我們先看一下穩(wěn)定性，看下面的這幅圖

A,B,C三個(gè)點(diǎn)都是平衡點(diǎn)，把小球放在三個(gè)點(diǎn)上，都不會(huì)動(dòng)，A點(diǎn)和C點(diǎn)的區(qū)別就是C點(diǎn)是有摩擦的。如果我們讓A點(diǎn)的小球小球偏離A點(diǎn)，小球就會(huì)無(wú)休止的擺下去，如果讓B點(diǎn)的小球偏離，則小球永遠(yuǎn)不會(huì)回到B點(diǎn)，如果讓C點(diǎn)的小球偏離，因?yàn)橛心Σ亮?#xff0c;偏離平衡點(diǎn)之后，最終小球會(huì)逐漸的回到C點(diǎn)。所以我們稱A，C點(diǎn)是穩(wěn)定點(diǎn)，B點(diǎn)不是一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)。

在這里，提出一個(gè)不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f(shuō)法：一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)，在離開(kāi)平衡點(diǎn)后的反應(yīng)隨時(shí)間衰減，至少不增加。

下面給出一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)，先看幾個(gè)符號(hào)：
$?:$ for all，對(duì)于任意給定
$?:$ at least one，至少存在一個(gè)
$||?||:$ norm，范數(shù)，可以認(rèn)為是歐式距離，$||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}$
定義：李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性
$${?}_{t_0},??>0,?\delta (t_0,?):||x(t_0)||<\delta (t_0,?)??t\ge t_0,||x(t)||\le ?$$

定義：漸進(jìn)穩(wěn)定性
$$?\delta (t_0)>0:||x(t_0)||<\delta (t_0)?\underset{x\to \infty }{\lim }||x(t)||=0$$

上面的兩個(gè)定義比較晦澀，下面這兩幅圖更容易看懂一些。假設(shè)有一個(gè)二維系統(tǒng)$\dot{x}=f(x_1,x_2)$，我們把它畫(huà)在下面的二維系統(tǒng)中，半徑分別為$\delta ，?$的兩個(gè)圓，如果初始狀態(tài)都在小圓內(nèi)（D點(diǎn)和E點(diǎn)），李雅普諾夫下的穩(wěn)定性是指最終穩(wěn)定在大圓之內(nèi)，漸進(jìn)穩(wěn)定性是指最終會(huì)回到原點(diǎn)。

LTI系統(tǒng)

之前提到的可以通過(guò)判斷$\dot{x}=Ax$中的A矩陣的特征值判斷穩(wěn)定性，假設(shè)特征值$\lambda =a+bi$，在這里李雅普諾夫下的穩(wěn)定性就是指所有的特征值只有非正的實(shí)部（$a\le 0$），漸進(jìn)穩(wěn)定性是指所有特征值只有負(fù)實(shí)部（$a<0$）。只要有一個(gè)特征值大于0就是不穩(wěn)定的系統(tǒng)。

非線性系統(tǒng)

求解微分方程可以判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，但比較難，李雅普諾夫方法不用求解微分方程，也可以判斷穩(wěn)定性。
如果$\dot{x}=f(x_0)$，$x=0$是平衡點(diǎn)。
case1：
（i）$V(0)=0$
（ii）$V(x)\ge 0inD?\{0\}$，不包括0的定義域
（iii）$\dot{V}(x)\le 0inD?\{0\}$
我們稱$x=0$是一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。
case2：
（i）$V(0)=0$
（ii）$V(x)>0inD?\{0\}$
（iii）$\dot{V}(x)<0inD?\{0\}$
我們稱$x=0$是一個(gè)漸進(jìn)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。

這里有兩個(gè)概念：PSD（positive semi definition）半正定，NSD（negative semi definition）半負(fù)定。

舉例LTI系統(tǒng)

看一個(gè)彈簧阻尼系統(tǒng)

這樣的一個(gè)LTI系統(tǒng)的微分方程是

$$m\ddot{x}+B\dot{x}+Kx=0$$

寫(xiě)成狀態(tài)方程的形式就是

$$\left[\begin{array}{c}\dot{z_1}\\ \dot{z_2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ ?\frac{K}{m}& ?\frac{B}{m}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\end{array}\right]$$

平衡點(diǎn)是$z_1=z_2=0$。

我們可以用矩陣特征值的性質(zhì)來(lái)判斷一下矩陣特征值的符號(hào)，我們知道

$${\lambda }_1+{\lambda }_2=0+(?\frac{B}{m})=?\frac{B}{m}<0$$

$${\lambda }_1\times {\lambda }_2=|A|=\frac{k}{m}>0$$

由上面的兩個(gè)公式可以推出${\lambda }_1,{\lambda }_2<0$，系統(tǒng)穩(wěn)定。從實(shí)際中也可以知道，無(wú)論彈簧的初始狀態(tài)怎么樣，彈簧雖然會(huì)震蕩，但最終會(huì)穩(wěn)定。

舉例非線性系統(tǒng)

假設(shè)上面的彈簧擁有了這樣的性質(zhì)

$$f_k=k{x}^3$$

系統(tǒng)就變成了下面這種形式

$$m\ddot{x}+B\dot{x}+k{x}^3=0$$

我們可以設(shè)$V=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+\frac{1}{4}k{x}^4$，這個(gè)公式滿足$V(0)=0,V>0$在$D?\{0\}$，所以$V$是一個(gè)正定函數(shù)。再看一下$\dot{V}$。

$$\dot{V}=m\dot{x}\ddot{x}+k{x}^3\dot{x}=m\dot{x}(?\frac{k{x}^3}{m}?\frac{B\dot{x}}{m})+k{x}^3\dot{x}=?k{x}^3\dot{x}?B{\dot{x}}^2+k{x}^3\dot{x}=?B{\dot{x}}^2<0$$

$\dot{V}$是一個(gè)負(fù)定的函數(shù)，符合上面的case2的情況，系統(tǒng)是一個(gè)漸進(jìn)穩(wěn)定的系統(tǒng)。這里面比較難的是如何尋找李雅普諾夫函數(shù)，這是一個(gè)有技巧性的東西。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的现代控制理论-6李雅普诺夫稳定性的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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