数模培训-高压油管
高壓油管的壓力控制問(wèn)題
摘 要：高壓油管是許多燃油發(fā)動(dòng)機(jī)的重要工作部件，而燃油進(jìn)入和噴出高壓油管會(huì)導(dǎo)致管內(nèi)的壓力發(fā)生變化，是影響燃油發(fā)動(dòng)機(jī)工作效率的重要因素，因此，研究高壓油管的壓力控制問(wèn)題對(duì)提高發(fā)動(dòng)機(jī)工作效率具有重要意義。本文就高壓油管工作過(guò)程中不同的進(jìn)油和噴油方式建立了數(shù)學(xué)模型，研究了高壓油管的壓力控制問(wèn)題。
對(duì)于問(wèn)題一，首先分析密度和壓力傳播的變化特點(diǎn)，在高壓環(huán)境下，將壓力的非均勻變化問(wèn)題簡(jiǎn)化為均勻變化問(wèn)題，然后進(jìn)行模型的建立與求解：第一步是用最小二乘法對(duì)附件3中彈性模量與壓力的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行擬合，得出二次多項(xiàng)式關(guān)系；第二步是根據(jù)注1中給出的密度變化量和壓力變化量的正比例關(guān)系計(jì)算出附件2中壓力值對(duì)應(yīng)的密度值，再次擬合得到密度與壓力的關(guān)系式；第三步是通過(guò)進(jìn)出高壓油管的流量、單向閥和噴油嘴的工作時(shí)間等變量建立高壓油管燃油量的變化模型；第四步是分析題目中要求高壓油管內(nèi)壓力穩(wěn)定在規(guī)定值的條件，由質(zhì)量守恒定律得出密度隨時(shí)間變化的模型，再結(jié)合壓力與密度的關(guān)系模型建立高壓油管內(nèi)壓力波動(dòng)模型；第五步是確定第一小問(wèn)模型，以總時(shí)間內(nèi)壓力波動(dòng)最小為目標(biāo)函數(shù)，以密度隨時(shí)間變化的模型為約束條件，通過(guò)多次循環(huán)遍歷的方法求得單向閥開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)為0.2875ms時(shí)，高壓油管內(nèi)的壓力能夠維持在100MPa；第六步是在第一小問(wèn)的模型的基礎(chǔ)上加以修改，將總時(shí)間分別固定為2s、5s、10s時(shí)，同樣通過(guò)多次循環(huán)遍歷的方法得到當(dāng)單向閥開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)為0.7369ms時(shí)，高壓油管內(nèi)的壓力可以從100MPa變?yōu)?50MPa，并最終維持在150MPa左右；
對(duì)于問(wèn)題二，考慮到高壓油泵的凸輪通過(guò)拉動(dòng)柱塞上下運(yùn)動(dòng)影響高壓油管的進(jìn)油流量，噴油嘴處的針閥上下運(yùn)動(dòng)影響高壓油甘的出油流量。第一步，為求解高壓油管的進(jìn)油量，首先分析凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)高壓油泵內(nèi)壓力和密度的影響，得出凸輪的不同角速度對(duì)應(yīng)的油泵壓力，然后分情況討論高壓油泵和高壓油管內(nèi)不同的壓力大小關(guān)系對(duì)應(yīng)的燃油流量，最后得出每一離散時(shí)刻點(diǎn)流入高壓油管的燃油質(zhì)量；第二步，為求解高壓油管的出油量，首先求出針閥的升程對(duì)噴油面積的影響，通過(guò)分析針閥的結(jié)構(gòu)，將針閥上升一定升程后與密封座之間形成的圓環(huán)面積和噴口面積中較小的一個(gè)作為噴油面積，然后根據(jù)注2中的流量模型確定燃油噴出時(shí)的流量，從而得出每一離散時(shí)刻點(diǎn)噴出高壓油管的燃油質(zhì)量；第三步，根據(jù)質(zhì)量守恒定律得出高壓油管內(nèi)密度隨時(shí)間變化的關(guān)系式，結(jié)合壓力與密度的關(guān)系式，以總時(shí)間內(nèi)壓力波動(dòng)最小為目標(biāo)函數(shù)建立模型；第四步運(yùn)用與問(wèn)題一相似的求解方式，通過(guò)多次循環(huán)遍歷的方法，不斷調(diào)整參數(shù)，最終得出當(dāng)凸輪角速度設(shè)置為0.02725時(shí)，高壓油管內(nèi)的壓力穩(wěn)定在100MPa左右；
對(duì)于問(wèn)題三，第一問(wèn)是在問(wèn)題二的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)噴油嘴，所以我們引入兩個(gè)噴油嘴的開(kāi)啟時(shí)間差，分別確定兩個(gè)噴油嘴對(duì)應(yīng)的燃油流量以及每一個(gè)離散時(shí)刻點(diǎn)對(duì)應(yīng)的流出的燃油的質(zhì)量，修改問(wèn)題二中質(zhì)量守恒的關(guān)系式得到新的模型，求得此時(shí)凸輪的角速度與兩個(gè)噴油嘴的開(kāi)啟時(shí)間差，作為調(diào)整高壓油管的供油和出油策略的依據(jù)；第二問(wèn)是在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)單向減壓閥，所以需要考慮單向減壓閥開(kāi)啟的壓力臨界值，同樣修改模型中質(zhì)量守恒關(guān)系式中的部分，得到新的模型，以此求出減壓閥開(kāi)啟的壓力臨界值和此時(shí)凸輪的角速度分別作為減壓閥和高壓油泵的控制方案。
