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by 月光 · 2017 年 12 月 22 日

丘成桐教授是當(dāng)代最著名的數(shù)學(xué)家之一，他在中國(guó)計(jì)算機(jī)大會(huì)的特邀報(bào)告講的是幾何學(xué)對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)（包括人工智能）的貢獻(xiàn)，計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的學(xué)者可從中受到啟發(fā)。也許人們沒(méi)有想過(guò)幾何學(xué)對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)的影響會(huì)如此之大，如果要更上一層樓，應(yīng)該學(xué)習(xí)更高深的數(shù)學(xué)知識(shí)。

來(lái)源：《中國(guó)計(jì)算機(jī)學(xué)會(huì)通訊》2017年第12期《CNCC2017特邀報(bào)告》
由劉利剛根據(jù)CNCC 2017特邀報(bào)告整理而成）

我很榮幸受邀來(lái)到中國(guó)計(jì)算機(jī)大會(huì)上演講。我本人主要從事微分幾何等基礎(chǔ)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究。但最近十多年來(lái)，因?yàn)槲业膶W(xué)生，美國(guó)石溪大學(xué)顧險(xiǎn)峰教授及其他朋友的緣故，我進(jìn)行了一些與計(jì)算機(jī)科學(xué)有關(guān)的研究。通過(guò)研究我發(fā)現(xiàn)，純數(shù)學(xué)尤其是幾何學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中大有作為。

現(xiàn)代幾何的歷史及幾何學(xué)重要概念

現(xiàn)代幾何的歷史

在歷史上，幾何學(xué)是數(shù)學(xué)的開(kāi)始。古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得(Ευκλειδη?)1（公元前330~前275年）將平面幾何的所有定理組合，發(fā)現(xiàn)這些定理都可以由五個(gè)公理推導(dǎo)出來(lái)，這是人類(lèi)理性科學(xué)文明的重要里程碑之一。所以我也鼓勵(lì)大家把這個(gè)方法運(yùn)用到人工智能上——從復(fù)雜多樣的網(wǎng)絡(luò)中找到其最簡(jiǎn)單的公理。如果能夠?qū)崿F(xiàn)，將會(huì)是人工智能的里程碑！

當(dāng)時(shí)希臘人的數(shù)學(xué)工具不夠，除了二次方程定義的圖形（直線、圓、平面、球等），沒(méi)有能力處理更一般的圖形。直到古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家阿基米德(Archimedes)2（公元前287~前212年）開(kāi)始利用簡(jiǎn)單的微積分的無(wú)限算法計(jì)算體積，并開(kāi)始發(fā)展射影幾何理論。微積分的出現(xiàn)使得幾何學(xué)進(jìn)入了新紀(jì)元，微分幾何由此誕生。幾何學(xué)在瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Leonhard Euler)（公元1707~1783年）和德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯(C.F.Gauss)（公元1777~1855年）手上突飛猛進(jìn)，變分方法和組合方法被大量引用來(lái)描述幾何現(xiàn)象和物理現(xiàn)象。更多丘成桐分享：www.yangfenzi.com/tag/shing-tung-yau

現(xiàn)代幾何起源于德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼(Riemann)（公元1826~1866年）在1854年的博士論文，論文中首次將幾何空間看成一個(gè)抽象而自足的空間，同時(shí)可以研究曲率和有關(guān)的幾何問(wèn)題。后來(lái)這個(gè)空間成為現(xiàn)代物理的基礎(chǔ)，現(xiàn)在物理學(xué)中研究的引力波就是從這個(gè)空間開(kāi)始的。沒(méi)有這個(gè)空間，愛(ài)因斯坦(Albert Einstein)就不可能研究出廣義相對(duì)論。黎曼的論文中認(rèn)為離散空間也是一個(gè)重要的空間，它包含了我們現(xiàn)在研究的圖論，或許可以用來(lái)研究宇宙萬(wàn)物可能產(chǎn)生的一切。因此，黎曼的這篇論文為現(xiàn)代幾何奠定了基礎(chǔ)，他的思想在現(xiàn)代幾何學(xué)中具有不可替代的作用。150年后，我們還是看得到他的智慧。

