涉及歐拉常數的一道數學題

$$\text{計算}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\left(\frac{n}{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{n}{n+1}}\right)}^n$$

$$\text{解：}\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{n}{n+1}=n+1?\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n+1}\right)$$
$$\text{根據歐拉常數的定義：}\gamma =\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}?\ln n\right)$$
$$\begin{gathered} \text{不妨設}{\gamma }_{n+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sum _{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}?\ln \left(n+1\right)\right) \\ \text{即}n+1?\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n+1}\right)=n+1?\ln \left(n+1\right)?{\gamma }_{n+1} \\ \therefore \frac{n}{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{n}{n+1}}=\frac{n}{n+1?\ln \left(n+1\right)?{\gamma }_{n+1}}=\frac{1}{1+\frac{1?\ln \left(n+1\right)?{\gamma }_{n+1}}{n}} \\ \text{記}\frac{1?\ln \left(n+1\right)?{\gamma }_{n+1}}{n}=a_n,\text{易得}\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \text{原題目轉化為：}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\left(\frac{1}{1+a_n}\right)}^n \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }{e}^{\ln \frac{1}{n}+n\ln \left(\frac{1}{1+an}\right)} \\ =e^{?\ln n?n\ln \left(1+a_n\right)} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathrm{n}\left(1+a_n\right)=a_n+O\left(\frac{{\ln }^{2}n}{n^2}\right)\approx a_n \\ \text{故}?\ln n?n\ln \left(1+a_n\right)=?\ln n?n{a}_n \\ =?\ln n?n\frac{1?\ln \left(n+1\right)?{\gamma }_{n+1}}{n} \\ ={\gamma }_{n+1}?1+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right) \\ ={\gamma }_{n+1}?1 \\ \therefore \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\left(\frac{n}{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{n}{n+1}}\right)}^n=e^{{\gamma }_{n+1}?1} \\ \text{其中}{\gamma }_{n+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sum _{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}?\ln \left(n+1\right)\right) \end{gathered}$$

總結

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