關(guān)鍵詞：優(yōu)化模型 離散模型 多重搜索 有限差分
1問(wèn)題重述
燃油發(fā)動(dòng)機(jī)工作的基礎(chǔ)是燃油進(jìn)入和噴出高壓油管，燃油經(jīng)過(guò)高壓油泵進(jìn)入高壓油管，再由噴油嘴噴出。燃油進(jìn)出高壓油管這個(gè)間歇性工作過(guò)程會(huì)引起高壓油管內(nèi)部的壓力的變化，從而使得噴出的燃油量出現(xiàn)不同程度的偏差，以此來(lái)影響發(fā)動(dòng)機(jī)的工作效率，現(xiàn)需要通過(guò)控制單向閥開(kāi)關(guān)的開(kāi)啟時(shí)間、凸輪的角度以及減壓閥的開(kāi)啟條件等因素來(lái)控制高壓油管內(nèi)的壓力變化。具體需要解決以下三個(gè)問(wèn)題：
問(wèn)題1.已知高壓油管的內(nèi)腔長(zhǎng)度、內(nèi)直徑、供油入口小孔的直徑、單向閥的工作規(guī)律、噴油器的工作規(guī)律和噴油速率等參數(shù)。當(dāng)高壓油泵入口提供的壓力恒為160MPa時(shí)，要使高壓油管內(nèi)的壓力穩(wěn)定在100MPa，應(yīng)該如何設(shè)置單向閥的單次開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)？要使高壓油管的壓力經(jīng)過(guò)2s、5s、10s的調(diào)整后穩(wěn)定在150MPa，應(yīng)該如何設(shè)置單向閥的單次開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)？
問(wèn)題2.實(shí)際工作過(guò)程中是通過(guò)控制高壓油泵的凸輪來(lái)改變柱塞位置從而控制進(jìn)入高壓油泵的燃油量的，凸輪驅(qū)動(dòng)柱塞上下運(yùn)動(dòng)，柱塞向上運(yùn)動(dòng)時(shí)壓縮柱塞腔內(nèi)的燃油，柱塞腔與高壓油管之間通過(guò)單向閥連接，當(dāng)腔內(nèi)壓力大于管內(nèi)時(shí)單向閥開(kāi)啟，燃油進(jìn)入高壓油管內(nèi)。柱塞運(yùn)動(dòng)到下止點(diǎn)時(shí)低壓燃油充滿柱塞腔（包括殘余容積）。已知柱塞腔直徑、柱塞運(yùn)動(dòng)到上止點(diǎn)時(shí)柱塞腔殘余的容積、柱塞運(yùn)動(dòng)到下止點(diǎn)時(shí)低壓燃油的壓力、噴油嘴的針閥直徑和密封座的結(jié)構(gòu)等參數(shù)。在問(wèn)題1中給出的噴油器工作次數(shù)、高壓油管尺寸和初始?jí)毫ο拢?dāng)高壓油管內(nèi)的壓力穩(wěn)定在100MPa左右時(shí)，確定凸輪的角速度。
問(wèn)題3.如果在問(wèn)題2的基礎(chǔ)上再增加一個(gè)同噴油規(guī)律的噴油嘴，應(yīng)該如何調(diào)整噴油和供油的策略？為高壓油管安裝一個(gè)單向減壓閥，給定減壓閥的出口直徑。打開(kāi)單向減壓閥可以使燃油在壓力作用下回流到外部低壓油路中從而減小高壓油管內(nèi)燃油的壓力，在此種情況下給出高壓油泵和減壓閥的控制方案。
2問(wèn)題分析
問(wèn)題1：對(duì)于問(wèn)題一，我們首先將壓力的非均勻變化問(wèn)題簡(jiǎn)化為均勻變化問(wèn)題，然后進(jìn)行模型的建立與求解。第一步是借助MATLAB軟件，用最小二乘法對(duì)附件3中彈性模量與壓力的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行擬合；第二步是根據(jù)注1中給出的密度變化量和壓力變化量的正比例關(guān)系計(jì)算出附件2中壓力值對(duì)應(yīng)的密度值，再次擬合得到密度與壓力的關(guān)系式；第三步是建立高壓油管燃油量質(zhì)量變化的模型；第四步是分析題目中要求高壓油管內(nèi)壓力穩(wěn)定在規(guī)定值的條件，由質(zhì)量守恒定律得出密度隨時(shí)間變化的模型，再結(jié)合壓力與密度的關(guān)系模型建立高壓油管內(nèi)壓力波動(dòng)模型；第五步是確定第一小問(wèn)模型；第六步是在第一小問(wèn)模型的基礎(chǔ)上加以修改，確定第二問(wèn)的模型，在將總時(shí)間固定，同樣通過(guò)多次循環(huán)遍歷的方法分別觀察單向閥開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)的不同情況下的壓力的波動(dòng)情況，最終確定最優(yōu)解；
