學(xué)習(xí)筆記
學(xué)習(xí)書目：《蝴蝶效應(yīng)之謎：走近分形與混沌 》-張?zhí)烊?#xff1b;

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文章目錄

• • • 倍周期分岔
    • 費(fèi)根鮑姆常數(shù)

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倍周期分岔

羅伯特·梅，將混沌魔鬼的誕生歸結(jié)為系統(tǒng)周期性的一次又一次突變。或者，用一個(gè)更學(xué)術(shù)化的術(shù)語來說，叫做倍周期分岔現(xiàn)象。下圖就是從邏輯斯蒂方程中，產(chǎn)生的倍周期分岔現(xiàn)象：

周期分岔現(xiàn)象除了有自相似性的特征，還有一個(gè)重要的特性：普適性。

除了生物群體數(shù)的變化之外，倍周期分岔現(xiàn)象還存在于其他很多非線性系統(tǒng)中。系統(tǒng)的參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)數(shù)越來越多，返回某一狀態(tài)的周期加倍又加倍，最后從有序走向混沌。比如物理學(xué)中原來認(rèn)為最簡(jiǎn)單的單擺，也暗藏著混沌魔鬼，當(dāng)外力加大時(shí)，新的頻率分量不斷出現(xiàn)，擺動(dòng)周期不斷地加長(zhǎng)，最后過渡到混沌。

到處都有倍周期分岔，以及接踵而至的混沌魔鬼，這是普適性的定性方面。普適性的另一個(gè)方面——定量方面，則與分岔的速度有關(guān)。

費(fèi)根鮑姆常數(shù)

切爾·費(fèi)根鮑姆（1944— ）是美國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家。

費(fèi)根鮑姆平時(shí)喜歡寫點(diǎn)小程序，用計(jì)算來驗(yàn)證物理猜想。早在十幾年前的大學(xué)時(shí)代，首次使用電腦時(shí)，他就在一小時(shí)之內(nèi)寫出了一個(gè)用牛頓法開方的程序。 這次，費(fèi)根鮑姆感興趣的是邏輯斯蒂分岔圖中出現(xiàn)得越來越多的那些三岔路口：

他用計(jì)算器編程序算出每個(gè)三岔路口的坐標(biāo)，即k值和相應(yīng)的x_無窮值.

費(fèi)根鮑姆注意到隨著k的增大，三岔路口到來得越來越快，越來越密集。從第一個(gè)三岔口k1開始：$k1＝3$，$k2＝3.44948697$, $k3＝3.5440903$，$k4＝3.5644073$，$k5＝3.5687594$

僅僅從k的表面數(shù)值，費(fèi)根鮑姆沒有看出什么名堂，于是，他又算出相鄰三岔路口間的距離$d$：
$$\begin{gathered} d_1=k_2?k_1=0.4495 \\ {d}_2=k_3?K_2=0.0946 \\ {d}_3=k_4?K_3=0.0203 \\ {d}_4=k_5?k_4=0.00435 \end{gathered}$$
從這些$d$之間，費(fèi)根鮑姆好像看出點(diǎn)規(guī)律來啦！每次算出的下一個(gè)$d$，都大約是上一個(gè)$d$的五分之一！當(dāng)然，并不是準(zhǔn)確的五分之一，好像有個(gè)什么常數(shù)在這兒作怪，多計(jì)算幾項(xiàng)看看吧：
$$\begin{gathered} d_1/d_2=4.7514 \\ {d}_2/d_3=4.6562 \\ {d}_3/d_4=4.6683 \\ {d}_4/d_5=4.6686 \\ {d}_5/d_6=4.6692 \\ {d}_6/d_7=4.6694 \end{gathered}$$
上面列出的這些比值都很接近，但又并不完全相同，兩個(gè)相鄰比值之間的差別卻越來越小。費(fèi)根鮑姆作了一個(gè)猜測(cè)，這個(gè)比值，$(k_n－k_{n－1})/(k_{n＋1}－k_n)$當(dāng)n趨于無窮時(shí)，將收斂于一個(gè)極限值：
$$\delta =4.669201609$$
同時(shí)，費(fèi)根鮑姆也注意到，分岔后的寬度$w$也是越變?cè)叫?見上面的邏輯斯蒂分岔圖), 那么，寬度的比值是否也符合某個(gè)規(guī)律呢？計(jì)算結(jié)果再次驗(yàn)證了費(fèi)根鮑姆的想法，當(dāng)n趨于無窮時(shí)，比值$w_n/w_{n+1}$將收斂于另一個(gè)極限值：
$$\alpha =2.502907875$$
原來這個(gè)分岔圖中隱藏著兩個(gè)常數(shù)!

一個(gè)新概念、新理論的誕生往往伴隨著新常數(shù)的出現(xiàn)，比如牛頓力學(xué)中的萬有引力常數(shù)G，量子力學(xué)中的普朗克常數(shù)h，相對(duì)論中的光速c……

費(fèi)根鮑姆想，難道這是反映混沌世界出現(xiàn)的兩個(gè)特別常數(shù)？如果只是與有序到混沌的過程有關(guān)，那么，除了邏輯斯蒂系統(tǒng)之外，在別的系統(tǒng)，混沌魔鬼是不是也按照這個(gè)規(guī)律出現(xiàn)呢？

想到這兒，費(fèi)根鮑姆再一次對(duì)另一個(gè)簡(jiǎn)單的非線性系統(tǒng)（正弦映射系統(tǒng)）：
$$x_{n+1}=ksin(x_n)$$
產(chǎn)生混沌的倍周期分岔過程進(jìn)行研究。

對(duì)正弦映射系統(tǒng)倍周期分岔過程的計(jì)算結(jié)果讓費(fèi)根鮑姆激動(dòng)不已，因?yàn)榻Y(jié)果表明：正弦映射系統(tǒng)中的混沌魔鬼，與邏輯斯蒂系統(tǒng)的混沌魔鬼，遵循著一模一樣的規(guī)律。它們誕生的速度比值中都有一個(gè)同樣的幾何收斂因子：
$$\delta =4.669201609$$
岔后的寬度也和邏輯斯蒂系統(tǒng)的分岔寬度，遵循同樣的幾何收斂因子而減小：
$$\alpha =2.502907875$$
正弦映射和邏輯斯蒂映射的迭代函數(shù)完全不一樣，一個(gè)是正弦函數(shù)，另一個(gè)邏輯斯蒂映射，但是這兩個(gè)系統(tǒng)中的混沌卻以同樣的速度產(chǎn)生。

$\delta$和$\alpha$兩個(gè)費(fèi)根鮑姆常數(shù)與迭代函數(shù)的細(xì)節(jié)無關(guān)，它們反映的物理本質(zhì)應(yīng)該是只與混沌現(xiàn)象，或者說只與有序到無序過渡的某種物理規(guī)則有關(guān)，這就是費(fèi)根鮑姆常數(shù)的普適性。

之后，人們發(fā)現(xiàn)，只要是通過倍周期分岔而從有序到無序產(chǎn)生混沌的過程，都符合費(fèi)根鮑姆常數(shù)所描述的規(guī)律。不過，對(duì)于費(fèi)根鮑姆常數(shù)更深一層的物理本質(zhì)，似乎知之甚少。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的走近分形与混沌(part11)--一个新概念、新理论的诞生往往伴随着新常数的出现的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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