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以前發在163博客的，那個博客停了，轉到這來

原文在這里和這里
可能需要翻墻。后面那個鏈接最近還是有效的

原文25條，現在翻譯了7條

感覺這篇文章很好，我看了以后很有收獲。某些地方某些句子沒看懂，但總體上明白了作者的意思。網上沒找到翻譯，百度空間里有個，不過應該是詞霸翻譯的。
原文大約6000詞。
譯文如下（不確定的給出原文）：
關于數學職業的建議

我 經常收到一些關于數學職業問題（ mathematical career issues ）的詢問，比如
我該學習那些數學領域？
我該買哪些數學書？該讀哪些數學書？
我該試圖解決哪些數學問題？
我該怎么著手處理數學問題?
我該怎么撰寫數學論文？
我該申請什么樣的大學？
為了增加申請成功的機會(比如申請UCLA,即 加利福尼亞大學洛杉磯分校 )我該采取什么策略?
更一般的，我怎么樣才能在數學上取得成功？

當然人們喜歡問這樣的問題，但不幸的是它們都太一般化了，太依賴于一個人的特定條件、興趣、機遇、和背景。
這樣，對我來說，我只能提供一些老生常談的一般性建議見下文)。
因為這個原因以及缺乏足夠的時間，我很遺憾不能很切實地回答這些問題。
我建議他們去咨詢高中，本科或者研究生階段的指導老師，他們更能具體地處理你的情況并且提供更中肯的建議。
尤其是，我只能給那些通過了資格考試的UCLA研究生提供個人建議。

關于數學競賽：我從1988年后就沒有參加數學競賽了，數學競賽現在怎么運作我也不熟悉。關于如何求解數學題可以看我的這本書（即《Solving Mathematical Problems A Personal Perspective》已有中文版）。另外，我要說盡管數學競賽很有趣，但它和數學學習及研究很不相同。不要指望你遇到的問題（比如研究生階段遇到的）像奧賽題那樣有預先準備的整潔的答案(flavour)。（盡管一些收過奧賽訓練的人可能很快地完成某些問題解決過程中的個別步驟，但解決問題更多的是需要耐心和堅持閱讀文獻、應用已知技巧、試探模型問題或特例、尋找反例等等）。所以，享受數學競賽的同時不要忽略了數學教育中枯燥的那些方方面面，因為長遠來看這些枯燥的方方面面更有幫助。

老生常談：
正如我上面說的，我沒有取得數學研究和學術成功的“秘笈”(secret formula)或者“萬金油”(one-size-fits-all prescription)。
然而，我可以給出一些一般(也很顯然)的建議。

（譯者注：以下分為25節，陶哲軒在他的博客中根據學術生涯各個階段對這25節進行了劃分）
1.數學不只是分數、考試和解題套路
對一個本科生來說，成績平均績點和考試很重要。而比起對概念的真正理解或者理智的、直覺的思維，考試往往更強調對技巧和理論的熟記。
然后，你進入研究生階段以后，你會發現，更高層次的數學學習(更重要的，數學研究)更需要你的智慧(intellectual faculties)，而不只是記憶或者學習的能力、或者生搬硬套一些現有論證或示例。這往往使得一個人放棄(至少修正)很多本科學習習慣。為了提高自己的理解更需要自我激勵地學習和試驗，而不是盯著一些人為基準比如考試。另外，由于本科階段主要是教授幾十年甚至幾個世紀前就已發展起來的成熟的優美的理論，研究生階段你將遇到更尖端的(也更有趣的)“活生生的”內容。


