图说Fourier变换
傅里葉變換是傅里葉發(fā)現(xiàn)的，說(shuō)起傅里葉這位大佬，他是一位研究熱能的科學(xué)家，在研究熱傳導(dǎo)的時(shí)候發(fā)現(xiàn)了傅里葉變換，但傅里葉變換不僅只應(yīng)用于熱能，在聲學(xué)，光學(xué)，電子學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用．
傅里葉老先生的原話是：
"any function of a variable,whether continuous or discontinuous, can be expanded in a series of sines of multiples of the variable."
這樣講比較抽象，如果具體到場(chǎng)景，以音頻為例，可以說(shuō)成:
"any sound can be broken down into a series of sine waves? at many differenct frequencies"
這樣是不是好理解多了？雖然傅里葉變換是傅里葉的發(fā)現(xiàn)，但是傅里葉變換的思想可以追溯到古希臘對(duì)天文學(xué)的研究，古希臘天文學(xué)家認(rèn)為宇宙的結(jié)構(gòu)分成本輪和均輪，地球在宇宙中心，天體在不同的位置繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)，但天體并不是位于以地球?yàn)閳A心的軌道上，而是在其稱為本輪的軌道上勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，本輪的中心在以地球?yàn)橹行牡能壍?#xff08;均輪）上勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，由于天體在本輪與均輪上運(yùn)動(dòng)的組合，造成天體到地球的距離是變化的。這種結(jié)構(gòu)可以解釋很多天文現(xiàn)象。
結(jié)構(gòu)是不是和上面的動(dòng)圖很像？佩服古人的想象力吧。
理論分析和作圖實(shí)踐
如同泰勒級(jí)數(shù)一樣，Fourier級(jí)數(shù)是一種特殊形式的函數(shù)展開(kāi)，一個(gè)函數(shù)按照泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)時(shí)，基底函數(shù)取
而一個(gè)函數(shù)按傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)時(shí)，基底函數(shù)取
它們構(gòu)成無(wú)窮維的空間，這些無(wú)窮維空間的表示多是完備的，也就是缺少任何一個(gè)都不可以。最常遇到的函數(shù)在它的定義域內(nèi)每一點(diǎn)都可以展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，而傅里葉展開(kāi)則需要一些條件。
與泰勒級(jí)數(shù)不同的是，在傅里葉級(jí)數(shù)中，任意兩個(gè)不同的基底函數(shù)在
上是正交的．也就是：
?
這里，基底函數(shù)的正交性對(duì)一個(gè)函數(shù)的傅里葉展開(kāi)是至關(guān)重要的，傅里葉級(jí)數(shù)是一種很自然的函數(shù)展開(kāi)形式，不但能夠解決某些數(shù)學(xué)上的經(jīng)典問(wèn)題，而且是描述許多重要物理現(xiàn)象的基礎(chǔ)，如力學(xué)，聲學(xué)，電子學(xué)以及信號(hào)分析，控制科學(xué)等．
一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)在一般情況下表示為:
其中，和是展開(kāi)系數(shù)．假定一個(gè)周期為的函數(shù)
能按上式展開(kāi)，之所以假定周期為是為了計(jì)算方便，因?yàn)橹芷跒榈暮瘮?shù)，角速度為：
這樣，展開(kāi)后的各次諧波可以寫(xiě)成
的形式．當(dāng)然定義周期非也可以，只是推到過(guò)程中函數(shù)形式上會(huì)復(fù)雜一些，這里為了方便計(jì)算，定義周期為．
所以，傅里葉級(jí)數(shù)可以看成一些列周期為
的三角波的疊加。
即便, 最終積分的時(shí)候，根據(jù)積化和差公式，得到包含
，,,
的項(xiàng)，它們的角頻率都是一次諧波的整數(shù)倍，也就是說(shuō)，周期都可以被一次諧波整除，而積分范圍是一次諧波的一個(gè)周期范圍，必定包含整數(shù)個(gè)高次諧波的波形，而三角波再周期范圍內(nèi)積分為0，所以，積分結(jié)果也必定為0.
