最終目標(biāo)是解微分方程。第一章首先介紹了一般意義下的傅里葉變換，之后逐漸將傅里葉變換的概念抽象化，將變換的定義域進(jìn)行拓展。最后少量介紹傅里葉變換在偏微分方程中的應(yīng)用。習(xí)題解答是自己寫(xiě)的，有的不會(huì)，有的不知道對(duì)不對(duì)。

傅里葉變換是解偏微分方程的有力工具，因?yàn)樗拖窭绽棺儞Q一樣，可以將微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)方程。通常的傅里葉變換由

定義，而這種方法只對(duì)性質(zhì)非常好的函數(shù)有效，一旦 的定積分不存在，那么傅里葉變換將無(wú)法定義，這在使用上會(huì)帶來(lái)很大不便。一種眼見(jiàn)可行的方法是用性質(zhì)好的函數(shù)來(lái)逼近原函數(shù)，例如對(duì)于函數(shù) ，我們可以將 的極限視為其傅里葉變換，此時(shí)我們可以計(jì)算出

然而，逼近的思想同時(shí)面臨著兩個(gè)問(wèn)題，其一是收斂函數(shù)列的傅里葉變換不一定收斂，這就導(dǎo)致類(lèi)似于

這樣的簡(jiǎn)單函數(shù)無(wú)法計(jì)算傅里葉變換（并且我們都知道，它的傅里葉變換是 ），其二則更嚴(yán)重，就連那些可以收斂的函數(shù)列，也有可能僅僅改變了極限的路徑而收斂于不同的結(jié)果，這就導(dǎo)致傅里葉變換本身是定義不良好的。

這個(gè)問(wèn)題最終的解決辦法，是將一部分性質(zhì)極其好的函數(shù)作為測(cè)試函數(shù)，之后用傅里葉變換與內(nèi)積所滿足的性質(zhì)反向地公理化定義傅里葉變換，并篩選出可以進(jìn)行傅里葉變換的函數(shù)。這個(gè)函數(shù)空間叫作廣義緩增函數(shù)空間，而測(cè)試函數(shù)所構(gòu)成的空間叫作急降函數(shù)空間。廣義緩增函數(shù)空間包含了所有在無(wú)窮遠(yuǎn)處以多項(xiàng)式速度增長(zhǎng)的函數(shù)，而且甚至還包含了一些一般意義上根本不是函數(shù)的“函數(shù)”。狄拉克

函數(shù)就是其中的一個(gè)例子。

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第一節(jié)，

中的傅里葉變換

定義1.1，對(duì)于

，定義 ，其中

定理1.1，設(shè)

，那么以下分別成立：
1，
2， 連續(xù)，因此若 ，那么
3，
4，記 則
5，
6，記 則
7，設(shè) ，那么
8，

命題1.1，記

為 的第 元素，如果 ，那么

定義1.2，設(shè)

，稱(chēng)函數(shù) 在 中對(duì) 可微，當(dāng)存在 使得

定理1.2，設(shè)

， 是 對(duì) 的微分，那么有

命題1.2，設(shè)

，那么
進(jìn)一步，如果 在 處連續(xù)，那么
如果 ，那么 幾乎處處成立

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第二節(jié)，

中的傅里葉變換

假定

在 中稠密

定理1.3，設(shè)

，那么 并且

因此，傅里葉變換在

內(nèi)可以定義為 內(nèi)傅里葉變換的極限

定理1.4，傅里葉變換是

內(nèi)的酉算子，意即它是等距的滿射

定理1.5，對(duì)于

，記 表示傅里葉變換，則

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第三節(jié)，緩增廣義函數(shù)

對(duì)于

和函數(shù) ，記

記

定義1.3，設(shè)

，如果對(duì)于任意 都有 ，則稱(chēng)

定理1.6，傅里葉變換是

的自同構(gòu)

定義1.4，稱(chēng)

定義了一個(gè)緩增廣義函數(shù)，當(dāng)它是線性并且連續(xù)的，意即：
1，
2， 如果 ，那么

記所有緩增廣義函數(shù)的集合為

對(duì)于任意有界函數(shù)

