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文章目錄

• • 時(shí)間序列
  • • ADF檢驗(yàn)
    • 多重單位根的檢驗(yàn)方法
    • 結(jié)構(gòu)突變與單位根檢驗(yàn)
    • • 外生性結(jié)構(gòu)突變點(diǎn)的檢驗(yàn)方法
      • 內(nèi)生性結(jié)構(gòu)突變點(diǎn)的檢驗(yàn)方法

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時(shí)間序列

ADF檢驗(yàn)

如果被檢驗(yàn)的真實(shí)過(guò)程是一個(gè)AR§ 過(guò)程，而檢驗(yàn)式是AR(1)形式，那么由于對(duì)$y_t$形式的設(shè)定錯(cuò)誤，檢驗(yàn)式對(duì)應(yīng)的誤差項(xiàng)必然表現(xiàn)為自相關(guān)。因?yàn)榧俣z驗(yàn)式誤差項(xiàng)是非自相關(guān)的，所以當(dāng)誤差項(xiàng)具有相關(guān)性時(shí)，回歸參數(shù)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量不再服從DF分布.

如果$\rho =0$成立，則$y_t$含有單位根。稱(chēng)此檢驗(yàn)為ADF（增項(xiàng)或擴(kuò)展的DF）檢驗(yàn)。稱(chēng)此統(tǒng)計(jì)量為ADF統(tǒng)計(jì)量。

注意，只有在樣本容量充分大的前提下，才可以用表1的第1部分中的臨界值。因?yàn)樵谛颖緱l件下ADF分布與DF分布不一樣。

與上面的討論相仿，在ADF檢驗(yàn)式中也可以加入漂移項(xiàng)$\mu$和時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)t。同理這些臨界值也是在樣本容量充分大的前提下才可用。對(duì)于下式：
$$\Delta y_t=\rho y_{t?1}+\sum {?}_j^{?}\Delta y_{t?j}+\mu +u_t$$
原假設(shè)認(rèn)為$y_t$是一個(gè)非平穩(wěn)過(guò)程，備擇假設(shè)認(rèn)為$y_t$是一個(gè)均值非零的平穩(wěn)過(guò)程。

對(duì)于下式：
$$\Delta y_t=\rho y_{t?1}+\sum {?}_j^{?}\Delta y_{t?j}+\mu +\alpha t+u_t$$
原假設(shè)認(rèn)為$y_t$是一個(gè)非平穩(wěn)過(guò)程，備擇假設(shè)認(rèn)為$y_t$是一個(gè)確定性趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程。

ADF檢驗(yàn)式也可以擴(kuò)展到d.g.p.帶有移動(dòng)平均成分的情形。只要檢驗(yàn)式中的附加項(xiàng)$\Delta y_{t?j}$充分多，就能夠?qū)RMA(p,q)形式的$y_t$做很好的近似，從而保證*$u_t$*為白噪聲。因?yàn)閷?shí)際中$y_t$的具體形式未知，所以差分滯后項(xiàng)個(gè)$\Delta y_{t?j}$數(shù)的選擇非常重要。滯后項(xiàng)個(gè)數(shù)太少，會(huì)導(dǎo)致當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)，拒絕原假設(shè)的概率變大。當(dāng)滯后項(xiàng)個(gè)數(shù)太多時(shí)，又會(huì)導(dǎo)致檢驗(yàn)功效降低（當(dāng)備擇假設(shè)為真時(shí)，檢出的概率變低）

有人主張通過(guò)附加項(xiàng)是否具有顯著性以及調(diào)整的可決系數(shù)確定ADF檢驗(yàn)式中差分滯后項(xiàng)的個(gè)數(shù)。如果是線(xiàn)性檢驗(yàn)式，這種判別方法與赤池準(zhǔn)則是等價(jià)的。也有人認(rèn)為用調(diào)整的可決系數(shù)判別滯后項(xiàng)數(shù)不盡如人意。各種形式（ARMA、AR、MA）的$y_t$的蒙特卡羅試驗(yàn)結(jié)果顯示這種判別方法存在一些問(wèn)題。所以Schwert建議用下式確定最佳滯后期數(shù)k：
$$k=int\{12?(T/100{)}^{1/4}\}$$

• 例子

深圳綜合成指收盤(pán)價(jià)序列如下圖，檢驗(yàn)是何種過(guò)程.