現(xiàn)在計(jì)算其中的展開(kāi)系數(shù)．
對(duì)上式兩邊在范圍進(jìn)行積分,并利用正交性:
所以:
所以是函數(shù)在區(qū)間的平均值，為了計(jì)算系數(shù),按照同樣的套路，對(duì)兩邊同乘以,然后在范圍積分，并利用正交性，得到:
所以：
類似，對(duì)前式兩邊同乘以,積分后得到:
Notes: 上面計(jì)算過(guò)程的積分范圍是,其實(shí)也可以選擇,計(jì)算結(jié)果系數(shù)表達(dá)式不變，只是將積分范圍變?yōu)?#xff0c;事實(shí)上，由于被積分的函數(shù)是以為周期的，積分范圍可以選擇任意一個(gè)寬度為的區(qū)間．
傅里葉變換的本質(zhì)是內(nèi)積，內(nèi)積的本質(zhì)是投影，三角函數(shù)的特殊性在于，它是一個(gè)完備的正交函數(shù)集，不同頻率的三角函數(shù)之間的內(nèi)積為0，也就是垂直，正交，或者毫不相關(guān)，只有頻率相同的三角函數(shù)，內(nèi)積才不是0（很顯然，自身到自身的投影，長(zhǎng)度一定不為0， 除非自身就是0).從這個(gè)角度看，我們求得的傅里葉系數(shù)只是再不同的函數(shù)上的投影坐標(biāo)。
綜上，得到傅里葉系數(shù)：
假如被積函數(shù)有周期,則積分區(qū)間可以用任意一個(gè)寬度為的區(qū)間代替，例如.，因?yàn)闊o(wú)論區(qū)間怎樣取，周期內(nèi)積分必定相等．
從純數(shù)學(xué)的角度講，上面的過(guò)程是使用三角函數(shù)逼近周期函數(shù)的過(guò)程，如果在頻率增加時(shí)，fourier系數(shù)快速收斂為０，則信號(hào)表現(xiàn)是光滑的，如果在頻率較大的時(shí)候，有一些系數(shù)仍然無(wú)法收斂，則圖形會(huì)變成有高頻噪聲的情況，可以使用低通濾波對(duì)頻率進(jìn)行過(guò)濾，得到低頻部分．
法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉在提出傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)認(rèn)為，任何一個(gè)周期信號(hào)都可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，后來(lái)發(fā)現(xiàn)還要加上一些條件，不過(guò)這些條件非常的弱，之后經(jīng)過(guò)進(jìn)一步補(bǔ)充，只有在滿足狄利克雷條件時(shí)，周期信號(hào)才能夠被展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)。其中，狄利克雷條件的定義如下：
這三個(gè)條件是充分條件，但不是必要條件，也就是說(shuō)，存在一些函數(shù)有傅里葉展開(kāi)，但是卻不一定滿足上面這三條，但是對(duì)于滿足上面三條的函數(shù)，一定可以進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)．
關(guān)于間斷點(diǎn)的分類，見(jiàn)下圖：
收斂情況，在的連續(xù)點(diǎn)，傅里葉級(jí)數(shù)收斂于:
但是在的間斷點(diǎn)，收斂于:
其中和是在處的左極限和右極限，這里的含義是，如果將函數(shù)按照傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，這個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)再原函數(shù)的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)收斂于對(duì)應(yīng)連續(xù)點(diǎn)的值，但是在原函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn)，則收斂于這個(gè)間斷點(diǎn)左右極限的算數(shù)平均值．
這也側(cè)面反應(yīng)，左右極限存在是傅里葉變換可以進(jìn)行的必要條件．
另外，根據(jù)條件1和條件3，也可以得出，?隨著系數(shù)增大，逐漸趨于0的事實(shí)，這也說(shuō)明傅里葉變換后，高頻分量能量趨近于零，可以忽略。
現(xiàn)在我們證明一下：
根據(jù)條件1和3，f(x)滿足絕對(duì)可積，只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則可以得到f(x)函數(shù)在周期內(nèi)一定有界，包括上界和下界，所以下式一定成立：
一定成立
所以
后面還會(huì)看到傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式也有一個(gè)系數(shù)，它的系數(shù)表示為：
模表示單位圓的半徑幅度:
可以看到，隨著，傅里葉變換復(fù)指數(shù)形式的系數(shù)表示環(huán)繞圓半徑也是逐漸減小的。
所以，?隨著系數(shù)增大，絕對(duì)值逐漸趨于0的判斷成立，幾何化表示就是，頻域圓圈套圓圈，后面的圓圈越來(lái)越小。
傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式推導(dǎo)：
根據(jù)歐拉公式:
所以
所以:
由于
所以
注意這里是而不是，所以固定的是上式的結(jié)論．
所以:
所以：
這里做一下變量代換，用表示，用表示，其中
也就是新的公式里面的
所以，上面的式子化為：
對(duì)于復(fù)數(shù)代數(shù)表達(dá)和自然指數(shù)表達(dá)之間的聯(lián)系，做如下推導(dǎo)：
如下圖：
所以：
其中，
所以，最終傅里葉級(jí)數(shù)變換和反變換為：
前面說(shuō)的三角函數(shù)是一組正交函數(shù)，實(shí)際上，也是一組正交函數(shù)，并且是完備的，定義為：
上式的一居室柯西積分定理，解析函數(shù)沿著任意封閉曲線（內(nèi)部不包括奇點(diǎn)）的積分值為0
對(duì)于傅里葉積分的形式,是不是很像？
實(shí)際上，傅里葉級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)的極限就是傅里葉積分。
區(qū)別就在于因子放在哪里，實(shí)際上這個(gè)差別是有原因的，這里由于假定周期是，所以因子實(shí)際上是.，傅里葉變換的時(shí)候，,,這樣會(huì)導(dǎo)致幅度譜趨近于0，很難畫(huà)出來(lái)表示不同頻率分量的強(qiáng)度差異。這樣，將乘以,則轉(zhuǎn)化為頻率密度譜，也就是在連續(xù)頻率情況下，單位頻率內(nèi)，有多少“幅度”，這就像是算單位體積內(nèi)物體的質(zhì)量一樣，這樣，傅里葉級(jí)數(shù)就成了傅里葉變換。
簡(jiǎn)單應(yīng)用，對(duì)于函數(shù):
其復(fù)指數(shù)形式的傅里葉變換是:
所以:
，其余都為0；
所以：
所以:
對(duì)于方波來(lái)說(shuō)：
?對(duì)于方波，后面有求得
而且:
所以，上面兩個(gè)方法推推導(dǎo)出了同樣的結(jié)果．
可以類比連續(xù)情況下的fourier 變換：
下面的公式來(lái)源于數(shù)學(xué)物理方法，本質(zhì)是周期無(wú)限大時(shí)候的fourier級(jí)數(shù)．
所以，自然而然，中括號(hào)的內(nèi)容獨(dú)立出來(lái)，推導(dǎo)出傅里葉積分形式：
所以：
可見(jiàn)，正向推導(dǎo)和反向推到都成功了。
根據(jù)復(fù)數(shù)域公式，傅里葉變換可以看成是一個(gè)個(gè)的角頻率不同的圓()的運(yùn)動(dòng)的疊加，當(dāng)n>0時(shí)，是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的圓，當(dāng)n<0時(shí)，是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的圓，n==0的時(shí)候，表示直流平均分量，不旋轉(zhuǎn)。 不管旋轉(zhuǎn)方向是什么，同意時(shí)刻它們的實(shí)部投影是時(shí)域上的值，虛部投影是0.(上面的式子可以看到大于零和小于零情況下，相同角頻率的兩個(gè)圓它們的相位相反，而角頻率相同的情況下，任何時(shí)刻互為共軛，虛部矢量和為0，所以只有實(shí)世界的分量，也就是時(shí)域分量).
1.函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的解析式為：
?
周期函數(shù)下圖所示：
所以：
所以:
同理:
所以：
所以
所以
綜合上面的推導(dǎo)，得出傅里葉系數(shù)分別為：
octave計(jì)算各次的系數(shù)分別為：
得到包括六次諧波的函數(shù)表達(dá)式為：
其圖形是下圖，可以看到，基本上與原函數(shù)重合，這也說(shuō)明上面的積分過(guò)程是正確的。
octave計(jì)算過(guò)程：
\frac{2}{n\pi}(1-cos(n\pi))
下面用python繪制一幅精確點(diǎn)的圖形,下面的圖形包含10000個(gè)諧波，可以看到，已經(jīng)非常逼近原函數(shù)圖形了。
# -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Mon Feb 1 13:57:21 2021@author: czl """ from pylab import * x = mgrid[-20:20:0.01]def fourier_wave():a0 = (1-exp(-pi))/(2*pi)+1/2s=a0for n in range(1,10000,1):s0 = ((1-(-1)**n*exp(-pi))/(pi*(1+n**2))*cos(n*x)+((n*exp(-pi)*(-1)**n-n)/(pi*(1+n**2))+((-1)**(n+1)+1)/(n*pi))*sin(n*x))s=s+s0plot(x,s,'orange',linewidth=0.6)title('fourier_transform')show() fourier_wave()２.方波：
??