問(wèn)題2：對(duì)于問(wèn)題二，考慮到高壓油泵的凸輪通過(guò)拉動(dòng)柱塞上下運(yùn)動(dòng)影響高壓油管的進(jìn)油流量，噴油嘴處的針閥上下運(yùn)動(dòng)影響高壓油甘的出油流量。第一步，為求解高壓油管的進(jìn)油量，首先分析凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)高壓油泵內(nèi)壓力和密度的影響，得出凸輪的不同角速度對(duì)應(yīng)的油泵壓力，然后分情況討論進(jìn)油口的燃油流量，最后得出每一離散時(shí)刻點(diǎn)流入高壓油管的燃油質(zhì)量；第二步，為求解高壓油管的出油量，首先求出針閥的升程對(duì)噴油面積的影響，通過(guò)分析針閥的結(jié)構(gòu)，確定噴油面積，然后根據(jù)注2中的流量模型確定燃油噴出時(shí)的流量，從而得出每一離散時(shí)刻點(diǎn)噴出高壓油管的燃油質(zhì)量；第三步，根據(jù)質(zhì)量守恒定律得出高壓油管內(nèi)密度隨時(shí)間變化的關(guān)系式，結(jié)合壓力與密度的關(guān)系式，以總時(shí)間內(nèi)壓力波動(dòng)最小為目標(biāo)函數(shù)建立模型；
問(wèn)題3：對(duì)于問(wèn)題三，第一問(wèn)是在問(wèn)題二的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)噴油嘴，所以我們引入兩個(gè)噴油嘴的開(kāi)啟時(shí)間差，分別確定兩個(gè)噴油嘴對(duì)應(yīng)的燃油流量以及每一個(gè)離散時(shí)刻點(diǎn)對(duì)應(yīng)的流出的燃油的質(zhì)量，修改問(wèn)題二中質(zhì)量守恒的關(guān)系式得到新的模型，確定調(diào)整高壓油管的供油和出油的策略；第二問(wèn)是在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)單向減壓閥，所以需要考慮單向減壓閥開(kāi)啟的壓力臨界值，同樣修改模型中質(zhì)量守恒關(guān)系式中的部分，得到新的模型，以此確定減壓閥和高壓油泵的控制方案。
3模型假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明
3.1模型假設(shè)
①假設(shè)高壓油管中的氣體分子是均勻分布的，在各處的壓強(qiáng)和密度是相等的；
②假設(shè)高壓油管是理想圓柱體，忽略進(jìn)油口和出油口對(duì)管內(nèi)分子分布的影響；
③假設(shè)研究過(guò)程中整個(gè)系統(tǒng)的溫度變化可以忽略；
④假設(shè)單向閥開(kāi)關(guān)和單向減壓閥的操作時(shí)間足夠短，可以忽略不計(jì)；
⑤假設(shè)進(jìn)油和出油過(guò)程中燃油對(duì)管內(nèi)壓強(qiáng)產(chǎn)生改變的時(shí)間足夠短，可以不考慮液體壓力波動(dòng)和壓力傳播時(shí)間；
⑥假設(shè)進(jìn)油口和出油口的位置對(duì)管道壓強(qiáng)的影響可以忽略不計(jì)。
3.2符號(hào)說(shuō)明
表1 符號(hào)說(shuō)明表
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符號(hào) |
含義 |
單位 |
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表示彈性模量 |
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表示每一個(gè)離散時(shí)刻點(diǎn)高壓油管內(nèi)對(duì)應(yīng)的壓力值 |
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表示高壓油管內(nèi)的起始?jí)毫χ?/p> |
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表示研究總時(shí)間的長(zhǎng)度 |
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由附件2中針閥運(yùn)動(dòng)曲線的時(shí)間間隔得到，設(shè)定為離散點(diǎn)的步長(zhǎng) |
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表示一個(gè)進(jìn)油周期內(nèi)每一時(shí)間段流進(jìn)高壓油管內(nèi)油的質(zhì)量 |
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表示一個(gè)出油周期內(nèi)每一時(shí)間段流出高壓油管外油的質(zhì)量 |
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表示高壓油泵在進(jìn)口處提供的壓力對(duì)應(yīng)的密度值 |
