前導

要學習莫比烏斯函數 需要學習 到 積性函數，深度理解歐拉篩。

先說說什么是積性函數吧。

積性函數

其實積性函數非常好理解，

定義

積性函數：若gcd(a,b)=1，且滿足f(ab)=f(a)f(b)，則稱f(x)為積性函數

完全積性函數：對于任意正整數a，b，都滿足f(ab)=f(a)f(b)，則稱f(x)為完全積性函數

性質

1.若f(n),g(n)均為積性函數，則函數h(n)=f(n)g(n)也是積性函數

2.若f(n)為積性函數，則函數c*f(n)(c是常數)也是積性函數，反之一樣

3.任何積性函數都能應用線性篩，在O(n)時間內求出1~n項(莫比烏斯就要用到)，像素數，歐拉函數等都是 積性函數。

知道這些之后，我們就來看莫比烏斯函數。

莫比烏斯函數

定義：

莫比烏斯函數主要是個分段函數。

性質：

1.對于任意正整數n，∑ d ∣ n n μ ( d ) = [ n = 1 ] \sum_{d|n}^{n}{μ(d)=[n=1]}∑d∣nn?μ(d)=[n=1] 。([n==1]表示只有當n=1成立時，返回值為1；否則，值為0；(這個就是用μ是容斥系數的性質可以證明)(PS:這一條性質是莫比烏斯反演中最常用的)

2.對于任意正整數n，∑ d ∣ n n μ ( d ) d = ? ( n ) n \sum_{d|n}^{n}{\frac{μ(d)}ze8trgl8bvbq=\frac{?(n)}{n}}∑d∣nn?dμ(d)?=n?(n)? (這個性質很奇妙，它把歐拉函數和莫比烏斯函數結合起來)

強烈建議 ： 深度理解完這兩條性質之后，在去看莫比烏斯反演，要不莫比烏斯反演不容易懂。

至于如何求莫比烏斯函數：我們知道莫比烏斯函數跟歐拉函數一樣都是積性函數，所以我們可以同 歐拉篩一樣吧莫比烏斯函數篩出來。

void get_mu(ll n){

mu[1]=1;// 存放 莫比烏斯函數；

//isprime[] 存放 是否是質數

//prime[] 存放 質數

for(int i=2;i<=n;i++){

if(!isprime[i]) {

prime[++cnt]=i;

mu[i]=-1;

}

for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){

isprime[i*prime[j]]=1;

if(i%prime[j]==0){mu[i*prime[j]]=0;break;}//也可以直接break 因為里面本來存的就是0

else mu[i*prime[j]]=-mu[i];

}

}

}

莫比烏斯反演

我只是掌握皮毛，有深層次的理解在更新，有更好的理解也可以分享給我哦~~~。 不勝感激！

莫比烏斯反演的引入：

若 F ( n ) = ∑ d ∣ n n f ( d ) F(n)=\sum_{d|n}^{n}{f(d)}F(n)=∑d∣nn?f(d).

那么

從中，可以看出，若 n=p2(p是質數)那么F ( p ) = f ( 1 ) + f ( p ) , F ( n ) = f ( 1 ) + f ( p ) + f ( p 2 ) F\left( p \right)=f\left( 1 \right)+f\left( p \right),F\left( n \right)=f\left( 1 \right)+f\left( p \right)+f\left( p^2 \right)F(p)=f(1)+f(p),F(n)=f(1)+f(p)+f(p2),所以 f ( n ) = F ( p 2 ) ? F ( p ) f\left( n \right)=F\left( p^2 \right)-F\left( p \right)f(n)=F(p2)?F(p)

通過推廣我們可以得到就像n=8，(！=p2) 他也滿足這個式子

f ( n ) = ∑ d ∣ n n u ( d ) F ( n d ) f\left( n \right)=\sum_{d|n}^{n}{u\left( d \right)}{F\left( \frac{n}ze8trgl8bvbq \right)}f(n)=∑d∣nn?u(d)F(dn?)

根據上個推廣的來的式子我們 就可以說 莫比烏斯反演定理了。

莫比烏斯反演定理

設 f ( n ) f\left ( n \right)f(n) 和g ( n ) g\left( n \right)g(n)是定義在正整數集合上的兩個函數定義如下:

若函數f ( n ) f\left( n \right)f(n)函數:

f ( n ) = ∑ d ∣ n n g ( d ) = ∑ d ∣ n g ( n d ) f\left( n \right)=\sum_{d|n}^{n}{g\left( d \right)}=\sum_{d|n}^{}{g\left( \frac{n}ze8trgl8bvbq \right)}f(n)=∑d∣nn?g(d)=∑d∣n?g(dn?)

則有：

莫比烏斯反演定理證明

參考著個吧

理解就行。重要是定理。(個人認為)

莫比烏斯反演另一性質(與歐拉函數有關)

若n>1且n為正整數，則有∑ d ∣ n u ( d ) = 0 \sum_{d|n}^{}{u\left( d \right)}=0∑d∣n?u(d)=0

若n=1，則該式為1、

2，

對任意正整數n均有：

∑ d ∣ n u ( d ) d = ? ( n ) n \sum_{d|n}^{}{\frac{u\left( d \right)}ze8trgl8bvbq}=\frac{\phi \left( n \right)}{n}∑d∣n?du(d)?=n?(n)?

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總結

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