高等代數(shù)–多項式

聲明： 本篇文章內(nèi)容主要對《高等代數(shù)》第三版第一章內(nèi)容的總結(jié)，復(fù)習(xí)。

數(shù)域

按照所研究的問題，我們常常需要明確規(guī)定所考慮的數(shù)的范圍，在不同的范圍內(nèi)，所得到的結(jié)果可能是不同的。

數(shù)的概念經(jīng)歷了一個長期的發(fā)展過程，大體上，是由自然數(shù)到整數(shù)、有理數(shù)，然后是實數(shù)，再到復(fù)數(shù)。
在代數(shù)中經(jīng)常是將有共同性質(zhì)的對象統(tǒng)一進(jìn)行討論，關(guān)于數(shù)的加減乘除等運算的性質(zhì)統(tǒng)稱為數(shù)的代數(shù)性質(zhì)。除了自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)等集合，有時我們還會碰到一些其它的數(shù)的范圍,為了方便起見,當(dāng)我們把這些數(shù)當(dāng)作整體來考慮的時候,常稱它為一個數(shù)的集合,簡稱數(shù)集.有些數(shù)集也具有與有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)的全體所共有的代數(shù)性質(zhì).為了在討論中能夠把它們統(tǒng)一起來,我們引入一個一般的概念。

定義1： 設(shè)P是由一些復(fù)數(shù)組成的集合,其中包括0與1. 如果P中任意兩個數(shù)(這兩個數(shù)也可以相同)的和差、積、商(除數(shù)不為零)仍然是P中的數(shù),那么P就稱為一個數(shù)域。

重點：

全體有理數(shù)組成的集合、全體實數(shù)組成的集合、全體復(fù)數(shù)組成的集合都是數(shù)域，這三個數(shù)域我們分別用字母Q、R、C來代表.

如果數(shù)的集合P中任意兩個數(shù)作某一運算的結(jié)果都仍在P中,我們就說數(shù)集P對這個運算是封閉的。因此,數(shù)域的定義也可以說成,如果一個包含0,1在內(nèi)的數(shù)集P對于加法、減法、乘法與除法(除數(shù)不為0)是封閉的,那么P就稱為一個數(shù)域。

所有的數(shù)域都包含有理數(shù)域作為它的一部分。

一元多項式

定義2： 設(shè)n是一非負(fù)整數(shù)形式表達(dá)式


注意： 區(qū)分零多項式和零次多項式。

數(shù)域P上的兩個多項式經(jīng)過加、減、乘等運算后,所得結(jié)果仍然是數(shù)域P上的多項式，多項式乘積的首項系數(shù)就等于因子首項系數(shù)的乘積。且有：


和數(shù)的運算一樣,多項式的運算也滿足下面的一些規(guī)律：


定義4： 所有系數(shù)在數(shù)域P中的一元多項式的全體,稱為數(shù)域P上的一元多項式環(huán), 記為P[x], P稱為P[x]的系數(shù)域。

整除的概念

注意：接下來的討論都在某一固定的數(shù)域p上的多項式環(huán)P[x]中進(jìn)行的。

例子：


重要性質(zhì)：

1.如果f(x) | g(x), g(x) | f(x),那么f(x) = cg(x) ,其中c為非零常數(shù)。
2.如果f(x) | g(x), g(x) | h(x), 那么f(x) | h(x)(整除的傳遞性)。
3.

**注意·：**兩個多項式之間的整除關(guān)系不因為系數(shù)域的擴大而改變

最大公因式

定義6： 設(shè)f(x), g(x)是P[x]中兩個多項式. P[x]中多項式d(x)稱為f(x), g(x)的一個最大公因式, 如果它滿足下面兩個條件：
1) d(x)是f(x), g(x)的公因式
2)f(x), g(x)的公因式全是d(x)的因式
**注意：**對于任意多項式f(x), f(x)就是f(x)與0的一個最大公因式特別地, 根據(jù)定義, 兩個零多項式的最大公因式就是0。


**注意：**我們約定,用 (f(x),g(x)) 來表示首項系數(shù)是1的那個最大公因式。

例子：輾轉(zhuǎn)相除法

定義7：P[x]中兩個多項式f(x), g(x)稱為互素(也稱互質(zhì))的, 如果(f(x),g(x))=1。

定理3： P[x]中兩個多項式f(x), g(x)互素的充分必要條件是有P[x]中的多項式u(x), v(x)使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.

定理4: 如果(f(x), g(x)) =1,且f(x) | g(x)h(x),那么f(x) I h(x)

推論： 如果f(x) | g(x), h(x) | g(x),且(f(x),h(x)) = 1,那么f(x)h(x) | g(x)

因式分解定理

定義8： 數(shù)域P上次數(shù)≥1的多項式p(x)稱為域P上的不可約多項式,如果它不能表成數(shù)域P上的兩個次數(shù)比p(x)的次數(shù)低的多項式的乘積。
注意： 討論因式分解的前提是要明確在那個數(shù)域中對其進(jìn)行討論的。一個多項式是否不可約依賴于系數(shù)域的，

定理5： 如果p(x)是不可約多項式,那么對于任意的兩個多式f(x), g(x), 由p(x) | f(x)g(x) 一定推出p(x)|f(x) 或者 p(x)|g(x)

因式分解及唯一性定理: 數(shù)域P上每一個次數(shù)≥1的多項式f(x)都可以唯一地分解成數(shù)域P上一些不可約多項式的乘積.

標(biāo)準(zhǔn)分解式： 首項系數(shù)為1的不可約多項式。

重因式

多項式函數(shù)
定理7： (余數(shù)定理)用一次多項式 x-a 去除多項式f(x), 所得的余式是一個常數(shù) ,這個常數(shù)等于函數(shù)值f(a).

復(fù)系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解

代數(shù)基本定理: 每個次數(shù)≥1的復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域中有一根。

每個次數(shù)≥1的復(fù)系數(shù)多項式,在復(fù)數(shù)域上一定有一個一次因式。

復(fù)系數(shù)多項式因式分解定理： 每個次數(shù)≥1的復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式的乘積

**實系數(shù)多項式因式分解定理：**每個次數(shù)≥1的實系數(shù)多項式在實數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式與二次不可約因式的

有理系數(shù)多項式

每個次數(shù)≥1的有理系數(shù)多項式都能唯一地分解成不可約的有理系數(shù)多項式的乘積

1.有理系數(shù)多項式的因式分解的問題,可以歸結(jié)為整(數(shù))系數(shù)多項式的因式分解問題,并進(jìn)而解決求有理系數(shù)多項式的有理根的問題
2.在有理系數(shù)多項式環(huán)中有任意次數(shù)的不可約多項式

多元多項式

P34-P39

對稱多項式

P39-P44

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參考書籍：《高等代數(shù)》第三版 王萼芳 石生明 修訂 高等教育出版社

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的高等代数---多项式的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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