讀書筆記

學習書目：《蝴蝶效應之謎：走近分形與混沌》-張天蓉;

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分數維

在經典幾何中，是用拓撲的方法來定義維數的，也就是說，空間的維數等于決定空間中任何一點位置所需要變量的數目。例如，所謂我們生活在三維空間，是因為我們需要三個數值：經度、緯度和高度來確定我們在空間的位置。

如上面所定義的拓撲維數，如何用分數維數才能解釋像皮亞諾圖形、科赫雪花、分形龍這些奇怪的幾何圖形呢？ 維數概念的擴展，要歸功于德國數學家費利克斯·豪斯多夫。豪斯多夫在1919年給出了維數新定義，為維數的非整數化提供了理論基礎。

在分形幾何中，我們將拓撲方法定義的維數，擴展成用與自相似性有關的度量方法定義的維數。我們在之前的Blog中已經介紹了分形龍的自相似性，其實，經典整數維的幾何圖形，諸如一條線段、一個長方形、一個立方體，也具有這種自相似性，只不過，它們的自相似性太平凡而不起眼，被人忽略了而已。也就是說：線、面、體……這些我們常見的整數維幾何形狀，也算是分形.就像實數中包括了整數一樣，擴展了的分形維數定義當然也包括了整數維在內。

用自相似性來定義維數，可以這么理解，首先將圖形按照N∶1的比例縮小，然后，如果原來的圖形可以由M個縮小之后的圖形拼成的話，這個圖形的維數d，也叫豪斯多夫維數，就等于：
$$d=ln(M)/ln(N)$$

我們以線、面、體為例，來解釋豪斯多夫維數：

(a)中一條線段是由兩個與原線段相似、長度一半的線段接成的；(b)中長方形自身可以看成是由4個與自己相似的，大小為四分之一的部分組成的；(c )中一個立方體，則可以看成是由8個大小為自身八分之一的小立方體組成的。

計算他們的豪斯多夫維數，分別為1維、2維、3維。

現在我們以同樣的方法來計算科赫曲線的維數：

首先，將科赫曲線的尺寸縮小至原來的三分之一；然后，用4個這樣的小科赫曲線，便能構成與原來一模一樣的科赫曲線。因此，我們得到科赫曲線的維數$d＝ln4/ln3＝1.2618\dots$，這就說明了，科赫曲線的維數不是一個整數，而是一個小數，或分數……

總結

以上是生活随笔為你收集整理的走近分形与混沌(part2)-豪斯多夫维数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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