• 在《高斯型積分公式(一)》中給出了一個構造高斯型積分公式的例子，可以看到構造與權函數(shù) $\rho (x)$ 正交的多項式函數(shù) ${\omega }_{n+1}(x)$，(這一步本質上是在選擇積分節(jié)點)，而后再進行積分系數(shù)求解這一完整過程是相當復雜的。
• 在《函數(shù)最佳逼近(一)》中為了得到易于求解且數(shù)值穩(wěn)定的正規(guī)方程，我們嘗試選擇正交多項式序列作為基函數(shù)，從而引出了具有帶權正交性質的勒讓德多項式、切比雪夫多項式等。

高斯積分公式

• 勒讓德求積公式.
• • 低階GL公式.
• 切比雪夫公式.
• 一叨.

勒讓德求積公式.

• 取權函數(shù) $\rho (x)=1$，積分區(qū)間為 $[?1,1]$.
• 由于勒讓德多項式在區(qū)間 $[?1,1]$ 正交：$${\int }_{?1}^1{P}_m(x)P_{n+1}(x)dx=0;m=0,1,...,n$$取 ${\omega }_{n+1}(x)=\frac{1}{a_{n+1}}{P}_{n+1}(x)$，其中 $a_{n+1}$ 是 $P_{n+1}(x)$ 首項系數(shù)，并且我們發(fā)現(xiàn)此時 ${\omega }_{n+1}(x)$ 的零點與 $P_{n+1}(x)$ 的零點相同。所以$$A_k={\int }_{?1}^1\frac{{\omega }_{n+1}(x)}{(x?x_k){\omega }_{n+1}^{\prime }(x_k)}?dx={\int }_{?1}^1\frac{P_{n+1}(x)}{(x?x_k)P_{n+1}^{\prime }(x_k)}?dx$$計算得到$$A_k=\frac{2}{(1?x_k^2)[P_{n+1}^{\prime }(x_k){]}^2}$$
• 概括來說，上述公式使用勒讓德多項式的零點作為高斯節(jié)點，因此稱為高斯-勒讓德求積公式。積分誤差表示如下：$$R(f)=\frac{2^{2n+3}[(n+1)!{]}^4}{(2n+3)[(2n+2)!{]}^3}?f^{(2n+2)}(\eta )$$

低階GL公式.

• $n=0$ 時，插值節(jié)點 $x_0=0$，勒讓德多項式 $P_1(x)=x$，此時高斯勒讓德公式：$${\int }_{?1}^{1}f(x)dx\approx 2f(0);A_0=2$$
• $n=1$ 時，插值節(jié)點 $x_0=?\frac{1}{\sqrt{3}},x_1=\frac{1}{\sqrt{3}}$，勒讓德多項式 $P_2(x)=\frac{1}{2}?(3x^2?1)$，此時高斯勒讓德公式：$${\int }_{?1}^{1}f(x)dx=f(\frac{1}{\sqrt{3}})+f(?\frac{1}{\sqrt{3}});A_0=A_1=1$$
• 對于積分區(qū)間一般化為 $[a,b]$ 時，我們可以使用和函數(shù)最佳逼近中同樣的策略，做代換$$x=\frac{a+b}{2}+\frac{b?a}{2}?t$$從而將積分轉化為區(qū)間 $[?1,1]$ 上的積分。

切比雪夫公式.

• 取權函數(shù) $\rho (x)=\frac{1}{\sqrt{1?x^2}}$，積分區(qū)間為 $[?1,1]$，積分節(jié)點為切比雪夫多項式(第一類)的零點$$x_k=cos\left(\frac{2k+1}{2n+2}\pi \right)$$，相應地積分系數(shù)$$A_k=\frac{\pi }{n+1}$$，于是我們得到高斯切比雪夫公式：$${\int }_{?1}^1\frac{1}{\sqrt{(}1?x^2)}f(x)dx\approx \frac{\pi }{n+1}\sum _{k=0}^{n}f\left(cos\left(\frac{2k+1}{2n+2}\pi \right)\right)$$
• 其誤差表示為$$R(f)=\frac{2\pi }{2^{2n+2}(2n+2)!}{f}^{(2n+2)(\eta )}$$

一叨.

• 在高斯型積分公式具有 $2n+1$ 階代數(shù)精度的定理中，要求 ${\omega }_{n+1}(x)$ 與所有的不超過 $n$ 次的多項式函數(shù) $q(x)$ 帶權正交。而勒讓德多項式作為一組正交基函數(shù)，$P_i(x)|i=0,1,...,n$ 可以通過線性組合得到所有不超過 $n$ 次的多項式函數(shù) $q(x)$，因此選用 $P_{n+1}(x)$ 作為 ${\omega }_{n+1}(x)$ 能夠滿足高斯型積分公式的要求。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【NA】高斯积分公式(二)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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