讀書筆記

學習書目：《蝴蝶效應之謎：走近分形與混沌》-張天蓉;

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• • • 分形龍
    • 科赫曲線

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分形龍

我們做一個小實驗，把一個紙帶收尾對折，對折，再對折…重復十幾次。然后在松開紙帶，得到的是彎彎曲曲的折線。我們把“紙帶對折一次”的動作用數學的語言來表述，便對應于幾何圖形的一次“迭代”。如剛才所描述的紙帶“對折”，就是將一條線段“折”了一下。

下圖顯示了前兩圖從“初始圖形”到“第一次迭代”的過程：

上圖就是分形龍曲線的生成過程 然后，將這種“迭代”操作循環往復地做下去，最終所得到的圖形叫做中國龍，或稱分形龍。

需要注意的是！ 我們這里的紙帶和一般的紙帶不太一樣，這里紙帶的長度不是不變的。從上圖可以看到，我們只是保持初始圖形中線段的兩個端點（A和B）的位置固定不變。因此，所有線段加起來的總長度（對應于紙帶長度）應是不斷增加的。

觀察分形龍形成過程，可以得到3個結論：

（1）簡單的迭代，進行多次之后，產生了越來越復雜的圖形；

（2）越來越復雜的圖形表現出一種自相似性；

（3）迭代次數較少時，圖形看起來是一條折來折去的“線”，隨著迭代次數的增加（迭代次數→無窮）最后的圖形看起來像是一個“面”。

之前折疊紙帶而構成的分形龍曲線，也具有這種自相似性,由下圖可以觀察到，分形龍可以看成是由4個更小的、但形狀完全一樣的“小分形龍”組成的：

具有此類性質的圖形，就叫做“分形”。

需要注意的是！我們用迭代的方法生成分形，但是，生成過程中的那些圖都不是分形，只是最后那個無窮迭代下去的最后極限的圖形才叫做分形！

我們從日常生活中已經建立了“點、線、面、體”的概念，幾何學給它們抽象了一下，分別叫它們做“零維、一維、二維、三維”的幾何圖形。那么分形龍圖形到底是一維的“線”還是二維的“面”呢？這里談到的"維數"是一個嚴格的數學問題，我們需要仔細研究，當迭代次數趨近于無窮時，分形龍的維數到底是多少

這個問題我們留到以后再討論，我們先學習一下科赫曲線

科赫曲線

分形（fractal）是一種不同于歐氏幾何學中元素的幾何圖形。簡單的分形圖形，剛才所說的分形龍，很容易從迭代法產生。除了分形龍之外，還有許多看起來更簡單的分形曲線，科赫曲線就是一例：

如上圖所示，科赫曲線可以用如下方法產生：在一段直線中間，以邊長為三分之一的等邊三角形的兩邊，去代替原來直線中間的三分之一，得到（a）.對（a）的每條線段重復上述做法又得到（b），對（b）的每段又重復，如此無窮地繼續下去得到的極限曲線就是科赫曲線。科赫曲線顯然不同于歐氏幾何學中的平滑曲線，它是一種處處是尖點，處處無切線，長度無窮的幾何圖形。科赫曲線具有無窮長度。這點很容易證明：因為在產生科赫曲線的過程中，每一次迭代變換都使得曲線的總長度變成原來長度的三分之四倍，也就是說乘以一個大于1的因子，這樣一來，當迭代變換次數趨向于無窮時，曲線的長度也就趨向于無窮。

科赫雪花則是以等邊三角形三邊生成的科赫曲線組成的：

每條科赫曲線都是連續而無處可微的曲線，每條曲線的長度都無限大，所以，由三條科赫曲線構成的科赫雪花的整個周長也應該無限大。然而，從圖中很容易看出，科赫雪花的面積卻應該是有限的。

利用初等數學很容易求得上圖中作無限次迭代之后的科赫雪花圖形的面積:

設$A_0$為初始三角形的面積，$A_n$為n次迭代之后圖形的面積，讀者不難得出下面的迭代公式：
$$A_{n+1}=A_n+\frac{3?4^{n?1}}{9^n}{A}_{0}n\ge 1\text{\hspace{1em}(1)}$$
從科赫雪花圖（b）也很容易算出迭代一次之后的圖形面積$A_1$：
$$A_1=\frac{4}{3}{A}_0$$
經過簡單的代數運算(這里我按照公式(1)推導的極限比書上的結果多了1/3A₀)：
$$\begin{gathered} A_n=A_0+\sum _{k=1}^{n?1}\frac{3?4^{k?1}}{9^k}{A}_0 \\ =A_0(1+\frac{3}{4}\sum _{k=1}^{n?1}\frac{4^k}{9^k}) \\ \underset{n\to +\infty }{\lim }{A}_n=A_0(1+\frac{3}{4}?\frac{4}{5})=\frac{8}{5}{A}_0\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$

最后可得到科赫雪花的面積：
$$\frac{2S^2\sqrt{3}}{5}$$
式中的$S$是原來三角形的邊長，$S^2$＝3。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的走近分形与混沌(part1)--分形是趋于无穷的极限，是画不出来的的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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