對(duì)稱(chēng)

幾何學(xué)能夠提供很多重要的想法，其影響無(wú)所不在。其中一個(gè)重要的概念是“對(duì)稱(chēng)”。我們中國(guó)人講的“陰陽(yáng)”就是一個(gè)對(duì)稱(chēng)的例子。數(shù)學(xué)上有一個(gè)叫龐加萊對(duì)偶的概念，其實(shí)也是陰陽(yáng)，但比陰陽(yáng)更加具體。19世紀(jì)挪威數(shù)學(xué)家索菲斯·李(Sophus Lie)發(fā)展的李群，是物理學(xué)中的一個(gè)重要工具。現(xiàn)代物理中幾乎沒(méi)有一個(gè)學(xué)科可以離開(kāi)李群。在幾何學(xué)上，德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因(Klein)于1870年發(fā)表的《埃爾朗根綱領(lǐng)》中提出了用對(duì)稱(chēng)來(lái)統(tǒng)治幾何的重要原理。隨后，產(chǎn)生了許多重要的幾何學(xué)分支，例如仿射幾何、保角幾何和投影幾何等。這些幾何都與圖像處理有著密切的聯(lián)系，近十多年來(lái)我們都是用保角幾何等來(lái)處理各種圖像問(wèn)題。所以，當(dāng)年被認(rèn)為不重要的幾何學(xué)，現(xiàn)在卻有重要的實(shí)際用處。從大范圍對(duì)稱(chēng)到小范圍對(duì)稱(chēng)，都對(duì)20世紀(jì)的基礎(chǔ)研究產(chǎn)生了重要的影響。

平行移動(dòng)

另一個(gè)很重要的概念是平行移動(dòng)。通俗地講，平行移動(dòng)就是空間中的一點(diǎn)與另外一點(diǎn)之間的一個(gè)比較的方法。這個(gè)概念在物理學(xué)和工程中已有廣泛的應(yīng)用，但至今還沒(méi)有被引進(jìn)到計(jì)算機(jī)科學(xué)中來(lái)。這是一個(gè)在數(shù)學(xué)中很重要、很廣泛的概念，它影響了整個(gè)數(shù)學(xué)界兩千年。所以，我期望平行移動(dòng)能夠在計(jì)算機(jī)科學(xué)中大放異彩。

幾何學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)的相互影響

幾何對(duì)于計(jì)算機(jī)科學(xué)的影響

現(xiàn)代幾何為計(jì)算機(jī)科學(xué)奠定了理論基礎(chǔ)，并且指導(dǎo)計(jì)算機(jī)科學(xué)未來(lái)的發(fā)展方向。

• 現(xiàn)代幾何廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)幾乎所有的分支，例如計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)視覺(jué)和計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、數(shù)字幾何處理、數(shù)字安全和醫(yī)學(xué)圖像等；
• 黎曼幾何有助于理解社交網(wǎng)絡(luò)；
• 現(xiàn)代幾何理論有望用來(lái)理解人工智能的黑箱，例如深度學(xué)習(xí)、生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)和機(jī)器定理證明等；
• 所有與圖像或者網(wǎng)絡(luò)有關(guān)的問(wèn)題都是幾何問(wèn)題的一部分。

計(jì)算機(jī)科學(xué)對(duì)于幾何的影響

計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展為現(xiàn)代幾何提供了需求和挑戰(zhàn)，并推動(dòng)了跨學(xué)科的發(fā)展。例如：

• 人工智能中的機(jī)械定理證明推動(dòng)了計(jì)算代數(shù)的發(fā)展；
• 數(shù)據(jù)安全、比特幣和區(qū)塊鏈的發(fā)展推動(dòng)了代數(shù)數(shù)論、橢圓曲線和模型式的發(fā)展；
• 社交網(wǎng)絡(luò)和大數(shù)據(jù)的發(fā)展，催生了持續(xù)同調(diào)理論的發(fā)展；
• 動(dòng)漫和游戲的發(fā)展推動(dòng)了計(jì)算共形幾何學(xué)科的誕生和發(fā)展；
• 機(jī)器學(xué)習(xí)的發(fā)展推動(dòng)了最優(yōu)傳輸理論的發(fā)展。

