圓周率 π 是一個無理數，它的小數部分無限不循環，也就是說，它不能用兩個整數的比來表示。我們常用 3.14 或 22/7 來近似表示 π，但這些都只是近似值，而非精確值。那么，在其他的宇宙中，π 是否也有這樣的值呢？如果某個宇宙里，π 不是 3.14…，那么這個宇宙跟我們現在的宇宙有哪些不同呢？

要回答這個問題，我們首先要明確什么是圓周率。圓周率的定義是一個圓的周長與直徑之比。也就是說，在一個平直的空間中，任何一個圓都滿足 C=2πr（C 為周長，r 為半徑）。這個定義看起來很簡單，但其實隱藏了一個重要的假設：空間是歐幾里得空間。

歐幾里得空間是指滿足歐幾里得公理系統的空間。歐幾里得公理系統包括五條基本公理和一些推論定理。其中最重要的一條公理就是平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與之平行。

歐幾里得空間可以看作我們日常生活中所處的空間模型。在歐幾里得空間中，三角形內角和為 180 度、正方形對角線相等、圓內接四邊形對角和為 180 度等等都成立。而圓周率也恰好符合我們對圓形性質的預期：無論圓多大多小、放在哪里、怎么旋轉或變換位置，其周長與直徑之比都保持恒定。

但是，并非所有可能存在的空間都是歐幾里得空間。事實上，在 19 世紀以前，人們曾經認為只有歐幾里得空間才能符合邏輯和自然法則。但隨著數學和物理學的發展，人們逐漸發現了非歐幾里得空間。

非歐幾里得空間指不滿足歐幾里得公理系統中某些公理（尤其是平行公理）的空間。例如，在球面上畫圖形時就會發現很多奇怪現象：三角形內角和大于 180 度、最短路徑不再沿著直線走等等。

那么，在非歐幾里得空間中，圓周率還會保持恒定嗎？答案是否定的。在非歐幾里得空間中，圓周率不再是一個恒定的常數，而是一個變量，它取決于圓的大小和位置。為什么會這樣呢？原因在于，在非歐幾里得空間中，空間本身是彎曲的。這意味著，在不同的地方，距離、角度、面積等都有不同的測量方法和結果。

那么在球面上，圓周率又是多少呢？答案是沒有一個確定的值。因為在球面上，圓周率取決于圓的大小。如果我們畫一個很小的圓（相對于球面半徑），那么它看起來就像平面上的圓一樣，其周長與直徑之比接近于 3.14…；但如果我們畫一個很大的圓（接近于半個球面），那么它看起來就像一條直線一樣，其周長與直徑之比接近于 1。

更一般地說，在任何非歐幾里得空間中，如果我們畫一個很小的圓（相對于空間曲率），那么它看起來就像平面上的圓一樣，其周長與直徑之比接近于 π；但如果我們畫一個很大的圓（相對于空間曲率），那么它看起來就不像平面上的圓一樣，其周長與直徑之比就會偏離 π。

那么，在非歐幾里得空間中，圓周率是如何計算的呢？一種方法是使用所謂的高斯-博內定理。這個定理告訴我們，在任何曲面上，一個小區域的高斯曲率與該區域內三角形內角和與 180 度之差成正比。換句話說，如果我們在一個曲面上畫一個小圓，并在圓內劃分若干個三角形，那么這些三角形內角和與 180 度之差就可以反映出這個圓周率與 π 之差。

本文來自微信公眾號：萬象經驗 （ID：UR4351），作者：Eugene Wang

總結

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