IEEE二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)算術(shù)標(biāo)準(zhǔn)（IEEE 754） 是20世紀(jì)80年代以來(lái)最廣泛使用的浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算標(biāo)準(zhǔn)，為許多CPU與浮點(diǎn)運(yùn)算器所采用。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)定義了表示浮點(diǎn)數(shù)的格式（包括負(fù)零-0）與反常值（denormal number），一些特殊數(shù)值（（無(wú)窮（Inf）與非數(shù)值（NaN）），以及這些數(shù)值的“浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算符”；它也指明了四種數(shù)值舍入規(guī)則和五種例外狀況（包括例外發(fā)生的時(shí)機(jī)與處理方式）。

IEEE 754規(guī)定了四種表示浮點(diǎn)數(shù)值的方式：單精確度（32位）、雙精確度（64位）、延伸單精確度（43比特以上，很少使用）與延伸雙精確度（79比特以上，通常以80位實(shí)現(xiàn)）。只有32位模式有強(qiáng)制要求，其他都是選擇性的。大部分編程語(yǔ)言都提供了IEEE浮點(diǎn)數(shù)格式與算術(shù)，但有些將其列為非必需的。例如，IEEE 754問(wèn)世之前就有的C語(yǔ)言，現(xiàn)在包括了IEEE算術(shù)，但不算作強(qiáng)制要求（C語(yǔ)言的float通常是指IEEE單精確度，而double是指雙精確度）。

該標(biāo)準(zhǔn)的全稱(chēng)為IEEE二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)算術(shù)標(biāo)準(zhǔn)（ANSI/IEEE Std 754-1985），又稱(chēng)IEC 60559:1989，微處理器系統(tǒng)的二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)算術(shù)（本來(lái)的編號(hào)是IEC 559:1989）[1]。后來(lái)還有“與基數(shù)無(wú)關(guān)的浮點(diǎn)數(shù)”的“IEEE 854-1987標(biāo)準(zhǔn)”，有規(guī)定基數(shù)為2跟10的狀況。現(xiàn)在最新標(biāo)準(zhǔn)是“ISO/IEC/IEEE FDIS 60559:2010”。

在六、七十年代，各家計(jì)算機(jī)公司的各個(gè)型號(hào)的計(jì)算機(jī)，有著千差萬(wàn)別的浮點(diǎn)數(shù)表示，卻沒(méi)有一個(gè)業(yè)界通用的標(biāo)準(zhǔn)。這給數(shù)據(jù)交換、計(jì)算機(jī)協(xié)同工作造成了極大不便。IEEE的浮點(diǎn)數(shù)專(zhuān)業(yè)小組于七十年代末期開(kāi)始醞釀浮點(diǎn)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)。在1980年，英特爾公司就推出了單片的8087浮點(diǎn)數(shù)協(xié)處理器，其浮點(diǎn)數(shù)表示法及定義的運(yùn)算具有足夠的合理性、先進(jìn)性，被IEEE采用作為浮點(diǎn)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)，于1985年發(fā)布。而在此前，這一標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容已在八十年代初期被各計(jì)算機(jī)公司廣泛采用，成了事實(shí)上的業(yè)界工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)。加州大學(xué)伯克利分校的數(shù)值計(jì)算與計(jì)算機(jī)科學(xué)教授威廉·卡韓被譽(yù)為“浮點(diǎn)數(shù)之父”。

浮點(diǎn)數(shù)剖析

一個(gè)浮點(diǎn)數(shù) (Value) 的表示其實(shí)可以這樣表示：

也就是浮點(diǎn)數(shù)的實(shí)際值，等于符號(hào)位（sign bit）乘以指數(shù)偏移值(exponent bias)再乘以分?jǐn)?shù)值(fraction)。

以下內(nèi)文是IEEE 754對(duì)浮點(diǎn)數(shù)格式的描述。

本文表示比特的約定

把W個(gè)比特（bit）的數(shù)據(jù)，從內(nèi)存地址低端到高端，以0到W?1編碼。通常將內(nèi)存地址低端的比特寫(xiě)在最右邊，稱(chēng)作最低有效位（Least Significant Bit, LSB），代表最小的比特，改變時(shí)對(duì)整體數(shù)值影響最小的比特。聲明這一點(diǎn)的必要性在于X86體系架構(gòu)是小端序的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)。

對(duì)于十進(jìn)制整數(shù)N，必要時(shí)表示為N10以與二進(jìn)制的數(shù)的表示N2相區(qū)分。

對(duì)于一個(gè)數(shù)，其二進(jìn)制科學(xué)計(jì)數(shù)法表示下的指數(shù)的值，下文稱(chēng)之為指數(shù)的實(shí)際值；而根據(jù)IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)對(duì)指數(shù)部分的編碼的值，稱(chēng)之為浮點(diǎn)數(shù)表示法指數(shù)域的編碼值。

整體呈現(xiàn)