幾何學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)的應(yīng)用案例

圖論

圖論在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的重要性是根本的。圖由頂點(diǎn)和邊組成，允許重邊和過(guò)單頂點(diǎn)的圈。我們通過(guò)研究定義在頂點(diǎn)和邊上的函數(shù)，就可以研究圖的組合問(wèn)題。例如，如何將原圖分解成很多簡(jiǎn)單的子圖，如何衡量各個(gè)分支間的連接度，如何將圖染色等，這些問(wèn)題都與圖上的特征函數(shù)緊密相連。

事實(shí)上，圖上的特征函數(shù)與光滑流形上的特征函數(shù)具有很多相似的地方。我們將四十年前我和鄭紹遠(yuǎn)3、李偉光?所做的關(guān)于黎曼流形的特征函數(shù)的工作推廣到圖上，得到了很好的結(jié)果。圖上的拉普拉斯算子自然定義了圖上的取平均的操作，其特征根及其特征函數(shù)與圖的組合函數(shù)密切相關(guān)。我們研究了圖上的熱擴(kuò)散過(guò)程，發(fā)現(xiàn)運(yùn)用李-丘估計(jì)能夠控制熱核。通過(guò)研究圖上的薛定諤方程，定義了圖上的量子隧道概念。這些概念都是從物理上來(lái)的，被借用到圖上。我們將流形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)推廣到有向圖上，定義了圖上的同調(diào)群。同調(diào)群可以用來(lái)研究圖上密切的關(guān)系和它的內(nèi)容。

進(jìn)化圖論為表達(dá)種群結(jié)構(gòu)提供了數(shù)學(xué)工具：頂點(diǎn)代表個(gè)體，邊代表個(gè)體的交互作用。圖可以用來(lái)代表各種具有空間結(jié)構(gòu)的種群，例如細(xì)菌、動(dòng)植物、組織結(jié)構(gòu)、多細(xì)胞器官和社交網(wǎng)絡(luò)。在進(jìn)化過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體依據(jù)自身的適應(yīng)程度進(jìn)行繁殖并侵占到鄰近頂點(diǎn)。圖的拓?fù)浞从沉嘶虻难莼儺惡瓦x擇的平衡。特別地，互聯(lián)網(wǎng)是一個(gè)非常復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)。社交行為的進(jìn)化可以用進(jìn)化博弈論來(lái)研究。個(gè)體和鄰居博弈，根據(jù)收益而繁殖。個(gè)體繁殖速率受到自身與其他個(gè)體的交互作用影響，從而產(chǎn)生進(jìn)化博弈的動(dòng)態(tài)演化。其核心問(wèn)題在于，對(duì)于給定的圖，如何決定哪種策略會(huì)取得成功。

2017年初，我們?cè)贜ature上發(fā)表了一篇文章?，得到了在任何給定的圖上進(jìn)行弱選擇，自然選擇從兩種彼此競(jìng)爭(zhēng)的策略中如何進(jìn)行挑選的一個(gè)條件。這個(gè)理論框架適用于人類(lèi)決策，也適用于任何集群組織的生態(tài)演化。我們從弱選擇極限得到的結(jié)果，解釋了何種組織結(jié)構(gòu)導(dǎo)致何種行為。我們發(fā)現(xiàn)，如果存在成對(duì)的強(qiáng)紐帶結(jié)構(gòu)，合作就會(huì)大規(guī)模出現(xiàn)。我們用數(shù)學(xué)證明了社會(huì)學(xué)方面的一個(gè)結(jié)論：穩(wěn)定的伙伴或者伴侶，對(duì)于形成合作型的社會(huì)起到了骨干作用。