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表示高壓油管中每一時(shí)刻的壓力值對(duì)應(yīng)的密度值 |
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表示高壓油管中初始的密度值 |
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表示一個(gè)進(jìn)油周期內(nèi)流入高壓油管內(nèi)油的體積 |
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表示一個(gè)出油周期內(nèi)流出高壓油管外油的體積 |
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表示噴油嘴的噴油速率 |
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表示所研究的時(shí)間段內(nèi)任意一個(gè)時(shí)刻點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間 |
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表示高壓油管的內(nèi)腔長(zhǎng)度，值為500mm |
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表示高壓油管的內(nèi)直徑，值為10mm |
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表示高壓油泵中每一時(shí)刻對(duì)應(yīng)的密度 |
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表示高壓油管進(jìn)油口的小孔直徑，值為1.4mm |
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表示初始狀態(tài)時(shí)凸輪轉(zhuǎn)軸到最遠(yuǎn)邊緣點(diǎn)的極徑 |
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表示高壓油泵的橫截面積 |
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表示進(jìn)油口的流量在每一時(shí)刻的值 |
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表示出油口的流量在每一時(shí)刻的值 |
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表示單向減壓閥開(kāi)啟的壓力臨界值 |
4模型準(zhǔn)備
4.1壓力和密度關(guān)系式的確定
由注1可知燃油壓力的變化量與密度的變化量成正比，即：
（1）
且比例系數(shù)k：
（2）
附件3給出401組彈性模量與壓力的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，我們需要根據(jù)這些數(shù)據(jù)得出二者的函數(shù)關(guān)系.通過(guò)初步分析確定待定函數(shù)是線性，為建立這樣一個(gè)模型，通常采用線性擬合的方法，通過(guò)比較擬合優(yōu)度與1的接近程度來(lái)確定所得函數(shù)關(guān)系式是否可以代表數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。我們?cè)贛ATLAB中用polyfit進(jìn)行擬合：
圖1 彈性模量與壓力關(guān)系式擬合圖
得到擬合優(yōu)度為0.9991的回歸方程，表示彈性模量與壓力的關(guān)系式為：
（3）
通過(guò)上述關(guān)系式得到壓力變化量與密度變化量的關(guān)系為：
（4）
將附件3中壓力的數(shù)據(jù)代入（4）式計(jì)算出對(duì)應(yīng)的密度的值（附件1），再次在MATLAB中用polyfit進(jìn)行擬合：
圖2 壓力與密度關(guān)系式擬合圖
得到擬合優(yōu)度為1的回歸方程，表示壓力與密度的關(guān)系式為：
（5）
4.2極徑與極角關(guān)系式的確定
由附件1中給定的凸輪邊緣曲線中極徑和極角的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，繪制極徑與極角的變化關(guān)系圖，得到擬合曲線如圖3所示：
圖3 極徑與極角關(guān)系擬合曲線圖
得到極徑與極角之間的關(guān)系式為：
（6）
5模型的建立與求解
5.1問(wèn)題一模型的建立與求解
5.1.1模型的建立
模型一：高壓油管內(nèi)燃油質(zhì)量變化模型
