数学中各种矩阵收集（转至其他博主）
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1、單位矩陣（Identity Matrix）
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如果A矩陣可逆，其逆矩陣為A-1，那么AA-1 = I，這里 I 就是單位矩陣。形式上，單位矩陣 I 是一個(gè)n×n的方陣，其主對角線上的元素都是1，其余位置的元素都為0。因此，單位矩陣也可以記為： In = diag(1, 1, ..., 1)。
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2、上三角矩陣/下三角矩陣
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在線性代數(shù)中，三角矩陣是方形矩陣的一種，如下圖所示，該矩陣的下三角（不包括主對角線）的元素均為常數(shù)0，則稱其為一個(gè)上三角矩陣。
與上三角矩陣相反，如果一個(gè)矩陣的主對角線上方均為常數(shù)0，則稱該矩陣為下三角矩陣，例如：
3、Toeplitz 矩陣
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Toeplitz矩陣又叫做常對角矩陣（diagonal-constant matrix），指矩陣中每條自左上至右下的斜線上之元素都為同一常數(shù)的矩陣。例如下面就是一個(gè)Toeplitz矩陣的例子：
任意n×n的Toeplitz矩陣具有如下形式：
最常見的Toeplitz矩陣是對稱Toeplitz矩陣，這種矩陣僅由第一行元素就可以完全確定。
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4、Hermitian?矩陣
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對于一個(gè)復(fù)矩陣A，其共軛轉(zhuǎn)置記為A*。如果A = A*，則稱為Hermitian矩陣。例如，
顯然，如果一個(gè)實(shí)矩陣是對稱的，那么它也是一個(gè)Hermitian矩陣。
此外，如果一個(gè)復(fù)Toeplitz矩陣中之元素滿足復(fù)共軛對稱關(guān)系，則稱其為Hermitian Toeplitz矩陣。
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5、循環(huán)矩陣（Circulant Matrix）
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循環(huán)矩陣是Toeplitz矩陣的一種特殊形式，如下所示，當(dāng)給定矩陣的第一行時(shí)，矩陣的后一行都是由前一行向右循環(huán)移位得到的。
6、酉矩陣（Unitary Matrix）與正交矩陣
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A ∈ Mn×n(C), A*A = AA* = I, then A is unitary; A ∈ Mn×n(R), ATA = AAT = I, then A is orthogonal。
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7、Hessian 矩陣
形如下面樣子的矩陣，具體請參考《Hessian矩陣與多元函數(shù)極值》。
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8、Vandermonde?矩陣
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9、Fourier矩陣
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10、拉普拉斯矩陣（Laplacian matrix）
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拉普拉斯矩陣是圖論中用到的一種重要矩陣，給定一個(gè)有n個(gè)頂點(diǎn)的圖 G=(V,E)，其拉普拉斯矩陣被定義為 L = D-A，其中為圖的度矩陣，為圖的鄰接矩陣。例如，給定一個(gè)簡單的圖，如下（例子來自wiki百科）：
把此“圖”轉(zhuǎn)換為鄰接矩陣的形式，記為A：
把W的每一列元素加起來得到N個(gè)數(shù)，然后把它們放在對角線上（其它地方都是零），組成一個(gè)N×N的對角矩陣，記為度矩陣D，如下圖所示。其實(shí)度矩陣（對角線元素）表示的就是原圖中每個(gè)點(diǎn)的度數(shù)，即由該點(diǎn)發(fā)出的邊之?dāng)?shù)量。
根據(jù)拉普拉斯矩陣的定義L = D-A，可得拉普拉斯矩陣L 為：
顯然，拉普拉斯矩陣都是對稱的。此外，另外一種更為常用的拉普拉斯矩陣形式是正則化的拉普拉斯矩陣（Symmetric normalized Laplacian），定義為：
該矩陣中的元素由下面的式子給出：
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附錄、循環(huán)矩陣的對角化
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前面Part 5中介紹的循環(huán)矩陣有一個(gè)很特殊的性質(zhì)，即它可以被Fourier矩陣對角化，即有：
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* 8-9 來自《矩陣分析與應(yīng)用》（張賢達(dá) 著）
* 補(bǔ)充循環(huán)矩陣對角化的一個(gè)英文資料 （Iterative Methods for Toeplitz Systems, Michael K. Ng, Oxford University Press）
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（本文完
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總結(jié)
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