計(jì)算機(jī)圖形學(xué)：全局參數(shù)化

“基于共形幾何的全局參數(shù)化”是我們研究了近20年的一個(gè)方向，自1999年顧險(xiǎn)峰在哈佛大學(xué)讀博士時(shí)就已經(jīng)開(kāi)始做這方面的工作了。曲面參數(shù)化問(wèn)題就是如何將曲面整體光滑映射到二維參數(shù)區(qū)域，使得幾何畸變最小。曲面參數(shù)化是紋理貼圖和法向貼圖等技術(shù)的基礎(chǔ)。共形幾何是從古典的黎曼幾何中產(chǎn)生的一個(gè)很重要的幾何分支。

我們將大衛(wèi)雕像模型（如圖1(a)）共形（保角）地映射到平面上（如圖1(b)），看上去似乎變化很大，其實(shí)不然，因?yàn)檫@是保持角度不變的。如果我們?cè)趨?shù)區(qū)域平面上畫(huà)好網(wǎng)格點(diǎn)，然后將這些網(wǎng)格點(diǎn)映射到人臉上，就能在人臉上顯示出很漂亮的網(wǎng)格圖形（如圖1(c)）。共形映射在工程中應(yīng)用很廣，因?yàn)樗軐D上的無(wú)窮小圓仍然映射成無(wú)窮小圓，從而不會(huì)導(dǎo)致太大的變化。

圖1 曲面的共形映射

上述應(yīng)用中需要數(shù)學(xué)上一個(gè)很重要的定理，即龐加萊單值化定理。該定理是說(shuō)映射的幾何圖形只與它的拓?fù)湫杂嘘P(guān)，任何幾何本質(zhì)上可以歸結(jié)為三種幾何，即球面幾何、歐氏幾何、雙曲幾何。這樣，我們就可以將很多很重要但又很復(fù)雜的幾何用很簡(jiǎn)單的方式描述出來(lái)。

但保角映射也有其不足，所以我們發(fā)展了第二類(lèi)映射——保面元映射。保面元映射能使面元的面積被保持，但角度不一定被保持。如圖2所示，保角映射有可能將一個(gè)面拉得很遠(yuǎn)（如圖2(b)），而保面元映射（如圖2(c)）則不會(huì)產(chǎn)生這種情況。根據(jù)凸幾何中的閔可夫斯基定理和亞歷山大定理，保面元映射可以通過(guò)求解蒙日-安培方程得到。

圖2 曲面的保角映射和保面元映射

計(jì)算機(jī)視覺(jué)：動(dòng)態(tài)曲面追蹤

計(jì)算機(jī)視覺(jué)中一個(gè)很重要的問(wèn)題是動(dòng)態(tài)曲面追蹤（如圖3），即給定一系列動(dòng)態(tài)三維曲面，如何自動(dòng)找到曲面間的光滑映射，使得特征點(diǎn)匹配，映射帶來(lái)的幾何畸變最小。共形映射也可以用來(lái)求解動(dòng)態(tài)曲面追蹤，并且應(yīng)用到表情識(shí)別和追蹤中，可以從一個(gè)人的各種面部表情得到他的重要面部特征。主要方法是用共形映射或保面元映射將它們映射到平面上，然后用擬共形映射來(lái)尋找最佳微分同胚。擬共形映射是一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)工具，它在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)上具有廣泛應(yīng)用。至今，數(shù)學(xué)家們?nèi)栽谘芯繑M共形映射及其性質(zhì)。它不是一個(gè)正則方程，而是一個(gè)偽正則方程，即Beltrami方程。在研究圖形圖像變形時(shí)這個(gè)方程非常重要，我們可以在微分同胚空間中進(jìn)行變分，得到最優(yōu)的映射。該方法在醫(yī)療和動(dòng)漫中都有很重要的應(yīng)用。

圖3 動(dòng)態(tài)曲面追蹤

計(jì)算力學(xué)：六面體網(wǎng)格生成

在計(jì)算力學(xué)中會(huì)經(jīng)常用到六面體網(wǎng)格來(lái)進(jìn)行有限元分析。我們也可以使用共形映射生成一個(gè)網(wǎng)格曲面的規(guī)則六面體網(wǎng)格，并且具有盡量少的奇異點(diǎn)和奇異線。圖4是在一只兔子模型內(nèi)部生成了比較好的六面體網(wǎng)格。根據(jù)拓?fù)鋵W(xué)理論，生成六面體網(wǎng)格時(shí)通常會(huì)產(chǎn)生一些奇異點(diǎn)?；谌~狀結(jié)構(gòu)理論，我們對(duì)這些奇異點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)，并進(jìn)行了一些深入的研究，從而得出了一些在計(jì)算機(jī)科學(xué)上有意義的結(jié)論。