， 顯然定義了一個(gè)緩增廣義函數(shù)。用同樣的方法，可以得出

定義1.5，對(duì)于

，定義 為滿足 的緩增廣義函數(shù)，此時(shí)對(duì)于 有 成立

定義1.6，設(shè)

，如果對(duì)于任意 都有 ，則稱(chēng)

定理1.7，傅里葉變換是

的自同構(gòu)

定義1.7，設(shè)

，記其希爾伯特變換 為

此時(shí)有

成立，希爾伯特變換可以擴(kuò)張為 的自同構(gòu)，并且 ，

命題1.3，對(duì)于

與 ，記 ，則有 并且 ，其中 表示滿足 的廣義函數(shù)

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證明、例題

例1.1，對(duì)于

，計(jì)算 的傅里葉變換
不失一般性令 ，否則可以作變量代換令 進(jìn)行歸約。則有：
因此

例1.2，計(jì)算

的傅里葉變換
對(duì)于 ，已知
因此，

命題1.2證明：
設(shè)

，則在 中有 ，此處應(yīng)用定理1.1(6)與例1.1 ，再應(yīng)用定理1.1(8)
如果 ，那么根據(jù)勒貝格收斂定理， 在 內(nèi)成立，并且如果 在點(diǎn) 連續(xù)則

定理1.3證明
設(shè)

，記 則 ，因此 并且 （證明見(jiàn)習(xí)題1.7）
由于
所以 因此 （見(jiàn)習(xí)題1.7）
因此，根據(jù)定理1.2，
同時(shí)，

例1.3，計(jì)算

的傅里葉變換
雖然 ，但是 可以用有界區(qū)間上的定積分逼近得到，計(jì)算可得

例1.4，設(shè)

，證明
其中 ，因此

例1.5，計(jì)算

的傅里葉變換
因此，

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習(xí)題1.1

(i)

，計(jì)算 的傅里葉變換。提示：

（例1.1）

(ii)

，計(jì)算 的傅里葉變換

已知

，對(duì) 求導(dǎo)并代入 得

因此

習(xí)題1.2

(i)證明在

內(nèi) ，其中 定義為實(shí)部非負(fù)的一支

當(dāng)

的實(shí)部大于 時(shí) 傅里葉變換有定義，此時(shí) ，因此

因此即使

的實(shí)部為 上式仍然成立

習(xí)題1.3

證明Young不等式：令

， ，則

因此

習(xí)題1.4

證明Minkowski不等式：

用

逼近 ，則有：

習(xí)題1.5，令

， ，

(i)證明哈代不等式：

令

則

(ii)證明等號(hào)成立且僅成立于

，并證明原式中的系數(shù) 最優(yōu)

不會(huì)

習(xí)題1.6，視傅里葉變換為

的映射

(i)證明其是單射

根據(jù)命題1.2作逆變換直接得到結(jié)論

(ii)證明傅里葉變換的像對(duì)乘法封閉

根據(jù)傅里葉變換對(duì)卷積的性質(zhì)直接得到結(jié)論

(iii)證明

，其中 表示連續(xù)并且在無(wú)窮遠(yuǎn)處趨于 的函數(shù)

一維的時(shí)候，

就是反例，它雖然是 的元素，但是它的逆變換不是 的元素

高維的時(shí)候，令

即可

習(xí)題1.7

(i)證明定理1.1中公式的一般化：如果

， ，其中 ，那么

，因此其傅里葉變換由 定義

(ii)對(duì)于

與 ， ， ；對(duì)于 或 則如何？

對(duì)于前者，只需證明

趨于 就足夠

由于

在 中的稠密性，取 滿足 ，則有
由于 在緊致集上連續(xù)，所以可以取足夠小的 使得 ，其中 是 的支撐集，此時(shí)

綜上連續(xù)性得證

對(duì)于后者，

因此，可以取到足夠大的 使得

的話不知道

(iii)設(shè)

， 在 點(diǎn)連續(xù)并且 ，證明

根據(jù)命題1.2，

因?yàn)?

單調(diào)收斂于 ，所以

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Felipe Linares, Gustavo Ponce (auth.) - Introduction to Nonlinear Dispersive Equations (2015, Springer-Verlag New York)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的希尔伯特变换_学习笔记1-傅里叶变换1的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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