https://zh.wikipedia.org/zh-hans/李亞普諾夫函數

李雅普諾夫函數（Lyapunov function）是用來證明一動力系統或自治微分方程穩定性的函數。其名稱來自俄羅斯數學家亞歷山大·李亞普諾夫（Александр Михайлович Ляпунов）。李亞普諾夫函數在穩定性理論及控制理論中相當重要。

若一函數可能可以證明系統在某平衡點的穩定性，此函數稱為李亞普諾夫候選函數（Lyapunov-candidate-function）。不過目前還找不到一般性的方式可建構（或找到）一個系統的李亞普諾夫候選函數，而找不到李亞普諾夫函數也不代表此系統不穩定。在動態系統中，有時會利用守恒律來建構李亞普諾夫候選函數。

針對自治系統的李亞普諾夫定理，直接使用李亞普諾夫候選函數的特性。在尋找一個系統平衡點附近的穩定性時，此定理是很有效的工具。不過此定理只是一個證明平衡點穩定性的充分條件，不是必要條件。而尋找李亞普諾夫函數也需要碰運氣，通常會用試誤法（trial and error）來尋找李亞普諾夫函數。

Lyapunov Function -- from Wolfram MathWorld http://mathworld.wolfram.com/LyapunovFunction.html

穩定性問題的實質是考察系統由初始狀態擾動引起的受擾運動能否趨近或返回到原平衡狀態。

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李雅普諾夫意義下的穩定性
指對系統平衡狀態為穩定或不穩定所規定的標準。主要涉及穩定、漸近穩定、大范圍漸近穩定和不穩定。
　　①穩定　用S(ε)表示狀態空間中以原點為球心以ε為半徑的一個球域，S(δ)表示另一個半徑為δ的球域。如果對于任意選定的每一個域S(ε),必然存在相應的一個域S(δ)，其中δ0,都存在實數δ(ε，t0)，滿足不等式ε>δ(ε，t0)>0，它使從滿足不等式的任一初態x0出發的運動對于t≥t0滿足不等式
　　則稱狀態空間的原點xe=0是李雅普諾夫意義下穩定的。其中，δ的大小不僅與給定的ε值有關，而且也與初始時刻t0有關。當定義中δ值的選取和初始時刻t0無關時，稱xe=0是一致穩定的。對定常系統,穩定等同于一致穩定。
　　②漸近穩定　如果原點平衡狀態是李雅普諾夫意義下穩定的,而且在時間t趨于無窮大時受擾運動φ(t；x0，t0)收斂到平衡狀態xe=0,則稱系統平衡狀態是漸近穩定的。從實用觀點看，漸近穩定比穩定重要。在應用中，確定漸近穩定性的最大范圍是十分必要的，它能決定受擾運動為漸近穩定前提下初始擾動x0的最大允許范圍。
　　③大范圍漸近穩定　又稱全局漸近穩定，是指當狀態空間中的一切非零點取為初始擾動x0時，受擾運動φ(t；x0，t0)都為漸近穩定的一種情況。在控制工程中總是希望系統具有大范圍漸近穩定的特性。系統為全局漸近穩定的必要條件是它在狀態空間中只有一個平衡狀態。
　　④不穩定　如果存在一個選定的球域S(ε)，不管把域S(δ)的半徑取得多么小，在S(δ)內總存在至少一個點x0，使由這一狀態出發的受擾運動軌線脫離域S(ε),則稱系統原點平衡狀態xe=0是不穩定的。
　　當狀態空間為二維平面時，系統平衡狀態xe的穩定、漸近穩定、不穩定的含義，可用圖表示。　李雅普諾夫函數 　李雅普諾夫第二方法是在推廣振動系統穩定性基礎上建立的。根據力學原理，如果一個振動系統的總能量隨時間連續減小，直到平衡狀態為止，那么振動系統就是穩定的。李雅普諾夫把這一原理推廣到可用狀態方程描述的一般系統，并且引入一個虛構的能量函數，稱為李雅普諾夫函數。李雅普諾夫函數具有能量函數的基本特征，也是和系統運動有關的一個標量函數，但其含義比能量更為一般，常用V(x，t)來表示。當李雅普諾夫函數僅與狀態有關而與時間t無直接關系時，可用V(x)表示。在李雅普諾夫第二方法中，通過對V(x，t)及其導數的符號特征的分析,可判斷平衡狀態為穩定、漸近穩定或不穩定。這樣做比通過求狀態方程的解來判斷容易得多。對于簡單非線性系統，李雅普諾夫函數常可取為x的一個二次型函數V(x)=xTQx，其中xT為x的轉置，Q為正定對稱矩陣。不過，對于復雜的系統，尋找李雅普諾夫函數可能十分困難。

總結

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