IEEE 754浮點(diǎn)數(shù)的三個(gè)域
二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)是以符號(hào)數(shù)值表示法的格式存儲(chǔ)——最高有效位被指定為符號(hào)位（sign bit）；“指數(shù)部分”，即次高有效的e個(gè)比特，存儲(chǔ)指數(shù)部分；最后剩下的f個(gè)低有效位的比特，存儲(chǔ)“有效數(shù)”（significand）的小數(shù)部分（在非規(guī)約形式下整數(shù)部分默認(rèn)為0，其他情況下一律默認(rèn)為1）。

指數(shù)偏移值

采用指數(shù)的實(shí)際值加上固定的偏移值的辦法表示浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)，好處是可以用長(zhǎng)度為$e}e個(gè)比特的無(wú)符號(hào)整數(shù)來(lái)表示所有的指數(shù)取值，這使得兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)大小的比較更為容易，實(shí)際上可以按照字典序比較兩個(gè)浮點(diǎn)表示的大小。

這種移碼表示的指數(shù)部分，中文稱(chēng)作階碼。

規(guī)約形式的浮點(diǎn)數(shù)

如果浮點(diǎn)數(shù)中指數(shù)部分的編碼值在 $0<exponent?2^e?2$之間，且在科學(xué)表示法的表示方式下，分?jǐn)?shù) (fraction) 部分最高有效位（即整數(shù)字）是 1，那么這個(gè)浮點(diǎn)數(shù)將被稱(chēng)為規(guī)約形式的浮點(diǎn)數(shù)。“規(guī)約”是指用唯一確定的浮點(diǎn)形式去表示一個(gè)值。

由于這種表示下的尾數(shù)有一位隱含的二進(jìn)制有效數(shù)字，為了與二進(jìn)制科學(xué)計(jì)數(shù)法的尾數(shù)（mantissa）相區(qū)別，IEEE754稱(chēng)之為有效數(shù)（significant）。

舉例來(lái)說(shuō)，雙精度 (64-bit) 的規(guī)約形式浮點(diǎn)數(shù)在指數(shù)偏移值的值域?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$00000000001$(11-bit) 到$11111111110$ ，在分?jǐn)?shù)部分則是$000.....000$ 到$111.....111$ (52-bit)

非規(guī)約形式的浮點(diǎn)數(shù)

如果浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)部分的編碼值是0，分?jǐn)?shù)部分非零，那么這個(gè)浮點(diǎn)數(shù)將被稱(chēng)為非規(guī)約形式的浮點(diǎn)數(shù)。一般是某個(gè)數(shù)字相當(dāng)接近零時(shí)才會(huì)使用非規(guī)約型式來(lái)表示。 IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：非規(guī)約形式的浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)偏移值比規(guī)約形式的浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)偏移值小1。例如，最小的規(guī)約形式的單精度浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)部分編碼值為1，指數(shù)的實(shí)際值為-126；而非規(guī)約的單精度浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)域編碼值為0，對(duì)應(yīng)的指數(shù)實(shí)際值也是-126而不是-127。實(shí)際上非規(guī)約形式的浮點(diǎn)數(shù)仍然是有效可以使用的，只是它們的絕對(duì)值已經(jīng)小于所有的規(guī)約浮點(diǎn)數(shù)的絕對(duì)值；即所有的非規(guī)約浮點(diǎn)數(shù)比規(guī)約浮點(diǎn)數(shù)更接近0。規(guī)約浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)大于等于1且小于2，而非規(guī)約浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)小于1且大于0。

特殊值

這里有三個(gè)特殊值需要指出：

以上規(guī)則，總結(jié)如下：

32位單精度

單精度二進(jìn)制小數(shù)，使用32個(gè)比特存儲(chǔ)。

S為符號(hào)位，Exp為指數(shù)字，Fraction為有效數(shù)字。 指數(shù)部分即使用所謂的偏正值形式表示，偏正值為實(shí)際的指數(shù)大小與一個(gè)固定值（32位的情況是127）的和。采用這種方式表示的目的是簡(jiǎn)化比較。因?yàn)?#xff0c;指數(shù)的值可能為正也可能為負(fù)，如果采用補(bǔ)碼表示的話(huà)，全體符號(hào)位S和Exp自身的符號(hào)位將導(dǎo)致不能簡(jiǎn)單的進(jìn)行大小比較。正因?yàn)槿绱?#xff0c;指數(shù)部分通常采用一個(gè)無(wú)符號(hào)的正數(shù)值存儲(chǔ)。單精度的指數(shù)部分是?126～+127加上偏移值127，指數(shù)值的大小從1～254（0和255是特殊值）。浮點(diǎn)小數(shù)計(jì)算時(shí)，指數(shù)值減去偏正值將是實(shí)際的指數(shù)大小。