所以:
所以：
geogebra函數(shù)圖形：
# -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Mon Feb 1 13:57:21 2021@author: czl """ from pylab import * x = mgrid[-20:20:0.01]def fourier_wave():a0 = 0s=a0for n in range(0,1000,1):s0 = 4/((2*n+1)*pi)*sin((2*n+1)*x)s=s+s0plot(x,s,'orange',linewidth=0.6)title('fourier_transform')show() fourier_wave()得到如下圖像：
3.另一類型的方波
所以
所以:
對(duì)比前圖，這里的表達(dá)式表示沿著橫軸左移角度，和前圖的解析式形式完全一致．
geogebra驗(yàn)證：
n=17次的諧波是上圖的樣子．
python驗(yàn)證：
# -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Mon Feb 1 13:57:21 2021 @author: czl """ from pylab import * x = mgrid[-20:20:0.01]def fourier_wave():a0 = 0s=a0for n in range(0,100,1):s0 = ((-1)**n*4)/((2*n+1)*pi)*cos((2*n+1)*x)s=s+s0plot(x,s,'orange',linewidth=0.6)title('fourier_transform')show() fourier_wave()python繪制的圖像：
函數(shù)4：
所以：
geogebra圖像為：
python圖像：
# -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Mon Feb 1 13:57:21 2021 @author: czl """ from pylab import * x = mgrid[-20:20:0.01]def fourier_wave():a0 = 1/2s=a0for n in range(0,100,1):s0 = 2/(pi*(2*n+1))*sin((2*n+1)*x)s=s+s0plot(x,s,'orange',linewidth=0.6)title('fourier_transform')show() fourier_wave()函數(shù)5：
geogebra圖形：yu
python圖形：
# -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Mon Feb 1 13:57:21 2021 @author: czl """ from pylab import * x = mgrid[-20:20:0.01]def fourier_wave():a0 = 1/2s=a0for n in range(0,100,1):s0 = ((-1)**n*2)/((2*n+1)*pi)*cos((2*n+1)*x)s=s+s0plot(x,s,'orange',linewidth=0.6)title('fourier_transform')show() fourier_wave()鋸齒函數(shù)的傅里葉變換:
于是:
geogebra圖形為：
python圖形為：
驗(yàn)證，在,收斂于
但是在連續(xù)點(diǎn)，收斂于級(jí)數(shù)
python繪圖代碼為：
# -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Mon Feb 1 13:57:21 2021 @author: czl """ from pylab import * x = mgrid[-20:20:0.01]def fourier_wave():a0 = 0s=a0for n in range(1,100,1):s0 = sin(n*x)/ns=s+s0plot(x,s,'orange',linewidth=0.6)title('fourier_transform')show() fourier_wave()函數(shù):
\
python繪圖：
# -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Mon Feb 1 13:57:21 2021 @author: czl """ from pylab import * x = mgrid[-20:20:0.01]def fourier_wave():a0 = (pi**2)/3s=a0for n in range(1,300,1):s0 = ((-1)**n)*(4/(n**2))*cos(n*(x))s=s+s0plot(x,s,'orange',linewidth=0.6)title('fourier_transform' )show() fourier_wave()geogebra繪圖：
對(duì)于
python制圖:
python 代碼：
# -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Mon Feb 1 13:57:21 2021 @author: czl """ from pylab import * x = mgrid[-20:20:0.01]def fourier_wave():a0 = -(pi**2)/3s=a0for n in range(1,300,1):s0 = ((-1)**(n+1))*(4/(n**2))*cos(n*(x))s=s+s0plot(x,s,'orange',linewidth=0.6)title('fourier_transform' )show() fourier_wave()三角波的傅里葉變換：
求解錯(cuò)誤，實(shí)際上由于奇函數(shù)在原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間求積分，
python圖形：
python代碼：
# -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Mon Feb 1 13:57:21 2021 @author: czl """ from pylab import * x = mgrid[-20:20:0.01]def fourier_wave():a0 = pi/2s=a0for n in range(1,100,1):s0 = ((2/((n**2)*pi)) * ((-1)**n -1))*cos(n*x)s=s+s0plot(x,s,'orange',linewidth=0.6)title('fourier_transform')show() fourier_wave()相位變化后的三角波
hanshu
python繪圖：
代碼：
