符號表示的 含義不同）

因素集（評價指標集）??U = {u1,u2,…,un}

評語集（評價的結果集）?V = {v1,v2,…,vm}

權重集（指標的權重）??A = {a1,a2,…,an}

例：評價一名學生的表現，U = {專業排名，課外實踐，志愿服務，競賽成績}，V = {優，良，差}，A = {0.5，0.1，0.1，0.3}

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2. 一級模糊綜合評價

一級模糊綜合評價分為以下五個步驟：

確定因素集

確定評語集

確定該因素的權重

確定模糊綜合判斷矩陣

綜合評判

那么我們分析一下下面的兩道例題

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例1：某單位對員工的年終綜合判定

第一步：確定因素集

??對員工的表現，需要從多個方面進行綜合評判，如員工的工作業績、工作態度、溝通能力、政治表現等。所有這些因素構成了評價指標體系集合，即因素集，記為 $U=u_1,u_2,?,u_n$。

??注意：一級模糊評價中，n 往往較小（一般 ≤ 5）且 指標間相關性不強。

??取因素集：U = {工作業績u1，工作態度u1，溝通能力u3，政治表現u4 }

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第二步：確定評語集

??由于每個指標的評價值的不同，往往會形成不同的等級。如對工作業績的評價有好、較好、中等、較差、很差等。由各種不同決斷構成的集合稱為評語集，記為$V=v_1,v_2,?,v_m$。

??注意：這里評語集中有 m 個元素， m 與 n 無關。

??取評語集：V={優秀v1，良好v，一般v3，較差v4，很差v5 }

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第三步：確定各因素的權重

??一般情況下，因素集中的各因素在綜合評價中所起的作用是不相同的，綜合評價結果不僅與各因素的評價有關，而且在很大程度上還依賴于各因素對綜合評價所起的作用，這就需要確定一個各因素之間的權重分配，它是U上的一個模糊向量，記為 $A=[a_1,a_2,?,a_n]$。

其中：ai 為第 i 個因素的權重，且滿足 ∑ai=1。如果不滿足加和為1，那么可以在此處實現歸一化，也可在最終結果處歸一化。

假設說，此處已經確定了 各因素的權重 A = [0.25，0.2，0.25，0.3]

??確定權重的方法有很多，如：Delphi法（專家調查法）、加權平均法、眾人評估法。但是建議：當沒有數據的時候可采取層次分析法，有數據的時候可采取熵權法。 具體實現請查看以下兩篇文章：
數學建模 | 層次分析法（AHP）
數學建模 | 熵權法（客觀賦權法）

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第四步：確定模糊綜合評判矩陣，對每個元素 ui 做出評價

(注意：這里演示的是模糊統計法，并且這里的評定員工只有一位)

u1（工作業績）比如由群眾評議打分來確定：
R1 = [0.1，0.5，0.4，0，0] 。這個式子表示，參與打分的群眾中，有10%的人認為政治表現優秀，50%的人認為政治表現良好，40%的人認為政治表現一般，認為政治表現較差或差的人為0。用同樣方法對其他因素進行評價。

u2（工作態度），u3（溝通能力），由部門領導打分來確定:
R2 = [ 0.2，0.5 ，0.2，0.1，0 ]，R3= [ 0.2，0.5，0.3，0，0 ]。

u4（政治表現）由單位考核組成員打分來確定:
R4= [ 0.2，0.6，0.2，0，0]。

以 Ri 為第 i 行構成評價矩陣：

注意：

rij 與隸屬度的計算方式有關，方法選取的不同隸屬度可能有差異

0 ≤ rij ≤ 1

大小為 n × m，其中 n 是因素指標數目，m 是評語數目

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第五步：模糊綜合評判

進行矩陣合成運算：

最終得出結果：B = [0.175，0.53，0.275，0.02，0]。
大小為 1 × m，其 bi 表示意義為：要評價對象對評語 i 的隸屬度。
如：0.175 代表員工表現優秀的隸屬度為 0.175，或者說優秀占比17.5%（歸一化），員工表現良好占比53%，以此類推。

取數值最大的評語作為綜合評判結果，則該員工的評判結果為“良好”。

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例2：空氣質量

下表給出了大氣污染物評價標準，
今測得某日某地表中這些污染物日均濃度依次為：(0.07，0.20，0.123，5.00，0.08，0.14)
各污染物權重確定如下：(0.1，0.2，0.3，0.3，0.05，0.05)
試評價當天空氣質量等級。

