文章目錄

• 1. 泊松分布定義
• 2.泊松分布具體實例
• • 實例1：
  • 實例2：
• 3.生成泊松分布的代碼

泊松分布適合于描述單位間隔(時間、距離、面積、體積)內(nèi)隨機事件發(fā)生的次數(shù)的概率分布。如電話交換機接到呼叫的次數(shù)、汽車站臺的候客人數(shù)、機器出現(xiàn)的故障數(shù)、自然災(zāi)害發(fā)生的次數(shù)、DNA序列的變異數(shù)、放射性原子核的衰變數(shù)、一年內(nèi)撞擊地球的直徑大于1米的隕石數(shù)量、CCD/CMOS像元接受光子的數(shù)量等等。

1. 泊松分布定義

定義
如果一個離散隨機變量$X$,它的質(zhì)量密度函數(shù)由下式給出，則我們稱這個離散隨機變量$X$服從泊松分布
$$f(k;\lambda )=p(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{?\lambda }}{k!},\lambda >0,k=0,1,2,3,...$$
假設(shè)與有效條件
以下假設(shè)成立時，泊松分布模型適用:

• 事件在一個時間間隔內(nèi)發(fā)生，且k可以取值0，1，2，…；
• 一個事件的發(fā)生不影響下一個事件發(fā)生的概率，也就是事件發(fā)生是相互獨立的；
• 事件發(fā)生的平均速率（average event rate）與任何事件的發(fā)生無關(guān)。一般為簡單起見，通常假定事件發(fā)生的平均速率為常數(shù)，但實際上可能隨時間而變化；
• 兩個事件不可能在完全相同的時刻發(fā)生，即在每一小段的時間內(nèi)正好有一個事件發(fā)生或不發(fā)生。

(如果這些條件成立，那么$k$就是一個泊松隨機變量，$k$的分布就是一個泊松分布。)

泊松分布的參數(shù)λ是隨機事件發(fā)生次數(shù)的數(shù)學(xué)期望值，且服從泊松分布的隨機變量，其數(shù)學(xué)期望與方差相等，即 $\lambda =E(X)=Var(X)$。

2.泊松分布具體實例

實例1：

在一條特定的河流上，平均每 100 年發(fā)生一次洪水。假設(shè)發(fā)生洪水次數(shù)符合泊松分布，那么計算 100 年間發(fā)生k = 0、1、2、3、4、5 或 6 次洪水的概率 就可以用泊松分布的公式直接計算。

因為平均事件率（average event rate）是每 100 年發(fā)生一次洪水，所以$\lambda =1$.

$p(100年內(nèi)發(fā)生k次洪水)=\frac{{\lambda }^k{e}^{?\lambda }}{k!}=\frac{1^k{e}^{?1}}{k!}=\frac{e^{?1}}{k!}$
$p(100年內(nèi)發(fā)生0次洪水)=\frac{1^0{e}^{?1}}{0!}=\frac{e^{?1}}{1}\approx 0.368$
$p(100年內(nèi)發(fā)生1次洪水)=\frac{1^1{e}^{?1}}{1!}=\frac{e^{?1}}{1}\approx 0.368$
$p(100年內(nèi)發(fā)生2次洪水)=\frac{1^2{e}^{?1}}{2!}=\frac{e^{?1}}{2}\approx 0.184$
$p(k=3)=0.061$
$p(k=4)=0.015$
…

實例2：

María Dolores Ugarte及其同事在一篇報道中指出世界杯足球比賽中的平均進球數(shù)約為2.5個，也適合泊松分布。 因為平均事件率（average event rate）為每場比賽 2.5 個進球，所以 λ = 2.5。
$p(一場世界杯比賽進k個球)=\frac{2.5^k{e}^{?2.5}}{k!}$
$p(一場世界杯比賽進0個球)=\frac{2.5^0{e}^{?2.5}}{0!}=\frac{e^{?2.5}}{1}\approx 0.082$
$p(一場世界杯比賽進1個球)=\frac{2.5^1{e}^{?2.5}}{1!}=\frac{2.5e^{?2.5}}{1}\approx 0.205$
$p(一場世界杯比賽進2個球)=\frac{2.5^2{e}^{?2.5}}{2!}=\frac{6.25e^{?2.5}}{2}\approx 0.257$
$p(k=3)=0.213$
$p(k=4)=0.133$
$p(k=5)=0.067$
…

3.生成泊松分布的代碼

import numpy as np import matplotlib.pyplot as pltdef poisson(lam:float,max_k:int):"""采用迭代求解的方式計算泊松分布泊松分布：p(k) = exp(-lam) * (lam**k) / k!,k>=0.迭代方式：p(k) = p(k-1) * lam / k, k>=1, and p(0) = exp(-lam)."""poisson_score = []# p(0) = exp(-lam)p_0 = np.exp(-lam)poisson_score.append(p_0)k_mult = 1 # 計算階乘的中間變量for i in range(1,max_k):p_k = poisson_score[-1] * lam / ipoisson_score.append(p_k)return poisson_scoredef main():lam1 = 1lam2 = 2lam3 = 5lam4 = 10max_k = 20poisson_score1 = poisson(lam1,max_k)poisson_score2 = poisson(lam2,max_k)poisson_score3 = poisson(lam3,max_k)poisson_score4 = poisson(lam4,max_k)x = np.arange(len(poisson_score1))plt.plot(x,poisson_score1,'c*-',c='b',label='lambda='+str(lam1))plt.plot(x,poisson_score2,'c*-',c='g',label='lambda='+str(lam2))plt.plot(x,poisson_score3,'c*-',c='r',label='lambda='+str(lam3))plt.plot(x,poisson_score4,'cv-',c='b',label='lambda='+str(lam4))plt.title("Poisson distribution")plt.ylabel("Probability")plt.xlabel("k")plt.xticks(x,[str(item) for item in range(len(poisson_score1))]) # 刻度plt.grid(True)plt.legend()plt.show()if __name__ == "__main__":main()

參考文獻
[1].https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的泊松分布一的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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