雙物塊彈簧阻尼系統模型：

圖1. 雙物塊彈簧阻尼系統模型

首先向 @Spgroc 表示感謝：
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我害怕你心碎沒人幫你擦眼淚，
別離開我身邊，
擁有我，
你的世界才完美。

進入正題:

? ? ? ? 上面圖1：

? ? ? ? $U(t)$是擾動輸入，可以理解為拽一下小車讓它動起來
? ? ? ? $x_1(t)$ , $x_2(t)$是小車位移，規定向右為正方向
? ? ? ?$k_1$ , $k_2$是彈簧彈性系數
? ? ? ? $r_1$ , $r_2$是阻尼系數。阻尼力=阻尼系數 x 速度。
? ? ? ?$m_1$ , $m_2$是小車質量

$$\{\begin{array}{l}{m}_2{\ddot{x}}_2=?r_2{\dot{x}}_2?k_2(x_2?x_1)\\ m_1{\ddot{x}}_1=k_2(x_2?x_1)?r_1{\dot{x}}_1?k_1{x}_1\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
? ? ? ?根據實際的物理過程選取狀態變量，令：
$$?\begin{array}{l}{z}_1=x_2\\ z_2={\dot{x}}_2\\ z_3=x_1\\ z_4={\dot{x}}_1\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

把公式（2）帶入公式（1），得：
$$?\begin{array}{l}{\dot{z}}_1={\dot{x}}_2=z_2\\ {\dot{z}}_2={\ddot{x}}_2=\frac{1}{m_2}(?r_2{z}_2?k_2(z_1?z_3))\\ {\dot{z}}_3={\dot{x}}_1=z_4\\ {\dot{z}}_4={\ddot{x}}_1=\frac{1}{m_1}(k_2(z_1?z_3)?r_1{x}_1?k_1{x}_1)\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
? ? ? ?把公式（3）化成狀態空間表達式的形式：

$$?\begin{array}{c}{\dot{z}}_1\\ {\dot{z}}_2\\ {\dot{z}}_3\\ {\dot{z}}_4\end{array}?=?\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ \frac{?k_2}{m_2}& \frac{?r_2}{m_2}& \frac{k_2}{m_2}& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \frac{?k_2}{m_1}& 0& \frac{?(k_2+k_2)}{m_2}& \frac{?r_2}{m_1}\end{array}???\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\\ z_3\\ z_4\end{array}?\text{\hspace{1em}(4)}$$
? ? ? ?公式（4）等號右邊第一個矩陣稱為系統矩陣，對于線性系統而言，可以根據系統矩陣的特征值判斷該系統是不是穩定的，當然也可以利用李雅普諾夫函數

? ? ? ?根據能量守恒,構造李雅普諾夫函數V(z) ：
$$V_{(z)}=\frac{1}{2}{m}_2{z}_2^2+\frac{1}{2}{m}_1{z}_4^2+\frac{1}{2}{k}_2(z_1?z_3{)}^2+\frac{1}{2}{k}_1{z}_3^2\text{\hspace{1em}(5)}$$
$$\begin{gathered} {\dot{V}}_{(z)}=\frac{1}{2}{m}_2{z}_2?{\dot{z}}_2+\frac{1}{2}{m}_1{z}_4?{\dot{z}}_4+\frac{1}{2}{k}_2(z_1?z_3)?({\dot{z}}_1?{\dot{z}}_3) \\ +\frac{1}{2}{k}_1{z}_3?{\dot{z}}_3\text{\hspace{1em}(6)} \end{gathered}$$
? ? ? ?把公式（4）中的${\dot{z}}_1$,${\dot{z}}_2$,${\dot{z}}_3$,${\dot{z}}_4$帶入到公式（6）${\dot{V}}_{(x)}中，經整理得：$
$${\dot{V}}_{(z)}=?r_2{z}_2^2?r_1{z}_4^2\text{\hspace{1em}(7)}$$
? ? ? ?從公式（5）和（7）可以很容易看出來$V_{(z)}$是正定的,${\dot{V}}_{(z)}$是負定的。
? ? ? ?故，該系統本身就是一個漸近穩定的系統。

對該系統進行matlab仿真驗證漸進穩定性：

clear ;clc; ma=20;mb=20;ra=20;rb=20;ka=3;kb=2; X(:,1)=[70;0;50;0]; A=[0 1 0 0;-ka/ma -ra/ma ka/ma 0;0 0 0 1;ka/mb 0 -(ka+kb)/mb -rb/mb]; n=2000; den=1; for i=1:ntime(i)=i;X(:,i+1)=X(:,i)+0.1*A*X(:,i); endfigure(1); plot(time,X(1,1:n),'--',time,X(2,1:n),'m',time,X(3,1:n),'--',time,X(4,1:n),'k'); legend('車2的位置','車2的速度','車1的位置','車1的速度');

仿真結果

學藝不精，敬請批評指正。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的双物块弹簧阻尼系统模型，李雅普诺夫稳定性分析，matlab仿真验证的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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