圖4 兔子曲面的六面體網(wǎng)格生成

數(shù)字幾何處理：幾何壓縮

數(shù)字幾何處理中一個(gè)很重要的問(wèn)題是幾何壓縮。在進(jìn)行幾何壓縮時(shí)需要用到蒙日-安培理論和幾何逼近理論。如何壓縮復(fù)雜幾何數(shù)據(jù)，保證幾何誤差最小，并同時(shí)保證黎曼度量、曲率測(cè)度和微分算子的收斂性，這就是幾何壓縮問(wèn)題。我們采取的解決方法是用共形映射將曲面映射到平面，再用蒙日-安培理論，將高曲率區(qū)域放大，然后重新采樣，并在共形參數(shù)域上進(jìn)行Delaunay三角剖分。這樣得到的簡(jiǎn)化多面體網(wǎng)格就能夠保證黎曼度量、曲率測(cè)度和微分算子收斂。采用不同的幾何壓縮方法將圖5(a)所示的三角網(wǎng)格壓縮到4000個(gè)頂點(diǎn)所得的結(jié)果如圖5(b)和圖5(c)所示。

圖5 不同的幾何壓縮方法對(duì)比

人工智能

機(jī)器學(xué)習(xí)算法需要大量的有標(biāo)注的樣本數(shù)據(jù)。對(duì)于圖像分類(lèi)，經(jīng)常需要使用上千萬(wàn)張有標(biāo)注的圖像來(lái)進(jìn)行訓(xùn)練。對(duì)于語(yǔ)音識(shí)別，需要成千上萬(wàn)小時(shí)有標(biāo)注的語(yǔ)音數(shù)據(jù)。對(duì)于機(jī)器翻譯，通常是在千萬(wàn)量級(jí)的雙語(yǔ)語(yǔ)對(duì)上進(jìn)行訓(xùn)練。但是很多領(lǐng)域卻無(wú)法收集大數(shù)據(jù)，一是因?yàn)閷?shí)例過(guò)少，例如醫(yī)療方面的疑難雜癥；二是由于過(guò)于抽象，例如幾何研究中的高維流形等。

機(jī)器學(xué)習(xí)算法中的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要數(shù)十億個(gè)參數(shù)，需要昂貴的硬件支持和漫長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間，訓(xùn)練難度很大。機(jī)器學(xué)習(xí)算法等價(jià)于能量?jī)?yōu)化。由于規(guī)模龐大，無(wú)法用二階優(yōu)化，因而一般是用隨機(jī)梯度下降法。由于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層數(shù)過(guò)深，經(jīng)常出現(xiàn)梯度消失和梯度爆炸的問(wèn)題，因此訓(xùn)練過(guò)程收斂困難。

目前，以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為代表的統(tǒng)計(jì)機(jī)器學(xué)習(xí)在工程實(shí)踐中取得了成功，但是其理論基礎(chǔ)非常薄弱，被人們稱(chēng)為黑箱算法。人工智能算法的不可解釋性，極大地阻礙了這一領(lǐng)域的進(jìn)一步應(yīng)用和發(fā)展。深度學(xué)習(xí)理論的建立，應(yīng)該是目前最為迫切的問(wèn)題。更多人工智能AI解讀：www.yangfenzi.com/tag/rengongzhineng

人類(lèi)的智能主要包括歸納總結(jié)和邏輯演繹，對(duì)應(yīng)著人工智能中的聯(lián)結(jié)主義（如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）和符號(hào)主義（如Groebner Basis方法）。人類(lèi)對(duì)大量的視覺(jué)聽(tīng)覺(jué)信號(hào)的感知處理都是下意識(shí)的，是基于大腦皮層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)方法；大量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和定理證明是有強(qiáng)烈主觀意識(shí)的，是基于公理系統(tǒng)的符號(hào)演算方法。