問(wèn)題一要求設(shè)置單向閥的單次開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)以控制高壓油管內(nèi)因進(jìn)油和出油過(guò)程中高壓油管內(nèi)的壓強(qiáng)盡可能穩(wěn)定，即每一時(shí)刻的壓強(qiáng)與初始?jí)簭?qiáng)的偏差值的總和最小，我們以離散點(diǎn)的方式求壓強(qiáng)偏差值的總和，并以此為目標(biāo)函數(shù)建立如下目標(biāo)優(yōu)化模型：
（7）
為保證研究時(shí)間段內(nèi)包括進(jìn)油和出油的所有對(duì)應(yīng)情況，我們選取總時(shí)間T為一個(gè)進(jìn)油周期與一個(gè)出油周期的乘積。
（8）
對(duì)于進(jìn)油過(guò)程：
①設(shè)一個(gè)進(jìn)油周期的總時(shí)長(zhǎng)為
（9）
②設(shè)一個(gè)進(jìn)油周期內(nèi)進(jìn)入高壓油管的油的體積為
（10）
③得到一個(gè)進(jìn)油周期內(nèi)進(jìn)入高壓油管的油的質(zhì)量為
（11）
對(duì)于出油過(guò)程：
①設(shè)一個(gè)出油周期的總時(shí)長(zhǎng)為
（12）
由題目中給出的噴油速率與時(shí)間的關(guān)系圖
圖4 噴油速率與時(shí)間關(guān)系圖
得出噴油速度為
（13）
所以
（14）
③得到一個(gè)出油周期內(nèi)流出高壓油管的油的質(zhì)量為
（15）
模型二：高壓油管內(nèi)壓力波動(dòng)模型
對(duì)于總體來(lái)說(shuō)
（16）
為保證高壓油管工作過(guò)程中，管內(nèi)壓力維持在穩(wěn)定狀態(tài)，即保證每一時(shí)刻進(jìn)出油的質(zhì)量相同,由于高壓油管的體積不變，由質(zhì)量守恒定律可得：
（17）
由此得到
（18）
綜上所述，問(wèn)題一的模型為：
5.1.2模型的求解
對(duì)于設(shè)置單向閥開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)將高壓油管內(nèi)的壓力穩(wěn)定在100MPa的要求，我們的求解步驟如下：
①首先設(shè)置初始時(shí)刻為0，此時(shí)單向閥與噴油嘴同時(shí)開(kāi)始工作，且認(rèn)為二者的工作方式均為先打開(kāi)，再關(guān)閉，如此周期性循環(huán)進(jìn)行。
②接下來(lái)開(kāi)始進(jìn)行尋優(yōu)解的過(guò)程，設(shè)置單向閥的開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)范圍為0.1~10ms，設(shè)置步長(zhǎng)0.05ms計(jì)算高壓油管在每一時(shí)刻點(diǎn)對(duì)應(yīng)的壓力如圖1所示：
圖5 時(shí)間-壓力變化圖(0.1~10ms)
由圖可以得到，當(dāng)高壓油管內(nèi)壓力為100MPa時(shí)，單向閥的開(kāi)啟時(shí)間在0.25ms左右，據(jù)此進(jìn)一步確定單向閥的開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)；
③設(shè)置單向閥的開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)為0.25ms~0.29ms，縮小步長(zhǎng)至0.01ms，同樣計(jì)算每一時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的高壓油管的壓力值，得到如圖5所示的結(jié)果：
圖6 時(shí)間-壓力變化圖(0.25ms~0.29ms)
④再次設(shè)置單向閥的開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)為0.285ms~0.290ms，縮小步長(zhǎng)至0.001ms，得到如圖6所示的結(jié)果：
圖7 時(shí)間-壓力變化圖(0.285ms~0.290ms)
從圖中標(biāo)記的坐標(biāo)點(diǎn)可以看出單向閥開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)的最優(yōu)解在0.287ms~0.288ms的范圍內(nèi)，我們?cè)俅芜M(jìn)行了范圍的精確化，得到圖7所示的結(jié)果：
圖8 時(shí)間-壓力關(guān)系圖
當(dāng)單向閥的開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)設(shè)定為0.2875ms的時(shí)候，高壓油管內(nèi)的壓力值為99.9919MPa，非常接近題目要求的100MPa。
⑤當(dāng)設(shè)置單向閥的開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)為0.2875ms時(shí)，我們得到高壓油管內(nèi)的壓力變化程度如圖8所示：
圖9 壓力變化程度
從圖中可以看出此時(shí)高壓油管內(nèi)的壓力基本上維持在100MPa左右，且波動(dòng)幅度不大，所以我們?nèi)〗鉃椋?
