學習筆記
學習書目：《蝴蝶效應之謎：走近分形與混沌 》-張天蓉；

---

文章目錄

• • • N體問題
    • 龐加萊與三體問題

---

N體問題

我們在高中的物理課上都學過著名的開普勒行星運動三大定律。在開普勒總結出三大定律之后，牛頓在開普勒定律的基礎上，總結出了經典力學著名的牛頓三大定律。 再后來，開普勒走了，牛頓走了，拉普拉斯也走了。幾位大師創立了天體力學，但也留下了有關天體運動的種種問題和困難。其中有一個，就是關于太陽系穩定性的問題。

太陽系的穩定性問題早就被牛頓提出。經常有人設想出一些無法挽救的、災難性的后果。比如說：擔心月亮某一天是否會朝地球猛撞過來。 拉普拉斯深入研究過這個問題并得出結論，認為太陽系作為整體來說是一個穩定的周期運動系統。然而，拉普拉斯的結論并沒有消除人們心中的疑慮。

100多年前的物理學家喜歡計算遵循牛頓萬有引力定律而互相吸引的多個天體將如何運動。物理學家們將此類問題稱為N體問題。

N體問題的答案，實際上就是欲從數學上來探索太陽系的穩定性。當N＝1時，答案是顯而易見的，不受其他任何作用的1個物體，最后將歸于靜止或勻速直線運動。對于N＝2的情況，也就是二體問題，在牛頓時代就已被基本解決。在解決二體問題上牛頓力學打了大勝仗，但對三體問題的解決卻是困難重重，多于三體時的解答，就更是望塵莫及了。

龐加萊與三體問題

昂利·龐加萊被公認是19世紀末和20世紀初的領袖數學家。龐加萊為解決三體問題而發展了數學，這其中蘊涵著龐加萊最重要的創新：把握定性和整體的拓撲思想。

根據牛頓的萬有引力定律，我們不難列出三體問題的運動方程，它是含有9個方程的微分方程組 。但是，求解這個方程則是難上加難，并不存在一般條件下的精確解。為了解決這個問題，龐加萊首先采取了希爾的辦法，即，將此問題簡化成了所謂限制性三體問題。

限制性三體問題是三體問題的特殊情況。當所討論的三個天體中﹐有一個天體的質量與其他兩個天體的質量相比﹐小到可以忽略時﹐這樣的三體問題稱為限制性三體問題。也就是說，我們將小天體對大天體的作用忽略不計，只考慮大天體對小天體的吸引力。如此一簡化，原來的9個微分方程組變成了只有3個變量的微分方程組 。

但是，即使簡化成了3個微分方程，只有3個變量，也仍然無法求出精確解。龐加萊意識到，既然無法求出精確解，就放棄尋找精確解。于是，龐加萊開始定性地研究解的性質。也就是說，從3個微分方程出發，用幾何的方法，從整體上設法了解可能存在的各種天體軌道的性質和形態。

因為，小塵埃(小天體)對兩個大天體的作用小到可以忽略，所以可以先解決兩個大天體的二體問題，再考慮小塵埃的運動。龐加萊需要定性描述的只是小塵埃在大星球1和大星球2的重力吸引下的運動軌跡

龐加萊深入研究小塵埃在所謂同宿軌道和異宿軌道（相當于奇點）附近的行為，但一直沒有得到令他滿意的結果。他在自己的頭腦里構造出了限制性三體問題的某些奇特解的雛形。從解的奇怪行為中，龐加萊看到了當今人們所說的混沌現象。不過，受到當時的經典世界觀的局限龐加萊還未能完全理解得到的結果，他只能迷惑而感嘆地說了一句：無法畫出來的圖形的復雜性令我震驚!

龐加萊發現，即使對簡化了的限制性三體問題，在同宿軌道或者異宿軌道附近，解的形態會非常復雜，以至于對于給定的初始條件，幾乎是沒有辦法預測當時間趨于無窮時，這個軌道的最終命運。而這種對于軌道的長時間行為的不確定性，這也就是我們現在稱之為混沌的現象。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的走近分形与混沌(part7)--三体与混沌的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。