文章目錄

• 一、算法介紹
• • 1.算法介紹
  • 2.模型介紹
• 二、適用問題
• 三、算法總結
• • 1.M/M/1排隊系統
  • 2.M/M/S排隊系統
• 四、應用場景舉例
• • 1.M/M/1排隊系統
  • 2.M/M/S排隊系統1
  • 2.M/M/S排隊系統2
• 五、MATLAB代碼
• • 1.M/M/1
  • 2.M/M/S
• 六、實際案例
• 七、論文案例片段（待完善）

排隊論主要針對數學建模問題中的一些小的子問題進行求解，如果想直接使用請跳轉至——四、五
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一、算法介紹

1.算法介紹

?排隊論發源于上世紀初。當時美國貝爾電話公司發明了自動電話，以適應日益繁忙的工商業電話通訊需要。這個新發明帶來了一個新問題，即通話線路與電話用戶呼叫的數量關系應如何妥善解決，這個問題久久未能解決。
?1909年，丹麥的哥本哈根電話公司A. K.埃爾浪(Er lang)在熱力學統計平衡概念的啟發下解決了這個問題。
?(1)由于顧客到達和服務時間的隨機性，現實中的排隊現象幾乎不可避免;
?(2)排隊過程，通常是一個隨機過程，排隊論又稱“隨機服務系統理論”

2.模型介紹

• 排隊系統的要素

?(1)顧客輸入過程;

?(2)排隊結構與排隊規則;

?(3)服務機構與服務規則;

• 服務臺(員)為顧客服務的順序:
  a)先到先服務(FCFS);
  b)后到先服務(LCFS);
  c)隨機服務;
  d)優先服務;
• 到達間隔和服務時間典型分布
  （1）泊松分布M ；
  （2）負指數分布M ；
  （3）k階愛爾朗分布Ek；
  （4）確定型分布D；
  （5）一般服務時間分布G；
• 排隊模型示例
  ——M/M/1，M/D/1，M/ Ek /1；
  ——M/M/c，M/M/c/∞/m，
  ——M/M/c/N/∞，。。。
  
  
  
• 評價參數???
  ?1、隊長與排隊長
  ?(1)隊長: 系統中的顧客數（n）期望值記為Ls ；
  ?(2)排隊長: 系統中排隊等待服務的顧客數;期望值記為Lq
  ?2、逗留時間與等待時間
  ?(1)逗留時間:指一個顧客在系統中的全部停留時間；期望值，記為Ws
  ?(2)等待時間:指一個顧客在系統中的排隊等待時間；期望值，記為Wq
  Ws = Wq + E[服務時間]
  3、其他相關指標
  ?(1)忙期: 指從顧客到達空閑服務機構起到服務
  機構再次空閑的時間長度；
  ?(2)忙期服務量：指一個忙期內系統平均完成
  服務的顧客數；
  ?(3)損失率: 指顧客到達排隊系統，未接受服務
  而離去的概率；
  ??(4)服務強度：ρ= λ/sμ；
  
  
  

二、適用問題

• 排隊問題
• 例如：

三、算法總結

1.M/M/1排隊系統

2.M/M/S排隊系統

四、應用場景舉例

1.M/M/1排隊系統

2.M/M/S排隊系統1

2.M/M/S排隊系統2

五、MATLAB代碼

1.M/M/1

clear clc %***************************************** %初始化顧客源 %***************************************** %總仿真時間 Total_time = 10; %隊列最大長度 N = 10000000000; %到達率與服務率 lambda = 10; mu = 6; %平均到達時間與平均服務時間 arr_mean = 1/lambda; ser_mean = 1/mu; arr_num = round(Total_time*lambda*2); events = []; %按負指數分布產生各顧客達到時間間隔 events(1,:) = exprnd(arr_mean,1,arr_num); %各顧客的到達時刻等于時間間隔的累積和 events(1,:) = cumsum(events(1,:)); %按負指數分布產生各顧客服務時間 events(2,:) = exprnd(ser_mean,1,arr_num); %計算仿真顧客個數，即到達時刻在仿真時間內的顧客數 len_sim = sum(events(1,:)<= Total_time); %***************************************** %計算第 1個顧客的信息 %***************************************** %第 1個顧客進入系統后直接接受服務，無需等待 events(3,1) = 0; %其離開時刻等于其到達時刻與服務時間之和 events(4,1) = events(1,1)+events(2,1); %其肯定被系統接納，此時系統內共有 %1個顧客，故標志位置1 events(5,1) = 1; %其進入系統后，系統內已有成員序號為 1 member = [1]; for i = 2:arr_num %如果第 i個顧客的到達時間超過了仿真時間，則跳出循環 if events(1,i)>Total_time break; else number = sum(events(4,member) > events(1,i)); %如果系統已滿，則系統拒絕第 i個顧客，其標志位置 0 if number >= N+1 events(5,i) = 0; %如果系統為空，則第 i個顧客直接接受服務 else if number == 0 %其等待時間為 02009.1516%PROGRAMLANGUAGEPROGRAMLANGUAGE events(3,i) = 0; %其離開時刻等于到達時刻與服務時間之和 events(4,i) = events(1,i)+events(2,i); %其標志位置 1 events(5,i) = 1; member = [member,i]; %如果系統有顧客正在接受服務，且系統等待隊列未滿，則 第 i個顧客進入系統 else len_mem = length(member); %其等待時間等于隊列中前一個顧客的離開時刻減去其到 達時刻 events(3,i)=events(4,member(len_mem))-events(1,i); %其離開時刻等于隊列中前一個顧客的離開時刻加上其服 %務時間 events(4,i)=events(4,member(len_mem))+events(2,i); %標識位表示其進入系統后，系統內共有的顧客數 events(5,i) = number+1; member = [member,i]; end end end end %仿真結束時，進入系統的總顧客數 len_mem = length(member); %***************************************** %輸出結果 %***************************************** %繪制在仿真時間內，進入系統的所有顧客的到達時刻和離 %開時刻曲線圖（stairs：繪制二維階梯圖） stairs([0 events(1,member)],0:len_mem); hold on; stairs([0 events(4,member)],0:len_mem,'.-r'); legend('到達時間 ','離開時間 '); hold off; grid on; %繪制在仿真時間內，進入系統的所有顧客的停留時間和等 %待時間曲線圖（plot：繪制二維線性圖） figure; plot(1:len_mem,events(3,member),'r-*',1: len_mem,events(2,member)+events(3,member),'k-'); legend('等待時間 ','停留時間 '); grid on;

2.M/M/S

s=2; mu=4; lambda=3; ro=lambda/mu; ros=ro/s; sum1=0;for i=0:(s-1)sum1=sum1+ro.^i/factorial(i); endsum2=ro.^s/factorial(s)/(1-ros);p0=1/(sum1+sum2); p=ro.^s.*p0/factorial(s)/(1-ros); Lq=p.*ros/(1-ros); L=Lq+ro; W=L/lambda; Wq=Lq/lambda; fprintf('排隊等待的平均人數為%5.2f人\n',Lq) fprintf('系統內的平均人數為%5.2f人\n',L) fprintf('平均逗留時間為%5.2f分鐘\n',W*60) fprintf('平均等待時間為%5.2f分種\n',Wq*60)

六、實際案例

七、論文案例片段（待完善）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数学建模】排队论（最优化）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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