多重單位根的檢驗(yàn)方法

Dickey and Pantula（1987）對(duì)此提出異議。他們認(rèn)為當(dāng)$y_t～I(2)$時(shí)，備擇選擇是，$y_t～I(1)$而單位根檢驗(yàn)的備擇假設(shè)是$y_t～I(0)$。出現(xiàn)了不一致。這時(shí)需要檢驗(yàn)的是$\Delta y_t$是否為平穩(wěn)序列。所以正確的檢驗(yàn)程序應(yīng)該是首先對(duì)$y_t$取足夠次數(shù)的差分，從而保證被檢驗(yàn)序列為平穩(wěn)序列。然后每次用減少一次差分次數(shù)的序列依次進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。直至接受原假設(shè)為止。從而判斷出$y_t$的單整階數(shù)

當(dāng)$y_t～I(2)$時(shí)，${\Delta }^2{y}_t～I(0)$，首先應(yīng)該做如下檢驗(yàn)：
$${\Delta }^2{y}_t=\rho y_{t?1}\sum _{j=1}^k{?}_j^{?}{\Delta }^2{y}_{t?j}+u_t$$
如果結(jié)論是接受原假設(shè)，則$y_t～I(2)$有兩個(gè)單位根。

如果結(jié)論是拒絕原假設(shè)，則再次檢驗(yàn)$\Delta y_t～I(0),y_t～I(1)$. 這種檢驗(yàn)順序才合理.

實(shí)際中，經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的單整階數(shù)不會(huì)超過(guò)2。所以對(duì)序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)的順序應(yīng)該是${\Delta }^2{y}_t,\Delta y_t,y_t$ .

Dickey and Pantula基于蒙特卡羅模擬的結(jié)論顯示，當(dāng)序列$y_t$含有多重單位根時(shí)，從$y_t$開(kāi)始檢驗(yàn)單位根，則拒絕原假設(shè)的能力有所下降。

結(jié)構(gòu)突變與單位根檢驗(yàn)

Perron指出，如果被檢驗(yàn)過(guò)程是一個(gè)退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程，并且在考慮的期間內(nèi)存在趨勢(shì)結(jié)構(gòu)突變。如果不考慮這種趨勢(shì)突變，當(dāng)用ADF統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)單位根時(shí)，將會(huì)把一個(gè)帶趨勢(shì)突變的退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程誤判為隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程。即進(jìn)行單位根檢驗(yàn)時(shí)不考慮結(jié)構(gòu)突變，會(huì)導(dǎo)致檢驗(yàn)功效降低（實(shí)為退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程，檢驗(yàn)結(jié)果卻認(rèn)為是單位根過(guò)程）。同樣，當(dāng)進(jìn)行單位根檢驗(yàn)時(shí)，不考慮漂移項(xiàng)存在突變，或不考慮趨勢(shì)項(xiàng)、漂移項(xiàng)同時(shí)存在突變，也會(huì)導(dǎo)致單位根檢驗(yàn)功效降低。

• 例子

如下圖，有T=100的均值突變平穩(wěn)過(guò)程$y_t$：

用虛擬變量（D=0，（1-50）； D=1，（51-100））區(qū)別突變前后兩個(gè)時(shí)期，得ADF檢驗(yàn)式如下：

外生性結(jié)構(gòu)突變點(diǎn)的檢驗(yàn)方法

結(jié)構(gòu)突變點(diǎn)已知時(shí)，稱(chēng)其為外生性結(jié)構(gòu)突變點(diǎn)。假定發(fā)生結(jié)構(gòu)突變的時(shí)點(diǎn)已知為$t_B$，則發(fā)生在截距的突變?yōu)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">${\mu }_0+{\mu }_1{D}_t$，其中:
$$D_t=\{\begin{array}{ll}1,& t>t_B\\ 0,& t<t_B\end{array}$$

當(dāng)突變發(fā)生在斜率而截距不變時(shí)，對(duì)應(yīng)的模型為:

由于斜率反映增長(zhǎng)率，因此也稱(chēng)模型B為變化的增長(zhǎng)率模型.