2.數學不只是嚴密（rigour ）和證明
學校剛教授本科生數學時往往用一種不很正式的直觀的方法(比如用斜率和面積來表述導數和積分)，然后被告知要用更精確和正式的方法(比如用epsilons and deltas描述導數注：就是那個 兩個希臘字母)來解決和思考問題。知道怎么樣嚴格地進行推理當然很重要，因為這可以讓你避免某些常見錯誤、排除一些錯覺。不幸的是，這也把一些“模糊式（fuzzier）”和直覺式（intuitive）思考能得到的那種意料之外的結果因為“不嚴格”而拋棄了。通常，如果一個人把天生的直覺給拋棄了，那也只能做一些常規的數學了。嚴密，不是說把直覺都扔掉，而是用來把那些錯誤的直覺剃掉，提取和保留正確的直覺。只有把嚴格的形式和直覺結合起來，才能解決復雜的數學問題：前者用來正確地解決一些細節問題，后者用來把握整體。缺少任何一個你都將在黑暗中摸索很久（也許也行得通，但效率低）。所以你熟悉嚴密的數學思考方式后，你應該重新發揮你的直覺，并用你新掌握的思考技巧來檢查和提煉這些直覺而不是拋棄他們。要達到的理想的狀態是每次探索式的論證自然而然地導出嚴格的論證，反之亦然。
3.努力（Work hard）
事到臨頭，依靠聰明臨門一腳或許能成功一時，但通常在研究生或更高的層次這樣做往往不行。學習數學的任何領域都需要進行一定量的閱讀和寫作，而不只是思考。與公眾通常認為的相反，數學上的突破并不是只依靠（或主要依靠）天才們的“我發現了”（Eureka）而是由大量艱苦的工作來推進的。當然，發展方向由經驗和直覺來指引（參考 the cult of genius 對天才的崇拜 ）。魔鬼常在細節之中（The devil is often in the details）；如果你覺得自己理解了a piece of mathematics，你應該能通過閱讀相關文獻并且撰寫一份關于那個a piece of mathematics如何運作（goes）的總結（sketch）來進行“備份（back up）”，最終寫出關于這個主題的完整詳細的論述（treatment）。如果一個人可以只負責提出宏大的想法（grand idea），讓其他“小人物（lesser mortals）“來處理細節，那就真是太好了，但相信我，數學領域根本不是那樣。過往經驗說明：只有那些已經有充足的細節和證據（至少有個概念證明）周密地支撐起“宏大的想法（grand idea）的論文才值得讓一個人付出時間與精力。如果連idea的發起人都不愿做這些那就沒人愿意。(It would be very pleasant if one could just dream up the grand ideas and let some "lesser mortals" fill in the details, but, trust me, it doesn't work like that at all in mathematics; past experience has shown that it is only worth paying one's time and attention to papers in which a substantial amount of detail and other supporting evidence (or at least a "proof-of-concept") has already been carefully gathered to support one's "grand idea".)
4.享受(enjoy)你的工作
某種意義上這是前面的推論。如果你不享受自己正在做的事情，就很難長期保持活力去取得成功。最好是從事那些你喜歡的數學領域，而不只是趕時髦（參加下面）
5.不要基于fame和glamour作事業上的決策
僅僅因為glamour進入某個領域或者院系不是個好主意。僅僅因為有名而緊盯著一個領域最有名的問題（或數學家）也不好，數學里也沒有那么多fame或glamour，把這些當做你的主要目標來追求也不值得。任何迷人的問題都具有高度競爭性。只有那些基礎扎實的人（尤其是在那些不那么有名的方面有豐富經驗的人）更有可能到達任何地方（are likely to get anywhere）。一個未解決的有名的難題常常經年累月得不到解決，如果一個人在開始的時候花功夫去解決那些簡單的（也不那么有名的）模式問題（model problems），獲取技巧（acquiring techniques），直覺，局部結果，context和文獻，便能夠在有機會解決實際中的大問題之前積累富有成效的解決問題的方法并剔除那些徒勞無功的手法。（偶爾情況下，某個大問題相對輕易地被解決了，僅僅是因為那些擁有的正確工具的人沒有機會看到這個問題，但對于那些被深入研究的問題，這種情況很少發生，尤其是那些已經因為發現很多行不通的定理（”no? go" theorems）和反例而導致整個解決方案被排除了的問題。）因為類似的原因，也不應該為了獲獎和出名而追求數學；長遠來看，僅僅沖著為了做出好的數學和為你的領域做出貢獻是一個較好的策略，獲獎和出名自然水到渠成。
6.學習、再學習
干這行，學習從不真正停止，即使你選定了方向；比如，我堅持學習關于基本調和分析(harmonic analysis)的一些令人驚嘆的內容已有10年了，雖然我在這方面已經寫了一些論文。你不應該因為僅僅知道某個命題和某個基本引理的證明就以為那個引理來得理所當然 --- 你能發現另一個證明嗎？你知道為什么每個前提條件是必須的嗎？哪種概括是已知的/猜測的/啟發式的？有沒有更強或更弱的版本可以滿足某些應用？What are some model examples demonstrating that lemma in action?什么時候用那個引理好，什么時候不好？它可以解決哪種問題？不能輔助解決哪些問題 ？在數學其他領域有沒有類似的引理？那個引理可以推廣成更廣泛的paradigm 和program嗎？哪怕純粹是給自己用，做講座或者寫講義或者其他解釋材料很有用。你最終可以利用有效的腦力速記吸收哪怕是一些非常難的東西，不僅讓你更有效地使用它們而且更騰出更多的大腦空間學習更多的東西。