# -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Mon Feb 1 13:57:21 2021 @author: czl """ from pylab import * x = mgrid[-20:20:0.01]def fourier_wave():a0 = pi/2s=a0for n in range(1,100,1):s0 = -((2/((n**2)*pi)) * ((-1)**n -1))*cos(n*x)s=s+s0plot(x,s,'orange',linewidth=0.6)title('fourier_transform')show() fourier_wave()占空比不為1/2的方波:
python代碼：
# -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Mon Feb 1 13:57:21 2021 @author: czl """ from pylab import * x = mgrid[-20:20:0.01]def fourier_wave():a0 = 1/2s=a0for n in range(1,1000,1):if (n%4 == 0):an = 0bn = 0elif (n%4 == 1):an = 2/(n*pi)bn = 2/(n*pi)elif (n%4 == 2):an = 0bn = -4/(n*pi)elif (n%4 == 3):an = -2/(n*pi)bn = 2/(n*pi)s0 = an*cos(n*x)+bn*sin(n*x)s=s+s0plot(x,s,'orange',linewidth=0.6)title('fourier_transform')show() fourier_wave()geogebra繪圖結(jié)果：
別看這個(gè)函數(shù)簡(jiǎn)單，但它妹的收斂速度太慢，9次諧波繪制才是上圖的屎樣，實(shí)在繪不下去了，還好python繪制的圖能夠說(shuō)明并且保證積分過(guò)程是無(wú)誤的。
函數(shù)：
python繪制的圖形為：
??
python代碼：
# -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Mon Feb 1 13:57:21 2021@author: czl """ from pylab import * x = mgrid[-10:10:0.01]def fourier_wave():a0 = 2/pis=a0for n in range(1,1000,1):s0 = -4/pi * (1/(4*(n**2) -1))*cos((2*n)*x)s=s+s0plot(x,s,'orange',linewidth=0.6)title('fourier_transform')show() fourier_wave()奇異周期函數(shù)：
積分沒(méi)有問(wèn)題，但發(fā)現(xiàn)ubuntu上用python2.7繪制的圖形還不太精確，但是windows10上的anaconda則沒(méi)有問(wèn)題，網(wǎng)上說(shuō)是由于廣為人知的phthon2.7浮點(diǎn)BUG導(dǎo)致：??
ubuntu平臺(tái)繪制：
anaconda繪制：
python代碼：
# -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Mon Feb 1 13:57:21 2021 @author: czl """ from pylab import * x = mgrid[-20:20:0.01]def fourier_wave():a0 = (1/2)*((pi/2)+(pi**2)/3)s=a0for n in range(1,1000,1):bn = (1/(n*pi))*(pi*((-1)**n) -(pi**2)*((-1)**n) + (2*((-1)**n-1))/(n**2))an = (((-1)**n - 1) + 2*pi*((-1)**n))/((n**2)*pi)s0 = an*cos(n*x)+bn*sin(n*x)s=s+s0plot(x,s,'orange',linewidth=0.6)title('fourier_transform')show() fourier_wave()圖象
geogebra圖象：
代碼：
# -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Mon Feb 1 13:57:21 2021 @author: czl """ from pylab import *x = mgrid[-20:20:0.01]def fourier_wave():a0 = (1/(2*pi))*(exp(pi)-1+(pi**3)/3)s=a0for n in range(1,1000,1):bn = (1/(pi))*(((n*exp(pi)*(-1)**n)-n)/(n**2+1)+((2-n**2*pi**2)*(-1)**n - 2)/(n**3))an = (1/(pi))*(((exp(pi)*(-1)**n)-1)/(n**2+1)+(2*n*pi*(-1)**n)/(n**3))s0 = an*cos(n*x)+bn*sin(n*x)s=s+s0plot(x,s,'orange',linewidth=0.6)title('fourier_transform')show() fourier_wave()?圖像：
python代碼：
# -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Mon Feb 1 13:57:21 2021 @author: czl """ from pylab import *x = mgrid[-20:20:0.01]def fourier_wave():a0 = 61/60s=a0for n in range(1,1000,1):bn = (1/(pi))*( (((-0.8)*(-cos(n*(-pi/3))) - (-0.8)*(-cos(n*(-pi))))/n) +(((-0.4)*(-cos(n*(-pi/6))) - (-0.4)*(-cos(n*(-pi/3))))/n) + (((-0.2)*(-cos(n*(0))) - (-0.2)*(-cos(n*(-pi/6))))/n)+ (((3)*(-cos(n*(5*pi)/6)) - (3)*(-cos(n*(0))))/n) + (((1)*(-cos(n*(pi))) - (1)*(-cos(n*(5*pi)/6)))/n))an = (1/(pi))*( (((-0.8)*(sin(n*(-pi/3))) - (-0.8)*(sin(n*(-pi))))/n) +(((-0.4)*(sin(n*(-pi/6))) - (-0.4)*(sin(n*(-pi/3))))/n) + (((-0.2)*(sin(n*(0))) - (-0.2)*(sin(n*(-pi/6))))/n)+ (((3)*(sin(n*(5*pi)/6)) - (3)*(sin(n*(0))))/n) + (((1)*(sin(n*(pi))) - (1)*(sin(n*(5*pi)/6)))/n))s0 = an*cos(n*x)+bn*sin(n*x)s=s+s0plot(x,s,'orange',linewidth=0.6)title('fourier_transform')show() fourier_wave()圖像：
前面的周期均為的周期函數(shù)，現(xiàn)在用一個(gè)周期為的函數(shù)，看有什么不同．
周期為，則基波的角速度.