當(dāng)截距和斜率同時(shí)具有結(jié)構(gòu)突變時(shí)，對(duì)應(yīng)的模型C為：
$$y_t={\mu }_0+{\mu }_1{D}_t+{\delta }_{0}t+{\delta }_1{t}^{?}+u_t$$
對(duì)于模型A，B，C，原假設(shè)和備擇假設(shè)為：
$$\begin{gathered} H_0:u_t～I(1) \\ {H}_1:u_t～I(0) \end{gathered}$$
當(dāng)$u_t～I(1)$時(shí)，$y_t$為結(jié)構(gòu)突變的單位根過(guò)程，而$u_t～I(0)$時(shí)，$y_t$為結(jié)構(gòu)突變的趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程。

基于上述分析結(jié)構(gòu)突變的單位根檢驗(yàn)就轉(zhuǎn)化為對(duì)退化趨勢(shì)之后的殘差的單位根檢驗(yàn)，其具體的檢驗(yàn)步驟和方法如下：

結(jié)構(gòu)突變的單位根檢驗(yàn)的漸近臨界值:

• 例子

中國(guó)某指標(biāo)的時(shí)序圖如下：

ADF檢驗(yàn)式是：

若以1978年為結(jié)構(gòu)突變年，令D=0, (1953-1977)；D=1, (1978-1997)；1952年，t =1。得帶有趨勢(shì)突變點(diǎn)的ADF檢驗(yàn)式如下：

內(nèi)生性結(jié)構(gòu)突變點(diǎn)的檢驗(yàn)方法

在不知道突變點(diǎn)位置的情形下，Banerjee, Lumsdaine and Stock（1992）應(yīng)該用通常的ADF統(tǒng)計(jì)量或用遞歸法、滾動(dòng)回歸法和序貫回歸法所有子樣本計(jì)算的ADF統(tǒng)計(jì)量中的最小的一個(gè)用來(lái)做上述3種檢驗(yàn)檢出突變點(diǎn)。

• 遞歸法

以原樣本的第一個(gè)觀測(cè)值開(kāi)始用k0個(gè)觀測(cè)值構(gòu)成第一個(gè)子樣本。然后在第一個(gè)子樣本基礎(chǔ)上按順序每次增加一個(gè)觀測(cè)值構(gòu)成一系列子樣本，一直到還原整個(gè)樣本范圍。子樣本容量用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為：

• 滾動(dòng)回歸法

滾動(dòng)回歸法與遞歸回歸法有些類(lèi)似。也是通過(guò)子樣本計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值，只不過(guò)子樣本的容量不是逐步擴(kuò)大，而是保持一個(gè)定值，從{1, 2, …, k}, {2, 3, …, k+1}, …, 一直到子樣本{ T- k+1, T- k +2, …, T}。建議k =0.3 T。用每個(gè)子樣本按（8）式做單位根檢驗(yàn)。用其中最小的ADF(k/T)值與表6中的滾動(dòng)回歸法臨界值做比較檢驗(yàn)單位根。H0：r = 0，存在單位根。

• 循序回歸法

設(shè)突變點(diǎn)發(fā)生在k期，循序回歸法是用整個(gè)樣本按下式回歸，并求ADF值：

在不知k期的具體位置時(shí)，可以令k逐期增加。每次都計(jì)算ADF(k/T)值，然后用最小的ADF(k/T)值與表7中的臨界值比較。另一個(gè)功效比較好的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是F統(tǒng)計(jì)量。對(duì)于趨勢(shì)突變和均值突變兩種情形，原假設(shè)都是${\alpha }_2=\rho =0$。從循序的F值中選最大的一個(gè)與表7中的臨界值比較，看能否推翻原假設(shè)。

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來(lái)咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的时间序列研(part8)--ADF检验的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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