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1、小數的二進制表示問題

首先我們要搞清楚下面兩個問題：

(1)? 十進制整數如何轉化為二進制數

算法很簡單。舉個例子，11表示成二進制數：

11/2=5 ? 余?? 1

5/2=2?? 余?? 1

2/2=1?? 余?? 0

1/2=0?? 余?? 1

0 ? 結束

所以：11二進制表示為(從下往上):1011

這里提一點：只要遇到除以后的結果為0了就結束了，大家想一想，所有的整數除以2是不是一定能夠最終得到0。換句話說，所有的整數轉變為二進制數的算法會不會無限循環下去呢？絕對不會，整數永遠可以用二進制精確表示，但小數就不一定了。

(2) 十進制小數如何轉化為二進制數

算法是乘以2直到沒有了小數為止。舉個例子，0.9表示成二進制數

0.9*2=1.8 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 取整數部分? 1

0.8(1.8的小數部分)*2=1.6??? 取整數部分? 1

0.6*2=1.2??　　　　　　　　 取整數部分? 1

0.2*2=0.4??　　　　　　　　 取整數部分? 0

0.4*2=0.8??　　　　　　　　 取整數部分? 0

0.8*2=1.6 ?　　　　　　　　 取整數部分? 1

0.6*2=1.2?? 　　　　　　　　取整數部分? 0

.........

所以：0.9二進制表示為(從上往下): 11100100100100......

注意：上面的計算過程循環了，也就是說*2永遠不可能消滅小數部分，這樣算法將無限下去。很顯然，小數的二進制表示有時是不可能精確的。其實道理很簡單，十進制系統中能不能準確表示出1/3呢？同樣二進制系統也無法準確表示1/10。這也就解釋了為什么浮點型減法出現了"減不盡"的精度丟失問題。

2、float型在內存中的存儲

眾所周知、?Java 的float型在內存中占4個字節。float的32個二進制位結構如下

float內存存儲結構 ：

表示

符號位

指數符號位

指數位

有效數位

4bytes

31

30

29-23

22-0

其中符號位1表示正，0表示負。有效位數位24位，其中一位是實數符號位。

將一個float型轉化為內存存儲格式的步驟為：

(1)先將這個實數的絕對值化為二進制格式，注意實數的整數部分和小數部分的二進制方法在上面已經探討過了。(2)將這個二進制格式實數的小數點左移或右移n位，直到小數點移動到第一個有效數字的右邊。(3)從小數點右邊第一位開始數出二十三位數字放入第22到第0位。(4)如果實數是正的，則在第31位放入“0”，否則放入“1”。(5)如果n 是左移得到的，說明指數是正的，第30位放入“1”。如果n是右移得到的或n=0，則第30位放入“0”。(6)如果n是左移得到的，則將n減去1后化為二進制，并在左邊加“0”補足七位，放入第29到第23位。如果n是右移得到的或n=0，則將n化為二進制后在左邊加“0”補足七位，再各位求反，再放入第29到第23位。

舉例說明： 11.9的內存存儲格式

(1) 將11.9化為二進制后大約是"?1011.?1110011001100110011001100..."。

(2) 將小數點左移三位到第一個有效位右側：?"1.?011?11100110011001100110?"。?保證有效位數24位，右側多余的截取(誤差在這里產生了?)。

(3)?這已經有了二十四位有效數字，將最左邊一位“1”去掉，得到“?011?11100110011001100110?”共23bit。將它放入float存儲結構的第22到第0位。

(4) 因為11.9是正數，因此在第31位實數符號位放入“0”。

(5) 由于我們把小數點左移，因此在第30位指數符號位放入“1”。

(6) 因為我們是把小數點左移3位，因此將3減去1得2，化為二進制，并補足7位得到0000010，放入第29到第23位。

最后表示11.9為：??0?1?0000010?011?11100110011001100110

再舉一個例子：0.2356的內存存儲格式(1)將0.2356化為二進制后大約是0.00111100010100000100100000。(2)將小數點右移三位得到1.11100010100000100100000。(3)從小數點右邊數出二十三位有效數字，即11100010100000100100000放入第22到第0位。(4)由于0.2356是正的，所以在第31位放入“0”。(5)由于我們把小數點右移了，所以在第30位放入“0”。(6)因為小數點被右移了3位，所以將3化為二進制，在左邊補“0”補足七位，得到0000011，各位取反，得到1111100，放入第29到第23位。

最后表示0.2356為：0?0?1111100?11100010100000100100000

將一個內存存儲的float二進制格式轉化為十進制的步驟：(1)將第22位到第0位的二進制數寫出來，在最左邊補一位“1”，得到二十四位有效數字。將小數點點在最左邊那個“1”的右邊。(2)取出第29到第23位所表示的值n。當30位是“0”時將n各位求反。當30位是“1”時將n增1。(3)將小數點左移n位(當30位是“0”時)或右移n位(當30位是“1”時)，得到一個二進制表示的實數。(4)將這個二進制實數化為十進制，并根據第31位是“0”還是“1”加上正號或負號即可。

3、浮點型的減法運算

浮點加減運算過程比定點運算過程復雜。完成浮點加減運算的操作過程大體分為四步：(1) 0操作數的檢查；

如果判斷兩個需要加減的浮點數有一個為0，即可得知運算結果而沒有必要再進行有序的一些列操作。

(2) 比較階碼(指數位)大小并完成對階；

兩浮點數進行加減，首先要看兩數的?指數位是否相同，即小數點位置是否對齊。若兩數?指數位?相同，表示小數點是對齊的，就可以進行尾數的加減運算。反之，若兩數階碼不同，表示小數點位置沒有對齊，此時必須使兩數的階碼相同，這個過程叫做對階?。

如何對階(假設兩浮點數的指數位為?Ex?和?Ey?)：

通過尾數的移位以改變?Ex?或?Ey?，使之相等。?由于浮點表示的數多是規格化的，尾數左移會引起最高有位的丟失，造成很大誤差；而尾數右移雖引起最低有效位的丟失，但造成的誤差較小，因此，對階操作規定 使尾數右移，尾數右移后使階碼作相應增加，其數值保持不變。很顯然，一個增加后的階碼與另一個相等，所增加的階碼一定是小階。因此在對階時，總是使小階向大階看齊?，即小階的尾數向右移位?(?相當于小數點左移?)?，每右移一位，其階碼加?1?，直到兩數的階碼相等為止，右移的位數等于階差?△?E。(3) 尾數(有效數位)進行加或減運算；

對階完畢后就可有效數位求和。?不論是加法運算還是減法運算，都按加法進行操作，其方法與定點加減運算完全一樣。(4) 結果規格化并進行舍入處理。

略

4、?計算12.0f-11.9f

12.0f 的內存存儲格式為：? ??0?1?0000010?10000000000000000000000

11.9f 的內存存儲格式為:?? ??0?1?0000010?011?11100110011001100110

可見兩數的指數位完全相同，只要對有效數位進行減法即可。

12.0f-11.9f?? 結果：?????????0?1?0000010?00000011001100110011010

將結果還原為十進制為： 0.000?11001100110011010=?0.10000038

總結

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