函數(shù)圖形：
圖像：
代碼：
# -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Mon Feb 1 13:57:21 2021 @author: czl """ from pylab import *x = mgrid[-5:5:0.01]def fourier_wave():a0 = 0s=a0for n in range(1,1000,1):an=(1/(n*pi))*(sin(2*n*pi/4) - sin(-2*n*pi/4)) - (1/(n*pi))*(sin(2*n*3*pi/4) - sin(2*n*pi/4)) bn=0s0 = an*cos(2*n*x)+bn*sin(2*n*x)s=s+s0plot(x,s,'orange',linewidth=0.6)title('fourier_transform')show() fourier_wave()參數(shù)信息：
geogebra圖像是：
也是，完美符合！
實(shí)踐證明，迪利克雷條件真是比較寬松的條件，寬松到，幾乎可以做出論斷，但凡周期函數(shù)，皆可傅里葉!
最后，以幾張圖結(jié)尾，下圖是方波在各次1-17諧波時(shí)候的圖形，最高次是紅色代表17次諧波圖形，，也是最接近方波的。
?單獨(dú)看17次諧波的結(jié)果：
鋸齒波的傅里葉變換直觀圖，最高次8次諧波。
第八次諧波的情況：
下面這幅圖很有意思，它說(shuō)明同樣角度的正弦和余弦級(jí)數(shù)多項(xiàng)式和圖形并不一定相似：
傅里葉變換為我們提供了一個(gè)全新的觀察世界的角度，站在頻域看世界，世界是靜止的，因?yàn)橹挥幸唤M不變的頻率擺在那里。 我們的世界有著統(tǒng)一而優(yōu)美的運(yùn)行機(jī)制，這使我想到，在現(xiàn)實(shí)生活中看到的紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象，有沒(méi)有可能是存在于高維空間中的同一個(gè)事物的不同側(cè)面在這個(gè)世界的投影。大道至簡(jiǎn)，或許從高維看世界，世界不再是一地的碎片，而是一體多面，在至高的維度，隱藏著一切問(wèn)題的答案。想象一下，世界上每一個(gè)看似混亂的表象，背后實(shí)際上都是一條時(shí)間軸上按照或有或無(wú)的規(guī)則變化的曲線，這些曲線都是由無(wú)窮無(wú)盡的正弦波疊加而成。這些看似不規(guī)則的變化，內(nèi)蘊(yùn)的竟然是規(guī)則的正弦波在時(shí)間上的投影，那么你的腦海中會(huì)產(chǎn)生一個(gè)什么畫(huà)面呢？
我們眼中的世界就像是皮影戲的大屏幕，幕后面有無(wú)數(shù)的齒輪，大齒輪帶動(dòng)小齒輪，小齒輪帶動(dòng)更小的，在最外面的齒輪上有一個(gè)小人投影到屏幕上，那就是我們看到的，我們知道這個(gè)小人在按照有或者無(wú)的規(guī)律表演，卻看不透它背后的驅(qū)動(dòng)機(jī)制。
這個(gè)小人會(huì)思考嗎？它會(huì)是我們嗎? 真的有自由意志嗎？還是一切皆宿命？
結(jié)束！
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的图说Fourier变换的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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