對(duì)于設(shè)置單向閥開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)使高壓油管的壓力分別經(jīng)過(guò)2s、5s、10s的調(diào)整后穩(wěn)定在150MPa的要求，我們的求解步驟如下：
①通過(guò)最小二乘法進(jìn)行擬合，如圖9所示，得出高壓油管內(nèi)的壓力達(dá)到150MPa需要的進(jìn)油時(shí)間，即單向閥開(kāi)啟的時(shí)長(zhǎng)為0.7369ms；
圖10 高壓油管壓力達(dá)到150MPa對(duì)應(yīng)的進(jìn)油時(shí)間
②由題目要求，工作總時(shí)間分別為2s、5s、10s，借助MATLAB軟件對(duì)壓力和時(shí)間的關(guān)系進(jìn)行擬合作圖：
圖11 調(diào)整時(shí)間為2s時(shí)高壓油管內(nèi)壓力隨時(shí)間變化規(guī)律
當(dāng)調(diào)整時(shí)間為2s=2000ms時(shí)，單向閥的開(kāi)啟時(shí)間為：
Time=-0.0001*gap+0.9369; gap<2000;
Time=0.7369;gap>=2000;
圖12 調(diào)整時(shí)間為5s時(shí)高壓油管內(nèi)壓力隨時(shí)間變化規(guī)律
當(dāng)調(diào)整時(shí)間為5s=5000ms時(shí)，單向閥的開(kāi)啟時(shí)間為：
Time=0.0001*gap+0.2369; gap<5000;
Time=0.7369;gap>=5000;
圖13 調(diào)整時(shí)間為10s時(shí)高壓油管內(nèi)壓力隨時(shí)間變化規(guī)律
當(dāng)調(diào)整時(shí)間為10s=10000ms時(shí)，單向閥的開(kāi)啟時(shí)間為：
Time=0.00004*gap+0.3369;gap<10000
Time=0.7369;gap>=10000
綜上所述：
①要使高壓油管內(nèi)的壓力穩(wěn)定在100MPa，應(yīng)該設(shè)置單向閥的單次開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)為0.2875ms；
②要使高壓油管的壓力經(jīng)過(guò)2s、5s、10s的調(diào)整后穩(wěn)定在150MPa，應(yīng)該設(shè)置單向閥的單次開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)為0.7369ms
5.2問(wèn)題二模型的建立與求解
5.2.1模型的建立
問(wèn)題二給定高壓油管進(jìn)油口高壓油泵的工作原理和出油口噴油嘴的工作原理，沿用問(wèn)題一中的目標(biāo)函數(shù)：
（19）
對(duì)于約束條件，首先分析不同工作原理下進(jìn)油和出油的方式：
①對(duì)于進(jìn)油口的高壓油泵：
圖14 凸輪工作原理分析圖
如圖13所示，以凸輪轉(zhuǎn)軸為原點(diǎn)建立二維坐標(biāo)系，設(shè)定凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)方向是逆時(shí)針?lè)较颍詧D中實(shí)線凸輪的位置作為凸輪的初始位置，此時(shí)凸輪邊緣線最高點(diǎn)為A(x,y)，當(dāng)凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度到達(dá)虛線凸輪位置時(shí)，會(huì)拉動(dòng)高壓油泵中的柱塞上下運(yùn)動(dòng)，從而改變高壓油泵的內(nèi)部壓力。轉(zhuǎn)動(dòng)后凸輪邊緣線最高點(diǎn)為。
（20）
當(dāng)凸輪以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)t時(shí)間，凸輪的邊緣線最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為
（21）
所以凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)拉動(dòng)柱塞上下運(yùn)動(dòng)引起的高壓油泵內(nèi)體積變?yōu)?/p>
（22）
假定高壓油泵中燃油的總質(zhì)量是不變的，即有燃油流入高壓油管的同時(shí)，會(huì)有燃油補(bǔ)充進(jìn)高壓油泵的柱塞腔。由題目信息得知當(dāng)柱塞位于下止點(diǎn)時(shí)高壓油泵內(nèi)的壓力值，根據(jù)壓力與密度的關(guān)系式可以得到此時(shí)對(duì)應(yīng)的密度值，所以高壓油泵中燃油的質(zhì)量為
