文章目錄

• 一、李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義
• • 1.李氏意義下的穩(wěn)定
  • 2.漸近穩(wěn)定
  • 3.大范圍漸近穩(wěn)定
  • 4.不穩(wěn)定
• 二、李雅普諾夫第一法
• • 1.線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)
  • 2.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)
• 三、李雅普諾夫第二法
• • 1.標(biāo)量函數(shù)的定號(hào)性
  • 2.穩(wěn)定性原理
• 四、李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用
• 五、李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用
• • 1.雅可比矩陣法
  • 2.變量梯度法

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一、李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義

系統(tǒng)$\dot{x}=f(x,t)$,若存在狀態(tài)$x_e$滿足$${\dot{x}}_e\equiv 0$$,則該狀態(tài)為平衡狀態(tài)

1.李氏意義下的穩(wěn)定

系統(tǒng)對(duì)于任意選定的實(shí)數(shù)$\epsilon >0$,都存在一個(gè)實(shí)數(shù)$\delta >0$,當(dāng)滿足$$||x_0?x_e||\le \delta$$
從任意$x_0$出發(fā)的解都滿足$$||\Phi ?x_e||\le \epsilon$$
則稱平衡狀態(tài)為李氏意義下的穩(wěn)定

2.漸近穩(wěn)定

解最終收斂于$x_e$

3.大范圍漸近穩(wěn)定

從狀態(tài)空間中所有初始狀態(tài)出發(fā)的軌線都具有漸近穩(wěn)定性，稱這種平衡狀態(tài)$x_e$為大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定

4.不穩(wěn)定

不管$\delta$有多小，只要由$S(\delta )$內(nèi)出發(fā)的狀態(tài)軌跡超出$S(\epsilon )$ 以外，則稱此平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的

二、李雅普諾夫第一法

1.線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)

李氏穩(wěn)定（狀態(tài)穩(wěn)定）的充要條件：系統(tǒng)矩陣A的全部特征值位于復(fù)平面的左半部
輸出穩(wěn)定的充要條件：傳遞函數(shù)$W(s)=C(SI?A{)}^{?1}B$的全部極點(diǎn)位于復(fù)平面左半部
PS：輸出穩(wěn)定不一定狀態(tài)穩(wěn)定，可能存在零極點(diǎn)對(duì)消

2.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)

非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程$$\dot{x}=f(x)$$
$$f(x)=[f_1,f_2?f_n]$$
向量函數(shù)的雅可比矩陣：

原非線性狀態(tài)方程化為線性狀態(tài)方程$$\Delta \dot{x}=\frac{?f}{?x^T}\Delta x$$
其中$\Delta x=x?x_e$
然后可套用線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)

三、李雅普諾夫第二法

1.標(biāo)量函數(shù)的定號(hào)性

$V(x)$為x所定義的標(biāo)量函數(shù)，對(duì)于任何非零矢量x，如果：
1）$V(x)>0$,則為正定的
2）$V(x)\ge 0$,則為半正定的
3）$V(x)<0$,則為負(fù)定的
3）$V(x)\le 0$,則為半負(fù)定的

2.穩(wěn)定性原理

1、$V(x)$正定,$\dot{V}(x)$負(fù)定，在原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的
并且如果$||x||?>\infty ,V(x)?>\infty$,則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的
2、$V(x)$正定,$\dot{V}(x)$半負(fù)定，在非零狀態(tài)$\dot{V}(x)$ 不恒為 0,在原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的
3、$V(x)$正定,$\dot{V}(x)$半負(fù)定，在非零狀態(tài)$\dot{V}(x)$ 恒為 0,在原點(diǎn)是李氏意義下的穩(wěn)定
4、$V(x)$正定,$\dot{V}(x)$正定，在原點(diǎn)是不穩(wěn)定的
5、$V(x)$正定,$\dot{V}(x)$正半定，在非零狀態(tài)$\dot{V}(x)$ 不恒為 0,在原點(diǎn)是不穩(wěn)定的
6、$V(x)$正定,$\dot{V}(x)$正半定，在非零狀態(tài)$\dot{V}(x)$ 恒為 0,在原點(diǎn)是李氏意義下的穩(wěn)定

四、李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用

選定正定二次型函數(shù)$V(x)$為李氏函數(shù)
$$V(x)=x^{T}Px$$
$$\dot{V}(x)=x^T(PA+A^{T}P)x$$
令$Q=?(PA+A^{T}P)$
如果Q正定，則系統(tǒng)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的
判定穩(wěn)定性的步驟：
1、選取正定矩陣Q（通常是單位陣）
2、由$Q=?(PA+A^{T}P)$求P
3、判斷P的正定性
4、穩(wěn)定性結(jié)論

五、李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用

1.雅可比矩陣法

$$\dot{x}=f(x)$$
判定穩(wěn)定性的步驟：
1、求雅可比矩陣

2、克拉索夫斯基表達(dá)式：$Q(x)=?[J^T+J]$
3、判斷Q的正定性
4、穩(wěn)定性結(jié)論
PS：克拉索夫斯基定理只是漸近穩(wěn)定的一個(gè)充分條件不是必要條件

2.變量梯度法

1、設(shè)$?V=$
2、$$\dot{V}(x)=(?V{)}^T\dot{x}$$
限定$\dot{V}(x)$為負(fù)定
3、利用$\frac{n(n?1)}{2}$個(gè)旋度方程確定$?V$中的未知數(shù)

4、計(jì)算并驗(yàn)證V正定性

5、確定系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的范圍

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的现代控制理论（4）——李雅普诺夫稳定性理论的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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