表??大氣污染物評價標準??mg/m3

解：
第一步：取因素集： U = {SO2，TSP，NOx，CO，PM1，O3}
第二步：取評語集： V = {I級，Ⅱ級，Ⅲ級，Ⅳ級}
第三步：確定各因素權重：A = [ 0.1，0.2，0.3，0.3，0.05，0.05]
第四步：確定模糊綜合評判矩陣。
（與上一題相比，這里給了實際的空氣污染的等級數據計算隸屬度，因此選用指派法。）

??首先，需要構造隸屬函數
???其中I級為偏小型，Ⅱ級和Ⅲ級為中間型，Ⅳ級為偏大型。

污染物i對空氣質量各等級的隸屬函數(梯形分布)

??其次，代入數據求解模糊綜合評判矩陣

??各種污染物的濃度分別為 ( 0.07，0.20，0.123，5.00，0.08，0.14)，拿 SO2 為 0.07mg/m3 舉例:

??則 :

??將其結果填入矩陣，以此類推，最終的模糊綜合評判矩陣為：

第五步：綜合評判

最終結果得出，空氣質量為二級（二級的隸屬度最高）！

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重要擴展：

??上面的空氣質量例題因為其每個污染物指標都趨于一個方向，即污染物含量越少所對應的空質量越好（這里可以理解為 TOPSIS 中的極小型指標），那么可以用一組隸屬函數。
??但如果說指標含有不同類型的指標，如：既含有極大型指標也含有極小型指標，那么這里就需要注意了，一種方案可采取建立不同隸屬函數分別對應相應類型的指標，另一種方案可以采取正向化都變成極大型指標。

??注意：上文提到的極大型（極小型）指標，和模糊集合的三類（偏小型、中間型、偏大型）是兩種概念。極大型（極小型）指標強調的是指標本身對于評語或者方案的好壞（越多越好，或者越少越好），而模糊集合的三類（偏小型、中間型、偏大型）強調的是指標數值的趨向程度。

那么我們拿一道例題說明：

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??由題目我們可以明確：評語集變成5種方案，因素集的五種因素，可采礦量、凈現值為極大型指標，基建投資、采礦成本一級不穩定費用是極小型指標，因此就需要對其進行一些處理，直接看答案是怎么處理的吧~

??答案將 基建投資、不穩定費用 正向化成極大型指標，對于極小型指標 采礦成本 單獨建立隸屬函數進行求值，當然這也可以做和 基建投資、不穩定費用 一樣的正向化處理。

??這里我們需要注意：當隸屬函數求值只用梯形分布最終的隸屬度和為1，用其他方法求隸屬度會使得最終的隸屬度和不為1，但不影響最終的評判效果。另外一點，這里這道題目對于基建投資、不穩定費用隸屬函數的求法是采取的第二種：借助已有的客觀尺度。

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3. 多級模糊綜合評價

??一級模糊綜合評價是多級模糊綜合評價的基礎。它是將一級模糊評價因素集指標的相關性指標進行 統一綜合，因為上文講過一級模糊評價的指標之間是相關性不強的，那么這樣相關性指標在只考慮這一種因素的情況下是不相關的，即相對不相關。然后對每個相關性指標進行綜合，求得只看這一組指標對于評語集的隸屬度，此方法進行類推，最后在綜合。

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例：評價學?的表現并作為獎學金的評判標準。
因素集 U = { 專業課成績、非專業課成績、國家競賽成績、省級競賽成績、校級競賽成績、國家級獎項、省級獎項、校級獎項、志愿服務}
評語集 V = {一等，二等，無獎學金}

假設我們現在權重的分配如上圖所示，那么先對 u(1) 進行一級模糊評判，
假設 R1 =[0.8 0.2 0; 0.7 0.3 0]，進行綜合評判：B1 = A1·R1 = [0.76 0.24 0]。
結果表明只看學習成績76%的人認為該名同學可以獲得一等，24%的人認為該名同學可以獲得二等。

以此類推，我們分別獲得了只看競賽成績、只看個人榮譽、只看志愿服務的該名同學獲得獎學金的隸屬度。
那么構造最終的模糊綜合評判矩陣：

在進行最終的綜合評判：B = A·R =[0.439，0.297，0.264]，所以最終這名學生獲得一等獎學金。

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五、模型總結

隸屬函數有三種確定方法，要根據實際情況來選擇使用。

極大型（極小型）指標，和模糊集合的三類（偏小型、中間型、偏大型）是兩種概念，注意區分。

模糊綜合評價的因素指標是相關性不強的，如果有相關項較強的需要進行多級模糊綜合評價，級數一般不超過3層。

隸屬函數的指派法，分布的選取含有一定的主觀性，應有必要的文字說明。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的清风数学建模学习笔记——模糊综合评价法原理及案例分析讲解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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