模糊數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1. 前言

1965年 美國著名控制論專家發(fā)表了Fuzzy Sets 從而開創(chuàng)了模糊數(shù)學(xué)的基本概念 用“隸屬度”和“隸屬函數(shù)”來描述差異的中間過渡，處理和刻畫模糊現(xiàn)象.

處理現(xiàn)實現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型可以分為三大類：

1. 確定性數(shù)學(xué)模型
2. 隨機性數(shù)學(xué)模型
3. 模糊性數(shù)學(xué)模型

前兩類模型的共同特點是所描述的食物本身的含義是確定的，它們賴以存在的基石-集合論，它滿足互補率，就是非此即彼的清晰概念的抽象.而模糊數(shù)學(xué)模型所描述的事物本身的含義是不確定的.

2. 區(qū)分隨機性和模糊性

隨機性：是針對事件的某種結(jié)果的機會而言，由于條件不充分而導(dǎo)致各種可能的結(jié)果。這是因果律的破缺而造成的不確定性。

模糊性：是指存在于現(xiàn)實中的不分明現(xiàn)象。如“穩(wěn)定”與“不穩(wěn)定”等，從差異的一方到另一方，中間經(jīng)歷了一個從量變到質(zhì)變的連續(xù)過渡過程。這是因排中律(在同一個思維過程中，兩種思想不能同假，其中必有一真，即“要么A要么非A”，是形式邏輯的基本規(guī)律之一。)的破缺而造成的不確定性。

3. 模糊數(shù)學(xué)的基本概念

1. 模糊集和隸屬函數(shù)

定義1：

被討論的對象的全體稱為論域.論域常用大寫字母 U,V 等來表示.

對于論域U的每個元素和某一子集A，在經(jīng)典數(shù)學(xué)中，那么 x ∈ A x\in{A} x∈A ，要么 x ? A x\notin{A} x∈/?A.

描述這一事實的是特征函數(shù) χ A ( x ) = { 1 , x ∈ A 0 , x ? A \chi_A(x)=\begin{cases} 1, x\in{A} \\0, x\notin{A} \end{cases} χA?(x)={
1,x∈A0,x∈/?A? 即集合A由特征函數(shù)唯一確定.

在模糊數(shù)學(xué)中，稱沒有明確邊界(沒有清晰外延)的集合稱為模糊集合.常用大寫字母來表示.元素屬于模糊集合的程度用隸屬度來表示.用于計算隸屬度的函數(shù)稱為隸屬函數(shù).它們的數(shù)學(xué)定義如下.

定義2 論域U到[0,1] (隸屬度的取值范圍) 閉區(qū)間上的任意映射

? M: U->[0,1],

? u->M(u),

都確定了U上的一個模糊集合,M(u)叫做M的隸屬函數(shù),或稱為u對M的隸屬度.記作 M={
( u , M ( u ) ∣ u ∈ U {(u,M(u)|u\in{U}} (u,M(u)∣u∈U}

使得M(u)=0.5的稱為模糊集M的過渡點,此點最具有模糊性.

我們一般稱模糊集為F集(來源于英文單詞Fuzzy),論域U上的F集記作 F ( U ) F(U) F(U).

2. 模糊集的表示

? 當(dāng)論域U為有限集時，記U={u1,u2,···,un},則U上的模糊集M有下列三種常見表現(xiàn)形式.

1. 序偶表示法

   ? M = ( u 1 , M ( u 1 ) ) , ( u 2 , M ( u 2 ) ) , ? ? ? , ( u n , M ( u n ) ) . M={(u1,M(u1)),(u2,M(u2)),···,(un,M(un))}. M=(u1,M(u1)),(u2,M(u2)),???,(un,M(un)).

2. 向量表示法

   ? M = ( M ( u 1 ) , M ( u 2 ) , ? ? ? M ( u n ) ) . M=(M(u1),M(u2),···M(un)). M=(M(u1),M(u2),???M(un)).

3. 扎德表示法

   ? M = ∑ i = 1 n M ( u i ) u i = M ( u 1 ) u 1 + M ( u 2 ) u 2 + M ( u 3 ) u 3 + M ( u n ) u n M=\sum_{i=1}^{n}\frac{M(u_i)}{u_i}=\frac{M(u_1)}{u_1}+\frac{M(u_2)}{u_2}+\frac{M(u_3)}{u_3}+\frac{M(u_n)}{u_n} M=i=1∑n?ui?M(ui?)?=u1?M(u1?)?+u2?M(u2?)?+u3?M(u3?)?+un?M(un?)?

   注：” ∑ \sum ∑“和”+”不是求和的意思，只是表示集合元素的記號. M ( u i ) u i \frac{M(u_i)}{u_i} ui?M(ui?)?不是分?jǐn)?shù)，它表示點 u i u_i ui?對模糊集M的隸屬度是 M ( u i ) M(u_i) M(ui?).