雖然人工智能的算法原理目前沒(méi)有被透徹理解，但我們相信其內(nèi)在原理可以用現(xiàn)代幾何原理來(lái)解釋。例如，對(duì)于機(jī)器定理的證明，我們運(yùn)用了希爾伯特定理；對(duì)于生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)，我們運(yùn)用了亞歷山大定理和蒙日-安培方程。

人工智能中，符號(hào)主義的一個(gè)代表就是機(jī)器定理證明。目前基于符號(hào)計(jì)算的機(jī)器定理證明的理論根基是希爾伯特定理：多元多項(xiàng)式環(huán)中的理想都是有限生成的。首先，我們將一個(gè)幾何命題的條件轉(zhuǎn)換成代數(shù)多項(xiàng)式，同時(shí)把結(jié)論也轉(zhuǎn)換成多項(xiàng)式，然后證明條件多項(xiàng)式生成的根理想包含結(jié)論對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式，即將定理證明轉(zhuǎn)化為根理想成員判定問(wèn)題。一般而言，多項(xiàng)式理想的基底并不唯一，Groebner基方法可以生成滿足特定條件的理想基底，因此可以自動(dòng)判定理想成員問(wèn)題。從計(jì)算角度而言，Groebner基方法所要解決的問(wèn)題的本質(zhì)復(fù)雜度都是超指數(shù)級(jí)別的，所以即便對(duì)于簡(jiǎn)單的幾何命題，其機(jī)器證明過(guò)程都可能引發(fā)儲(chǔ)存空間的指數(shù)爆炸，這揭示了機(jī)器定理證明的本質(zhì)難度。到目前為止，機(jī)器定理證明方法還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)深刻的定理。

生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)是聯(lián)結(jié)主義的一個(gè)例子。生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)其實(shí)就是以己之矛克己之盾，在矛盾中發(fā)展，使得矛更加鋒利，盾更加強(qiáng)韌。這里的盾被稱(chēng)為判別器，矛被稱(chēng)為生成器。通常生成器G將一個(gè)隨機(jī)變量（例如高斯分布或者均勻分布），通過(guò)參數(shù)化的概率生成模型（通常是用一個(gè)深度神經(jīng)網(wǎng)進(jìn)行參數(shù)化）進(jìn)行概率分布的逆變換采樣，從而得到一個(gè)生成的概率分布。判別器D通常也采用深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。例如，給定兩個(gè)概率分布μ和v，其中μ是隨機(jī)白噪聲，v是人臉相片的概率分布。這樣，生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題就是在兩個(gè)概率分布μ和v之間找到一個(gè)最優(yōu)傳輸映射（見(jiàn)圖6）。我們可以通過(guò)對(duì)蒙日-安培方程進(jìn)行求解來(lái)找到最優(yōu)傳輸映射，從而節(jié)省很多生成對(duì)抗的時(shí)間。蒙日-安培方程本身就等價(jià)于微分幾何中的亞歷山大定理。

圖6 生成模型

生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)實(shí)質(zhì)上是用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)計(jì)算概率測(cè)度之間的變換。雖然規(guī)模宏大，但是數(shù)學(xué)本質(zhì)并不復(fù)雜。應(yīng)用相對(duì)成熟的最優(yōu)傳輸理論和蒙日-安培理論，我們可以為機(jī)器學(xué)習(xí)的黑箱給出透明的幾何解釋，這有助于設(shè)計(jì)出更為高效和可靠的計(jì)算方法。

總結(jié)與展望

現(xiàn)代數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展緊密相關(guān)。共形幾何的單值化定理、蒙日-安培理論、最優(yōu)傳輸理論、凸幾何的Minkowski-Alexandrov理論等現(xiàn)代幾何中的深刻定理，已經(jīng)應(yīng)用到計(jì)算機(jī)科學(xué)的許多領(lǐng)域。特別地，數(shù)字金融中的區(qū)塊鏈技術(shù)依賴(lài)于數(shù)論的現(xiàn)代成果，人工智能的理論解釋依賴(lài)于現(xiàn)代代數(shù)中的希爾伯特理論等。