（23）
由密度公式，可根據(jù)每一個(gè)離散時(shí)刻點(diǎn)對(duì)應(yīng)的油泵體積計(jì)算每一個(gè)離散時(shí)刻點(diǎn)油泵內(nèi)的密度：
（24）
根據(jù)密度與壓力的關(guān)系式，可得到每一個(gè)離散時(shí)刻點(diǎn)高壓油泵內(nèi)的壓力為：
（25）
②對(duì)于進(jìn)油口的進(jìn)油過(guò)程：
由于高壓油泵的進(jìn)油原理是柱塞向上運(yùn)動(dòng)增大高壓油泵內(nèi)的壓力，當(dāng)高壓油泵里的壓力大于高壓油管中的壓力時(shí)，連接二者的單向閥才會(huì)開(kāi)啟，進(jìn)油口才會(huì)有油流入，根據(jù)注2中流量模型，本問(wèn)中高壓油管進(jìn)油口的流量為：
（26）
注：其中C=0.85為流量系數(shù)，為小孔兩側(cè)的壓力差(MPa)，為高壓側(cè)燃油的密度()
根據(jù)以上模型推導(dǎo)得到進(jìn)油質(zhì)量模型為
（27）
③對(duì)于出油口的噴油嘴：
圖15 噴油嘴工作原理分析圖
由題意得，針閥直徑為，噴孔直徑為；
設(shè)針閥關(guān)閉時(shí)距離噴孔密封座頂角的距離為h，針閥的升程為h(t)，則可得到針閥上升后針閥底部同一平面內(nèi)與密封座邊緣形成的圓環(huán)的面積為：
（28）
考慮到燃油順利流出，避免堵在噴油嘴的密封座中，對(duì)于噴孔噴出燃油的橫截面積，應(yīng)該取圓環(huán)面積和噴口面積中較小的一個(gè)：
（29）
④對(duì)于出油口的噴油過(guò)程：
結(jié)合注2中給出的燃油流量模型，得出燃油流出高壓油管時(shí)的流量為：
（30）
由此得到高壓油管中流出的燃油的質(zhì)量模型為：
（31）
對(duì)于總體來(lái)說(shuō)，根據(jù)質(zhì)量守恒定律可得
（32）
綜上所述，問(wèn)題二的模型為
5.2.2模型的求解
問(wèn)題二的模型基本上與第一問(wèn)相同，只是改變了進(jìn)油量和出油量的計(jì)算方法，所以求解也類似與問(wèn)題一的求解過(guò)程：
①首先設(shè)置凸輪角速度的范圍，通過(guò)多次調(diào)整參數(shù)，循環(huán)逼近求解，最終將角速度范圍確定在，設(shè)置求解步長(zhǎng)為0.0001，可以近似將最優(yōu)解確定在0.02725，得到壓力與角速度之間的關(guān)系曲線圖如下：
圖16 高壓油管內(nèi)壓力與凸輪角速度關(guān)系圖
在角速度取最優(yōu)解的值時(shí)，對(duì)應(yīng)壓力隨時(shí)間變化的圖像如下：
圖17 壓力與時(shí)間關(guān)系圖
由圖像可以看出，在凸輪角速度設(shè)置為0.02725時(shí)，隨著工作時(shí)間的變化，高壓油管內(nèi)的壓力穩(wěn)定在100MPa附近，符合題設(shè)要求。
5.3問(wèn)題三模型的建立與求解
5.3.1模型的建立
①第一問(wèn)
首先分析問(wèn)題三的第一問(wèn)是在問(wèn)題二的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)噴油嘴，同樣考慮進(jìn)油量和出油量。
以最終壓強(qiáng)偏差值的總和，為目標(biāo)函數(shù)建立如下目標(biāo)優(yōu)化模型：
（33）
對(duì)于進(jìn)油口的進(jìn)油過(guò)程：
沿用問(wèn)題二中的進(jìn)油量模型
（34）
對(duì)于出油口的噴油過(guò)程：
增加一個(gè)噴油嘴之后，其工作規(guī)律與第一個(gè)噴油嘴是相同的，在高壓油泵的工作規(guī)律不發(fā)生改變的情況下，我們需要考慮兩個(gè)噴油嘴開(kāi)啟時(shí)間之間的時(shí)間差，在此種情況下得到高壓油泵的轉(zhuǎn)輪的角速度。
對(duì)于噴油嘴1和噴油嘴2的流量，我們考慮從發(fā)動(dòng)機(jī)工作起始時(shí)間點(diǎn)開(kāi)始，噴油嘴之間開(kāi)啟時(shí)間差設(shè)置為，則兩個(gè)噴油嘴噴油時(shí)的流量為：
（35）
（36）
兩個(gè)噴油嘴噴噴出的油的質(zhì)量為
（37）
（38）
由質(zhì)量守恒定律得到
（39）
②第二問(wèn)
為高壓油管添加減壓閥之后，設(shè)計(jì)高壓油泵和減壓閥的控制方案，即解決高壓油泵中凸輪的角速度與減壓閥開(kāi)啟時(shí)間的對(duì)應(yīng)方案。