7.不要畏懼學習領域之外的東西

在社會上對數學恐懼是一個很普遍的問題，不幸的職業數學家中有時也存在（和它的遠親--maths snobbery）。如果為了在你研究的問題上取得進展而不得不學習一些額外的數學知識，這是個好事 --- 你的知識范圍將會擴大，你的工作將更有趣，無論是對你的研究領域中的人還是那個其他領域的人。如果某個領域有很多活躍，那就值得研究為什么它這么有趣，人們都在試圖解決哪種問題，有哪些比較酷或者驚奇的洞見和結果。

可以看看我在what
good mathematics is 什么是好的數學上的的討論。
這樣的話，如果你在工作中遇到一個類似問題、障礙或者現象，你就知道該去哪找解決方法了。


8 了解你所使用的工具的局限
數學教育（和研究論文）都聚焦于能起作用的方法（當然這也很自然）。
但知道工具的局限性也同樣重要。
這楊就不會在一個起初就注定廢掉的策略上浪費時間，
而是去尋找新的工具解決問題（或者去解決其他問題）。
因此，知道一些反例或者容易分析的模型和
知道你所用工具能解決和不能解決的問題是同等重要的。
另外，知道某工具在哪些情況下為其他方法所替代，以及各種方法的利弊也是值得的。
如果沒有其他方法獲得或者理解答案時，某個神秘地解決問題的工具被視為魔棒，
這時就需要你更好的去理解該工具。


9
學習其他數學家所用的工具的power.
這條是前面論述的推論。當聽他人談話或者閱讀論文時，
你會發現自己感興趣的問題被不熟悉的工具解決，
而這種工具似乎不在你自己的“錦囊”（bag of tricks）里。
遇到這種情況時，你應當看看自己的工具是否能完成類似的任務。
你也應該看看為什么其他工具如此有效。比如，找到那種工具發揮奇特作用的最簡單的模型。
一旦你很好地比較了新工具和老工具各自利弊，將來遇到這些工具可能派得上用場的情況你就能想起來。
經過足夠多的練習，你就能永久地將那個工具加入到自己的repetoire（抗體庫）里。


10
默默地問自己，然后回答他們。
當你學習數學時，不管是看書還是聽課，通常你只看到最終結果--非常完美，高明和優雅。
然后數學發現的過程卻往往非?；靵y，很多嘗試很幼稚、沒有成果或者了然無趣。
盡管忽略掉這些“失敗”的追究的做法是誘人的，但事實上，他們往往對于更深入理解某個主題是必要的。
并且（通過排除法）最終走到成功之路。所以不應該害怕問“笨”問題，要勇于挑戰傳統智慧（conventional wisdom）。
對這些問題的答案偶爾得出令人驚訝的結論，但更多的時候是告訴你為什么傳統智慧起先在那，
而這是很值得知道的。


例如，給一個標準引理，你可以問如果刪掉一個假設，會發生什么；又或者試圖加強結論。
如果一個簡單的結果通常用方法X證明，可以想想能不能用方法Y證明。
新的證明方法或許不像原來方法那么優雅，或許根本就行不通，
但不管怎么樣，都是試圖弄清方法X和Y的相對power。
這在證明不那么標準的引理時是有用的。


11
質疑自己的工作
如果你意外地發現自己幾乎不費勁地解決一個問題
也不太明白為什么，你應該帶著懷疑的眼光審視你的解決方法。
特別地，所用的方法可能能證明更強的結論，而這個結論已知是錯的
(??In particular, the method may also be able to prove much stronger statements which are known to be false)
這就意味著方法有瑕疵。
In a related spirit,如果你試圖證明一些野心勃勃地斷言，
應該先試試找反例，或者找到一個，就省了很多時間。
也許能發表（？may well be publishable in its own right）
或者你遇到一些困難，應該能給出一些證明的線索。
（特別的，能找出一些為了證明出結論必須消滅的“敵人”）
事實上，把這種懷疑論用于數學家的斷言（claim）也不是個壞想法。
如果別無其他，也能讓你理解為何那個斷言是正確的，以及多強（how poweful it is ）。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的陶哲轩(Terence Tao)对从事数学职业的建议的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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