希望我們能夠?qū)⒏嗟臄?shù)學(xué)理論應(yīng)用到計(jì)算機(jī)科學(xué)中，不僅能有效地提出各種計(jì)算機(jī)算法，而且能給出理論的基礎(chǔ)。人工智能需要一個(gè)堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，否則它的發(fā)展會(huì)有很大困難。我們期待計(jì)算機(jī)科學(xué)與現(xiàn)代幾何能有更為深刻和密切的結(jié)合，更多的跨學(xué)科領(lǐng)域被創(chuàng)立、成長(zhǎng)和壯大。我們相信人工智能的理論基礎(chǔ)，深度學(xué)習(xí)的幾何解釋和數(shù)字金融的理論近期會(huì)得到蓬勃發(fā)展！

整理者：劉利剛，CCF專(zhuān)業(yè)會(huì)員、杰出演講者，CCF計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)專(zhuān)委會(huì)常委。中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院計(jì)算與應(yīng)用數(shù)學(xué)系主任、教授。主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)圖形學(xué)與計(jì)算幾何。

腳注

1. 歐幾里得（希臘文：Ευκλειδη?，公元前330年~前275年），也被稱(chēng)為亞歷山大里亞的歐幾里得，以便區(qū)別于墨伽拉的歐幾里得。古希臘數(shù)學(xué)家，被稱(chēng)為“幾何學(xué)之父”。他活躍于托勒密一世（公元前323年~前283年）時(shí)期的亞歷山大里亞，也是亞歷山大學(xué)派的成員。他在著作《幾何原本》中提出五大公設(shè)，成為歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。歐幾里得也寫(xiě)過(guò)一些關(guān)于透視、圓錐曲線、球面幾何學(xué)及數(shù)論的作品。歐幾里得幾何被廣泛認(rèn)為是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的經(jīng)典之作。

2. 阿基米德（Archimedes，公元前287年~前212年），古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家，靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，享有“力學(xué)之父”的美稱(chēng)。阿基米德和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家?！敖o我一個(gè)支點(diǎn)，我就能撬起整個(gè)地球”是他的名言。

3. 鄭紹遠(yuǎn)，1970年畢業(yè)于香港中文大學(xué)聯(lián)合書(shū)院數(shù)學(xué)系，師從國(guó)際著名數(shù)學(xué)家陳省身先生，在美國(guó)加州大學(xué)伯克利分校獲得博士學(xué)位。后在普林斯頓大學(xué)、紐約州立大學(xué)石溪分校、加州大學(xué)洛杉磯分校等任教，之后在香港中文大學(xué)、香港科技大學(xué)數(shù)學(xué)系任系主任。他的卓越貢獻(xiàn)是黎曼流形上的Laplacian特征值的比較定理。他與丘成桐教授合作解決了高級(jí)Minkowski問(wèn)題，對(duì)Monge-Ampere方程、黎曼流形的特征值估計(jì)等方面作出了突出貢獻(xiàn)。

4. 李偉光(Peter Li)，美國(guó)加州大學(xué)爾灣分校數(shù)學(xué)系華裔教授，美國(guó)藝術(shù)和科學(xué)院院士。1982年丘成桐與李偉光合著的論文，給出了線性熱方程的逐點(diǎn)微分不等式，在沿曲線積分后可以給出經(jīng)典的Harnack不等式。被稱(chēng)為“李-丘”的工作所得到的Harnack不等式也是漢米爾頓(Hamilton)開(kāi)創(chuàng)早先解決方案進(jìn)行分析的基礎(chǔ)。李偉光19歲赴美國(guó)求學(xué)，先后獲得加州大學(xué)弗雷斯諾分校數(shù)學(xué)學(xué)士，加州大學(xué)伯克利分校數(shù)學(xué)碩士和博士學(xué)位。

5. Allen B, Lippner G, Chen Y T, et al. Evolutionary dynamics on any population structure[J]. Nature, 2017, 544(7649):227.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的CCCF“CNCC2017特邀报告”丘成桐：现代几何学与计算机科学的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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