傅里葉變換

傅里葉變換（Fourier transform）是一種線性的積分變換，從時間轉換為頻率的變化
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1. 連續傅里葉變換

這是將頻率域的函數F(ω)表示為時間域的函數f（t）的積分形式

連續傅里葉變換的逆變換 (inverse Fourier transform)為：

一般可稱函數f（t）為原函數，而稱函數F(ω)為傅里葉變換的像函數，原函數和像函數構成一個傅里葉變換對（transform pair）。

其他形式變換對

在通信或是信號處理方面，常以來代換，而形成新的變換對:

或者是因系數重分配而得到新的變換對：

2.傅里葉級數

連續形式的傅里葉變換其實是傅里葉級數 (Fourier series)的推廣，因為積分其實是一種極限形式的求和算子而已。對于周期函數，其傅里葉級數是存在的：

其中Fn為復幅度。對于實值函數，函數的傅里葉級數可以寫成：

其中an和bn是實頻率分量的幅度。

3.離散時域傅里葉變換

離散傅里葉變換是離散時間傅里葉變換（DTFT）的特例。DTFT在時域上離散，在頻域上則是周期的。DTFT可以被看作是傅里葉級數的逆變換。

4.離散傅里葉變換

離散傅里葉變換（DFT），是連續傅里葉變換在時域和頻域上都離散的形式，將時域信號的采樣變換為在離散時間傅里葉變換（DTFT）頻域的采樣。在形式上，變換兩端（時域和頻域上）的序列是有限長的，而實際上這兩組序列都應當被認為是離散周期信號的主值序列。即使對有限長的離散信號作DFT，也應當將其看作經過周期延拓成為周期信號再作變換。在實際應用中通常采用快速傅里葉變換以高效計算DFT。

為了在科學計算和數字信號處理等領域使用計算機進行傅里葉變換，必須將函數xn定義在離散點而非連續域內，且須滿足有限性或周期性條件。這種情況下，使用離散傅里葉變換（DFT），將函數xn表示為下面的求和形式：

其中Xk是傅里葉幅度。直接使用這個公式計算的計算復雜度為O（nn），而快速傅里葉變換（FFT）可以將復雜度改進為O（nlgn）。

實數離散傅里葉變換

例子?
原始信號圖像：

這個信號的長度是16，于是可以把這個信號分解9個余弦波和9個正弦波

（一個長度為N的信號可以分解成N/2+1個正余弦信號，一個長度為N的信號，最多只能有N/2+1個不同頻率，再多的頻率就超過了計算機所能所處理的精度范圍 ）

在程序中：

x[]表示信號在每個時間點上的幅度值數組, 用大寫X[]表示每種頻率的副度值數組（即時間x-->頻率X）

X[]數組分兩種，一種是表示余弦波的不同頻率幅度值：Re X[]，

另一種是表示正弦波的不同頻率幅度值：Im X[]
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頻域中關于頻率的四種表示方法?
1、序號表示方法，根據時域中信號的樣本數取0 ~ N/2，用這種方法在程序中使用起來可以更直接地取得每種頻率的幅度值，因為頻率值跟數組的序號是一一對應的: X[k]，取值范圍是0 ~ N/2；?
2、分數表示方法，根據時域中信號的樣本數的比例值取0 ~ 0.5: X[?]，? = k/N，取值范圍是0 ~ 1/2；?
3、用弧度值來表示，把?乘以一個2π得到一個弧度值，這種表示方法叫做自然頻率(natural frequency)：X[ω]，ω = 2π? = 2πk/N，取值范圍是0 ~ π；?
4、以赫茲(Hz)為單位來表示，這個一般是應用于一些特殊應用，如取樣率為10 kHz表示每秒有10,000個樣本數：取值范圍是0到取樣率的一半。

DFT基本函數?
ck[i] = cos(2πki/N)?
sk[i] = sin(2πki/N)?
其中k表示每個正余弦波的頻率，如為2表示在0到N長度中存在兩個完整的周期，10即有10個周期

分解運算方法（DFT）

1)通過聯立方程進行求解, 從代數的角度看，要從N個已知值求N個未知值，需要N個聯立方程，且N個聯立方程必須是線性獨立的，計算量非常的大且極其復雜，很少被采用；

2)利用信號的相關性（correlation）進行計算；

上面a和 b兩個圖是待檢測信號波，圖a很明顯可以看出是個3個周期的正弦信號波，圖b的信號波則看不出是否含有正弦或余弦信號，圖c和d都是個3個周期的正弦信號波，圖e和f分別是a、b兩圖跟c、d兩圖相乘后的結果，圖e所有點的平均值是0.5，說明信號a含有振幅為1的正弦信號c，但圖f所有點的平均值是0，則說明信號b不含有信號d。這個就是通過信號相關性來檢測是否含有某個信號的方法。

3)快速傅立葉變換（FFT），大大提高了運算速度，根據復數形式的傅立葉變換來實現的，它把N個點的信號分解成長度為N的頻域，

5.傅立葉變換分類

函數在時（頻）域的離散對應于其像函數在頻（時）域的周期性。反之連續則意味著在對應域的信號的非周期性。也就是說，時間上的離散性對應著頻率上的周期性。同時，注意，離散時間傅里葉變換，時間離散，頻率不離散，它在頻域依然是連續的。

根據原信號的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別：
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1、非周期性連續信號 傅立葉變換（Fourier Transform）

2、周期性連續信號 傅立葉級數(Fourier Series)

3、非周期性離散信號 離散時域傅立葉變換（Discrete Time Fourier Transform）

4、周期性離散信號 離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform)

? ?下圖是四種原信號圖例（從上到下，依次是FT，FS，DTFT，DFT）：?
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問題：1.把長度有限的信號表示成長度無限的信號：

把信號用復制的方法進行延伸，這樣信號就變成了周期性離散信號，這時我們就可以用離散傅立葉變換方法（DFT）

2.對于非周期性的信號，我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示：

對于離散信號的變換只有離散傅立葉變換（DFT）才能被適用，對于計算機來說只有離散的和有限長度的數據才能被處理

6.形象理解

矩形波在頻域里的另一個模樣了：

這就是矩形波在頻域的樣子，頻域圖像，也就是俗稱的頻譜，就是——

再清楚一點：

可以發現，在頻譜中，偶數項的振幅都是0，也就對應了圖中的彩色直線。振幅為 0 的正弦波。

我見解

傅里葉變換是一個線性的積分變換，從時域到頻域，傅立葉變換分為連續傅立葉變換、傅立葉級數、離散時域傅立葉變換、離散傅立葉變換（DFT）.原理即是將輸入的長度為N信號分解為N/2+1 正余弦，通過正交的原理。

傅里葉變換，實際上就是給一個時域上的函數乘上旋轉因子,然后在全時間域上積分。在全時間域上積分，所以最后結果就刨去了時間t的影響。最后的積分結果是一個只關于的函數，也就是說是一個關于角頻率的函數。這樣就實現了時域到頻域的轉換。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的傅里叶变换分类的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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