4.6 高斯約當消元法

高斯消元法把矩陣變換為上三角陣，上三角陣還可以繼續變換為對角陣。例如上面增廣矩陣 $[A,b]$ 變換為上三角陣
$$?\begin{array}{cccc}2& 4& ?2& 2\\ 0& 1& 1& 4\\ 0& 0& 4& 8\end{array}?$$

先從最后一列倒數第二行開始，最后一行乘以 $?1/4$ 加到倒數第二行，則變換為
$$?\begin{array}{cccc}2& 4& ?2& 2\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 4& 8\end{array}?$$

最后一行乘以 $2/4$ 加到倒數第一行，則變換為
$$?\begin{array}{cccc}2& 4& 0& 6\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 4& 8\end{array}?$$

方程 $2$ 乘以 $?4$ 加到方程 $1$，則變換為
$$?\begin{array}{cccc}2& 0& 0& ?2\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 4& 8\end{array}?$$

最后變成單位矩陣，為

$$?\begin{array}{cccc}1& 0& 0& ?1\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 2\end{array}?$$

最后一列就是方程解。

高斯約當消元法提供了一種手算逆矩陣的方法。求逆矩陣可以看作是解 $n$ 個方程，即 $A{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}={\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}$ ，高斯約當消元法把矩陣 $A$ 變換為單位陣 $E$ ，則增廣矩陣最后一列就是解，也就是逆矩陣 $A^{?1}$ 的第 $i$ 列向量。如果同時并行解 $n$ 個方程 $A{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}={\mathbf{e}}_{\mathbf{i}},i\in [1,n]$ ，則可并行求得逆矩陣 $A^{?1}$ 所有列向量。增廣矩陣 $[A,E]$ 進行高斯約當消元法，把矩陣 $A$ 變換為單位陣，則單位陣變換為 $A^{?1}$ ，即 $[E,A^{?1}]$ 。

上面是不存在行對調操作的情況，如果需要行對調，則對 $[PA,E]$ 進行高斯約當消元法求逆，得到 $[E,B],B=(PA{)}^{?1}$ ，則 $A^{?1}=BP$ 。

總結

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