   當(dāng)論域U為無限集時，U上的模糊集M可表示為: M = ∫ u ∈ M M ( u ) u M=\int_{u\in{M}}{\frac{M(u)}{u}} M=∫u∈M?uM(u)?

   注：” ∫ \int ∫“也不是代表積分的意思

3. 確定隸屬函數(shù)的方法

隸屬函數(shù)通常采用模糊統(tǒng)計方法、例證法和指派法確定.下面重點給出指派法確定隸屬函數(shù).

指派法是一種主觀的方法，它主要依據(jù)人們的實踐經(jīng)驗來確定某些模糊集合的隸屬函數(shù).如果模糊集定義在實數(shù)域上，則隸屬函數(shù)稱為模糊分布.常見的幾個模糊分布如下表所示.

來幾個栗子：

4. 與傳統(tǒng)集合論的區(qū)分

對于某F集A，若A(u)僅取0和1兩個數(shù)時，A就退化為普通集合.所以,普通集合是模糊集的特殊情形.

若A(u)=0,則A為空集 ? \emptyset ?;若A(u)=1,則A為全集U,即A=U.一般A(u)會是等于一個隸屬函數(shù).

4.模糊數(shù)學(xué)的基本運算

1.模糊集的運算

設(shè)A,B為論域U上的兩個模糊集合，則A與B的并集 A ∪ B A\cup{B} A∪B、交集 A ∩ B A\cap{B} A∩B、補集 A ￣ \overline{A} A也是論域上的模糊集合，其定義如下：

并集: A ∪ B = { ( u , A ∪ B ( u ) ) ∣ A ∪ B ( u ) = m a x { A ( u ) , B ( u ) } , u ∈ U } A\cup{B}=\{(u,A\cup{B(u)})|A\cup{B(u)}=max\{A(u),B(u)\},u\in{U}\} A∪B={
(u,A∪B(u))∣A∪B(u)=max{
A(u),B(u)},u∈U}

交集: A ∩ B = { ( u , A ∩ B ( u ) ) ∣ A ∩ B ( u ) = m i n { A ( u ) , B ( u ) } , u ∈ U } A\cap{B}=\{(u,A\cap{B(u)})|A\cap{B(u)}=min\{A(u),B(u)\},u\in{U}\} A∩B={
(u,A∩B(u))∣A∩B(u)=min{
A(u),B(u)},u∈U}

補集: A ￣ = ( u , A ￣ u ) ∣ A ￣ ( u ) = 1 ? A ( u ) , u ∈ U \overline{A}={(u,\overline{A}{u})|\overline{A}(u)=1-A(u),u\in{U}} A=(u,Au)∣A(u)=1?A(u),u∈U

來個栗子

2.模糊關(guān)系與運算

1. 關(guān)系與模糊關(guān)系

關(guān)系是對兩個普通集合的直積釋加某種條件限制后得到的序偶集合，常用R表示.

栗（這里我直接引用一個教材上的栗子）：

可以看到，用矩陣表示關(guān)系會顯得很清晰明了 前面的直積比較類似于矩陣乘法 np.dot(A,B) A(3,1) B(1,3)

模糊關(guān)系指對普通集合的直積釋加某種模糊條件限制后得到的模糊關(guān)系，也記作R.

模糊關(guān)系可用扎德表示法、隸屬函數(shù)或矩陣形式來表示.

來個模糊關(guān)系的栗子：

2. 模糊關(guān)系矩陣的運算

設(shè) R = ( r i j ) m × n , S = ( s i j ) m × n R=(r_{ij})_{m\times{n}},S=(s_{ij})_{m\times{n}} R=(rij?)m×n?,S=(sij?)m×n?為同一論域U上的兩個模糊關(guān)系矩陣，i=1,2,···,m

j=1,2,···,n,則其并、交、補運算分別定義為(因markdown實在不好打出 故采用手寫)

來個模糊關(guān)系矩陣合成的例子：

可以看到，其運算過程和矩陣乘法基本相同 也需要滿足左邊矩陣的列維度等于右邊矩陣的行維度

不同的只是最后并不是相乘積 而是用交并的形式(max和min)

3. python程序求解法

我們還可以編寫python程序來求解

import numpy as np
a=np.array([0.3,0.35,0.1]); aa=np.tile(a,(len(a),1)) # 或者說平鋪 第一個參數(shù)為axis=0復(fù)制幾倍 第二個參數(shù)為axis=1軸復(fù)制幾倍 使得維度與b匹配
b=np.array([[0.3,0.5,0.2],[0.2,0.2,0.4],[0.3,0.4,0.2]])
#模擬模糊關(guān)系矩陣合成運算
c=np.minimun(aa.T,b) #兩個矩陣的元素對應(yīng)求最小值 
T=c.max(axis=0) #矩陣逐列求最大值成行向量
print("T=",T)

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總結(jié)

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