單精度浮點(diǎn)數(shù)各種極值情況：

64位雙精度

雙精度二進(jìn)制小數(shù)，使用64個(gè)比特存儲(chǔ)。

S為符號(hào)位，Exp為指數(shù)字，Fraction為有效數(shù)字。指數(shù)部分即使用所謂的偏正值形式表示，偏正值為實(shí)際的指數(shù)大小與一個(gè)固定值（64位的情況是1023）的和。采用這種方式表示的目的是簡(jiǎn)化比較。因?yàn)?#xff0c;指數(shù)的值可能為正也可能為負(fù)，如果采用補(bǔ)碼表示的話(huà)，全體符號(hào)位S和Exp自身的符號(hào)位將導(dǎo)致不能簡(jiǎn)單的進(jìn)行大小比較。正因?yàn)槿绱?#xff0c;指數(shù)部分通常采用一個(gè)無(wú)符號(hào)的正數(shù)值存儲(chǔ)。雙精度的指數(shù)部分是?1022～+1023加上1023，指數(shù)值的大小從1～2046（0（2進(jìn)位全為0）和2047（2進(jìn)位全為1）是特殊值）。浮點(diǎn)小數(shù)計(jì)算時(shí)，指數(shù)值減去偏正值將是實(shí)際的指數(shù)大小。

浮點(diǎn)數(shù)的比較

浮點(diǎn)數(shù)基本上可以按照符號(hào)位、指數(shù)域、尾數(shù)域的順序作字典比較。顯然，所有正數(shù)大于負(fù)數(shù)；正負(fù)號(hào)相同時(shí)，指數(shù)的二進(jìn)制表示法更大的其浮點(diǎn)數(shù)值更大。

浮點(diǎn)數(shù)的舍入

任何有效數(shù)上的運(yùn)算結(jié)果，通常都存放在較長(zhǎng)的寄存器中，當(dāng)結(jié)果被放回浮點(diǎn)格式時(shí)，必須將多出來(lái)的比特丟棄。 有多種方法可以用來(lái)運(yùn)行舍入作業(yè)，實(shí)際上IEEE標(biāo)準(zhǔn)列出4種不同的方法：

舍入到最接近：舍入到最接近，在一樣接近的情況下偶數(shù)優(yōu)先（Ties To Even，這是默認(rèn)的舍入方式）：會(huì)將結(jié)果舍入為最接近且可以表示的值，但是當(dāng)存在兩個(gè)數(shù)一樣接近的時(shí)候，則取其中的偶數(shù)（在二進(jìn)制中是以0結(jié)尾的）。
朝+∞方向舍入： 會(huì)將結(jié)果朝正無(wú)限大的方向舍入。
朝-∞方向舍入： 會(huì)將結(jié)果朝負(fù)無(wú)限大的方向舍入。
朝0方向舍入： 會(huì)將結(jié)果朝0的方向舍入。

浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算與函數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)算

下述函數(shù)必須提供:

建議的函數(shù)與謂詞

精度

在二進(jìn)制，第一個(gè)有效數(shù)字必定是“1”，因此這個(gè)“1”并不會(huì)存儲(chǔ)。

討論一

單精和雙精浮點(diǎn)數(shù)的有效數(shù)字分別是有存儲(chǔ)的23和52個(gè)位，加上最左手邊沒(méi)有存儲(chǔ)的第1個(gè)位，即是24和53個(gè)位。

$\log 2^{24}=7.22$
$\log 2^{53}=15.95$
由以上的計(jì)算，單精和雙精浮點(diǎn)數(shù)可以保證7位和15位十進(jìn)制有效數(shù)字。

討論二

C++語(yǔ)言標(biāo)準(zhǔn)定義的浮點(diǎn)數(shù)的十進(jìn)制精度(decimal precision)：十進(jìn)制數(shù)字的位數(shù)，可被(浮點(diǎn)數(shù))表示而值不發(fā)生變化[3]。C語(yǔ)言標(biāo)準(zhǔn)定義的浮點(diǎn)數(shù)的十進(jìn)制精度為：十進(jìn)制數(shù)字的位數(shù)q，使得任何具有q位十進(jìn)制數(shù)字的浮點(diǎn)數(shù)可近似表示為b進(jìn)制的p位數(shù)字并且能近似回十進(jìn)制表示而不改變這q位十進(jìn)制數(shù)字[4]

但由于相對(duì)近似誤差不均勻，有的7位十進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)不能保證近似轉(zhuǎn)化為32比特浮點(diǎn)再近似轉(zhuǎn)化回7位十進(jìn)制浮點(diǎn)后保持值不變：例如8.589973e9將變成8.589974e9。這種近似誤差不會(huì)超過(guò)1比特的表示能力，因此(24-1)*std::log10(2)等于6.92，下取整為6，成為std::numeric_limits::digits10以及FLT_DIG的值。std::numeric_limits::max_digits10的值為9，含義是必須9位十進(jìn)制數(shù)字才能區(qū)分float的所有值；也即float的最大表示區(qū)分度。

類(lèi)似的，std::numeric_limits<double>::digits10或DBL_DIG是15， std::numeric_limits<double>::max_digits10是17

例子

以下的C++程序，概略地展示了單精和雙精浮點(diǎn)數(shù)的精度。

#include <iostream>int main () {std::cout.precision(20);float a=123.45678901234567890;double b=123.45678901234567890;std::cout << a << std::endl;std::cout << b << std::endl;return 0; }// Xcode 5.1 // Output: // 123.456787109375 // 123.45678901234568059 // Program ended with exit code: 0

全文由維基百科翻譯-- 維基百科，自由的百科全書(shū)

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來(lái)咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的IEEE 754标准--维基百科的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。