前言

之前介紹過幾種矩陣分解方法，都可以有效的提升矩陣方程的數值求解問題，其中LU分解尤其適合于中小型、稠密矩陣的求解問題。我們最理想的矩陣就是可相似對角化的矩陣，直接可以分解成兩個酉矩陣和一個對角矩陣的形式，那么如果一個矩陣不符合可相似對角化的條件應該怎么解決呢？這里提出Jordan分解，提供了對不可相似對角化矩陣分解的解決方案。

一、Schur標準型定義

給定一個矩陣A，可以通過相似正交變換成一個上三角矩陣(任意n階方陣)，其實可以將LU分解中的L進行施密特正交化。

，其中R是上三角矩陣，U是酉矩陣。

上面將X分解為UR，其中U是酉矩陣，R是上三角矩陣。那么我們可以得出Schur分解的定義。Schur分解

任意n階方陣，酉相似于一個以其特征值為對角元的上三角矩陣R。

2. 特殊矩陣的特征系統

由Schur定理可以自然想到，什么樣的矩陣會酉相似于對角矩陣呢？答案是正規矩陣。

正規矩陣

設

，若

，則稱

為正規矩陣。

H這里表示共軛，類比于實數矩陣的轉置的概念，因為矩陣中會包含虛數，所以使用H表示共軛。

Hermite矩陣：

斜Hermite矩陣：

酉陣：

對于上面這四種特殊的矩陣，對應的R各有不同，這里直接可以記憶結論：A為正規矩陣，R是對角矩陣。

A為Hermite矩陣時，R是實對角矩陣。

A為斜Hermite矩陣時，R是純虛對角陣。

A為酉矩陣，R對角元的模為1

二、代數重數與幾何重數

先來了解特征值的代數重數和幾何重數的概念。對任意一個矩陣，我們都可以寫出其特征值的表達形式，

，則其中

就被稱為特征值

的代數重數，與之對應的線性無關特征向量的個數，即子空間

的維數，稱為

的幾何重數。

代數重數與幾何重數的關系

對任何一個n階方陣A的特征值

對應的幾何重數

和代數重數

，總有

。

半單與虧損

設A為n階方陣，

為其特征值，

分別為其代數重數和幾何重數，如果總有

，那么我們稱這個特征值是半單的，否則如果幾何重數小于代數重數，則稱這個特征值是虧損的。

我們還可以引申出幾條基本概念：代數重數為1的特征值一定是半單的。

不同特征值對應的特征向量是線性無關的。

每個特征值都是半單的矩陣等價于相似對角化。

存在虧損的特征值的矩陣稱為虧損矩陣等價于不可相似對角化。只要有一個特征值說虧損的就代表該方陣不可相似對角化。

由上面的定理和推論，我們知道一般的矩陣可以分為，可以相似對角化和不可相似對角化矩陣，那么對于不可相似對角化的矩陣我們就提出了Jordan分解，接下來了解一下具體什么是Jordan分解。

三、Jordan分解定義及Jordan標準塊、Jordan標準型Jordan塊

我們稱如下形式的矩陣為Jordan塊，Jordan塊

2. Jordan標準型

簡單來說，由若干個Jordan塊構成的矩陣就是Jordan標準型。嚴謹的定義如下所示，Jordan標準型

特別注意的一點是，如果不計Jordan塊的順序，則Jordan標準型唯一。

那么如何才能求解得到Jordan標準型呢？

四、Jordan分解求解方法

Jordan標準型的基本特點：

① Jordan標準型是一個塊對角矩陣，對角元是矩陣A的特征值

②對于特征值

，他的代數重數是Jordan標準型中以

為特征值的Jordan塊的階數之和。

③對于特征值

，它的幾何重數，即與

對應的線性無關的特征向量的個數，恰為以

為特征值的Jordan塊的個數。

通過下面這張圖片，更加清晰了解這個Jordan標準型的樣貌。Jordan標準型

直觀來講，如果有一個三階矩陣，其三個特征值都相同，代數重數為3，幾何重數為2，那么Jordan標準型如何呢？Jordan標準型

那么其實對于該三階矩陣來說其實Jordan標準型是唯一的(不考率Jordan塊的順序)。

但是，很容易我們想到4階矩陣，就存在問題，如果代數重數是4，幾何重數為2，那么存在兩種可能的Jordan標準型。兩種可能的Jordan標準型

那么我們還記得上面的概念提到過，如果不考慮Jordan塊的順序，則Jordan標準型唯一，那么我們如何確定到底哪個是正確的呢？

這里引入一個判定公式：階數判定公式

為了計算上的簡便，我們從一階Jordan塊開始計算，計算其階數，如果其階數為0，則我們就知道Jordan塊是兩個2階的Jordan塊。

通過上面的過程我們可以確定J的形式，那么如何確定T的形式呢？

求解變換矩陣T：

根絕

，繼而我們有

，假設

，推導過程如下，

詳細求解過程，可以參考下面的例題，例題

Jordan分解的計算還是一如既往需要不斷通過題目進行錘煉。

歸納一下計算步驟：

1.計算Jordan標準型計算矩陣的全部特征值

計算特征值的代數重數

計算特征值的幾何重數

利用定理確定每個Jordan塊的階數(從1階開始計算)

2.計算變換矩陣T求得Jordan標準型

計算每個Jordan塊對應的Jordan鏈若Jordan塊階數為1，直接計算特征向量

若階數大于1，則先計算特征向量，利用特征向量的線性組合得到鏈首，保證線性方程組有解，即

。

五、Hamilton-Cayley定理及其應用

利用Jordan變換，可以得到很重要的定理，Hamilton-Caylay定理，Hamilton-Caylay定理

其應用非常廣泛，可以通過這個定理簡化矩陣計算。例題例題

上面的

中

的計算有兩種方式，一種是多項式帶余除數法，另一種是待定系數法。其中待定系數法，可以參看第三小問的求解方式，不論是這里還是之后的求解，都非常推薦使用待定系數法，降低計算量，提升計算的準確度。

總結

Jordan分解是非常重要的一種矩陣分解，應用非常廣泛，無論是為了應試還是實際科研編程都是矩陣計算的利器，之后介紹的矩陣函數計算會再次使用到Jordan分解。

下一節，介紹同樣非常重要的奇異值分解。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的python矩阵施密特标准型_矩阵与数值计算（3）——Schur标准型和Jordan分解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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