以第一問(wèn)中求解得出的作為第二問(wèn)中兩個(gè)噴油嘴的開(kāi)啟時(shí)間差，由質(zhì)量守恒定律得到此時(shí)
（40）
設(shè)置當(dāng)高壓油管內(nèi)的壓力大于一個(gè)值的時(shí)候，單向減壓閥開(kāi)啟，由注2中的流量模型修改得到通過(guò)減壓閥的燃油的流量為
（41）
則通過(guò)減壓閥流出的燃油的質(zhì)量為
（42）
綜上所述：
本題第一問(wèn)需要根據(jù)模型求解凸輪角速度以及兩個(gè)噴油嘴的開(kāi)啟時(shí)間差。
本題第二問(wèn)需要在第一問(wèn)中噴油嘴開(kāi)啟時(shí)間差確定后，根據(jù)模型求解此時(shí)凸輪角速度以及減壓閥開(kāi)啟的壓力臨界值。
5.3.2模型的求解
①第一問(wèn)
針對(duì)噴油和供油策略，分別調(diào)整兩個(gè)噴油嘴開(kāi)啟時(shí)間之間的間隔和凸輪的運(yùn)動(dòng)角速度，由于參數(shù)之間相互影響，所以我們將不同參數(shù)調(diào)整共同進(jìn)行。
利用多重搜索的方式搜索兩個(gè)噴油嘴的開(kāi)啟時(shí)間間隔，在每一間隔數(shù)值下調(diào)整凸輪運(yùn)動(dòng)角速度，使得高壓油管內(nèi)的壓力穩(wěn)定在100MPa。當(dāng)噴油嘴開(kāi)始噴射時(shí)間間隔在0-50ms變化時(shí)，壓力在時(shí)間間隔12.5ms、37.5ms、50ms時(shí)變化如圖18-20所示。
|
圖18 時(shí)間間隔為12.5ms時(shí)壓力 |
|
圖19 時(shí)間間隔為37.5ms時(shí)壓力 |
|
圖20 時(shí)間間隔為50ms時(shí)壓力 |
分析上圖可以得到，在0-50ms時(shí)間間隔內(nèi)，管內(nèi)壓力波動(dòng)幅度減小；
當(dāng)時(shí)間間隔在0-100ms之間變化時(shí)，壓力差的變化曲線如下圖：
圖21 壓力變化曲線
由圖可以看出，延遲時(shí)間在50ms附近時(shí)，壓力差最小，在此點(diǎn)附近進(jìn)行精確搜索，得到最優(yōu)時(shí)間間隔差為。
②第二問(wèn)
引入單向減壓閥后，調(diào)整噴油策略和供油策略，當(dāng)高壓油管內(nèi)壓力大于臨界值時(shí)，單向閥開(kāi)啟，搜尋臨界值壓力與凸輪旋轉(zhuǎn)角速度。
當(dāng)波動(dòng)誤差為:0.101MPa，噴油角速度為0.126rad/ms，噴油周期為50.000ms時(shí)，閥流速和壓力差之間的關(guān)系如圖：
圖22 閥流速與壓力差變化關(guān)系圖
此時(shí)壓力與時(shí)間的關(guān)系如下圖：
圖23 壓力與時(shí)間關(guān)系圖
最終解得：
6模型總結(jié)
模型的建立有以下優(yōu)點(diǎn)：
①整篇文章的模型以第一問(wèn)的模型為基礎(chǔ)層層遞進(jìn)，模型推廣性良好；
②采用多重搜索算法，提高求解速度，且算法得可重復(fù)利用性強(qiáng)。
同時(shí)模型的建立也具有一些缺點(diǎn)：
①模型的建立過(guò)程中將壓力的不均勻變化簡(jiǎn)化成了均勻變化，在實(shí)際情況中模型的結(jié)果會(huì)有一定的偏差；
②高壓油泵中得具體運(yùn)動(dòng)沒(méi)有仔細(xì)考慮，過(guò)于理想化。
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附錄：本次程序文件單獨(dú)打包
結(jié)語(yǔ)：這次練習(xí)代碼難度有些大，有許多借鑒優(yōu)秀論文中的代碼，不是我說(shuō)，代碼真滴難寫(xiě)，無(wú)數(shù)種迭代，代碼調(diào)試就調(diào)試了2天，最后好像還錯(cuò)了，hhh，不過(guò)幸虧稍微調(diào)整了下參數(shù)變量，讓圖看起來(lái)沒(méi)有什么太大的問(wèn)題。不過(guò)最終結(jié)果是好的，在最后一天成功提交了。去實(shí)驗(yàn)室感覺(jué)自己人都吃胖了，各種零食，糖，牛肉干，這就是實(shí)驗(yàn)室版食堂嘛。對(duì)了，要是那天血糖突然高了，肯定是黃sir天天拿一堆糖的原因。這里也可憐一下紀(jì)某人的腿hhhh
代碼：Modeling/高壓管/代碼 at master · instead-everyone/Modeling (github.com)
總結(jié)
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