一、平面極坐標系定義

1. 定義

在參考系上取一點 $O$ 稱為極點，由 $O$ 點引一有刻度的射線，稱之為極軸，即構成極坐標系。

2. 極坐標系

質點的位置 $P$ 由極徑 $\rho$ 和幅角 $\theta$ 給出。如下圖所示。

$\rho$ ：極徑，極點到質點的距離
$\theta$：幅角或極角，極徑與極軸的夾角，規定角度取逆時針方向為正

3. 正交單位矢量

• 徑向單位矢量 $\mathbf{i}$ ：方向從極點指向質點。則矢徑 $\mathbf{r}=\rho \mathbf{i}$。
• 橫向單位矢量 $\mathbf{j}$ ：方向與徑向單位矢量垂直，且指向 $\theta$ 增加的方向。

4. 正交單位矢量對時間 t 的導數的計算

設初始時刻質點位置為$P_1$，經過時間$dt$，質點位置為$P_2$，幅角變化量為$d\theta$。如下圖所示。

4.1 徑向單位矢量$\mathbf{i}$

經過時間$dt$，徑向單位矢量由${\mathbf{i}}_1$變化到${\mathbf{i}}_2$，轉過的角度為$d\theta$。
$$d\mathbf{i}={\mathbf{i}}_2?{\mathbf{i}}_1$$

由于$\mathbf{i}$為單位矢量，且$dt$為趨于$0$的微元。所以$d\mathbf{i}$的大小即為以$|\mathbf{i}|$為半徑，角度為$d\theta$所對應的弧長（單位矢量$\mathbf{i}$從${\mathbf{i}}_1$旋轉到${\mathbf{i}}_2$時，箭頭末端所經過的路程），其大小為：
$$|d\mathbf{i}|=|\mathbf{i}|?d\theta =d\theta$$

$d\mathbf{i}$的方向為從${\mathbf{i}}_1$的末端指向${\mathbf{i}}_2$的末端，當$dt$趨于$0$時，$d\mathbf{i}$的方向垂直于$\mathbf{i}$并且指向$\theta$的增加方向，所以$d\mathbf{i}$與$\mathbf{j}$同向。即：
$$d\mathbf{i}=\mathbf{j}d\theta$$

對時間的導數為
$$\frac{d\mathbf{i}}{dt}=\mathbf{j}\frac{d\theta }{dt}$$

4.2 橫向單位矢量$\mathbf{j}$

同理，經過時間$dt$，橫向單位矢量由${\mathbf{j}}_1$變化到${\mathbf{j}}_2$，轉過的角度為$d\theta$。
$$d\mathbf{j}={\mathbf{j}}_2?{\mathbf{j}}_1$$

其大小為
$$|d\mathbf{j}|=|\mathbf{j}|?d\theta =d\theta$$

其方向與徑向單位矢量$\mathbf{i}$反向，所以橫向單位矢量對時間的導數為
$$\frac{d\mathbf{j}}{dt}=?\mathbf{i}\frac{d\theta }{dt}$$

二、極坐標系下運動方程

• 運動學方程：$r=r(t)$,\hspace{0.3cm} $\theta =\theta (t)$
• 質點位置矢量：$\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$
• 質點軌跡方程：$r=r(\theta )$

三、極坐標系中的速度

在極坐標系中
$$\mathbf{r}=\rho \mathbf{i}$$

速度
$$\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d(\rho \mathbf{i})}{dt}=\frac{d\rho }{dt}\mathbf{i}+\rho \frac{d\mathbf{i}}{dt}$$

又
$$\frac{d\mathbf{i}}{dt}=\mathbf{j}\frac{d\theta }{dt}$$

所以
$$\mathbf{v}=\frac{d\rho }{dt}\mathbf{i}+\rho \frac{d\theta }{dt}\mathbf{j}=v_r\mathbf{i}+v_{\theta }\mathbf{j}$$

• 徑向速度$v_r=\frac{d\rho }{dt}$，由位矢的量值變化所引起的；
• 橫向速度$v_{\theta }=\rho \frac{d\theta }{dt}$，由位矢方向的變化所引起的，其中$\omega =\frac{d\theta }{dt}$為角速度。

總的速度大小
$$|\mathbf{v}|=\sqrt{v_r^2+v_{\theta }^2}=\sqrt{(\frac{d\rho }{dt}{)}^2+(\rho \frac{d\theta }{dt}{)}^2}$$

四、極坐標系中的加速度

由加速度定義
$$\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{d\rho }{dt}\mathbf{i}+\rho \frac{d\theta }{dt}\mathbf{j})$$

其中
$$\frac{d}{dt}(\frac{d\rho }{dt}\mathbf{i})=\frac{d^2\rho }{d{t}^2}\mathbf{i}+\frac{d\rho }{dt}\frac{d\mathbf{i}}{dt}=\frac{d^2\rho }{d{t}^2}\mathbf{i}+\frac{d\rho }{dt}\frac{d\theta }{dt}\mathbf{j}$$

$$\frac{d}{dt}(\rho \frac{d\theta }{dt}\mathbf{j})=\frac{d\rho }{dt}\frac{d\theta }{dt}\mathbf{j}+\rho \frac{d^2\theta }{d{t}^2}\mathbf{j}+\rho \frac{d\theta }{dt}\frac{d\mathbf{j}}{dt}=\frac{d\rho }{dt}\frac{d\theta }{dt}\mathbf{j}+\rho \frac{d^2\theta }{d{t}^2}\mathbf{j}?\rho (\frac{d\theta }{dt}{)}^2\mathbf{i}$$

由此可得
$$\mathbf{a}=[\frac{d^2\rho }{d{t}^2}?\rho (\frac{d\theta }{dt}{)}^2]\mathbf{i}+[\rho \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+2\frac{d\rho }{dt}\frac{d\theta }{dt}]\mathbf{j}=a_r\mathbf{i}+a_{\theta }\mathbf{j}$$

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的平面极坐标系下质点的运动方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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