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编程问答

FRM1 P1B1P1B2 整理笔记

發布時間：2023/12/20 编程问答 31 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 FRM1 P1B1P1B2 整理笔记小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

FRM_1

Foundations of Risk Management

風險管理基本概念

風險管理的四種策略：

Retain：保留符合risk appetite的風險，不做處理

Avoid：不進行原有風險業務

Mitigate：利用投資話組合緩釋風險；例：marking to market

Transfer：通過保險等將風險轉嫁給第三方

風險對沖

風險對沖無法降低交易費用

公司風險管理結構

Board of directors （董事會）

制定清晰的商業戰略
制定并批準風險偏好（并不是高管負責）

CRO （首席風險官）

是執行風險管理工作的最高負責人
負責日常履行風險管理職能
Calculate & review VaR 首席風險官需要每日計算、審查在險價值
監管風險指標、風險報告，包括損失、特殊事件、關鍵風險敞口、預警指標
開發數據分析系統，負責數據管理能力以支持風險管理計劃
開展scenario analysis

Risk management committee （風險管理委員會）

制定適當的風險衡量和管理政策
對業務部門內的風險限制、風險權限等進行詳細審查
制定 risk management strategy

Audit （審計）

確保公司在財務問題上 “compliance with best-practice standards”

Risk advisory director （風險咨詢董事）

為公司的 best practice of corporate governance 與行業的 risk management 提供建議

理論模型：MPT Markowiz有效市場理論

Modern Portfolio Theory 模型的理論假設

市場是完美的

沒有交易成本，沒有稅收

所有參與交易的人都可以零成本即刻獲得所有市場信息

完全競爭市場

收益呈指數分布

Utility Theory

公式： $U=E(R)?12Aσ2U=\mathrm{E}(R)-\frac{1}{2} A \sigma^{2}$

圖像：Indifference Curve（無差異曲線）

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-CKpQneas-1648540741614)(FRM_1%204012f/Untitled.png)]

說明：曲線越陡峭，說明投資者對于風險的厭惡程度越高；曲線相對越高，其效用越高。

Efficient Frontier

有效前沿

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-iPacoKsx-1648540741619)(FRM_1%204012f/Untitled%201.png)]

說明：當市場上有無數個資產組合時，就形成了有效前沿，有效前沿上的每一個點都代表了一個最有效的投資組合。

Optimal portfolio selection

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-3glCLxUp-1648540741623)(FRM_1%204012f/Untitled%202.png)]

說明：投資者應當選擇無差異曲線與其無差異曲線相切的投資組合。而由indifference curve可知，投資人的風險厭惡越高，曲線上陡的程度越大，切點越靠左。極端地說，當投資人為極端風險厭惡，其indifference curve為豎直的，則投資組合應該在最左側。

理論模型：CAL & CML

Capital Allocation Line (CAL) 資產配置線

由于考慮了無風險資產，而 Markowitz 只考慮了風險資產，因此 CML 能在相同波動率下獲得更高的預期收益。

模型假設：承接Markowitz的所有假設。

公式： $E(Rp)=Rf+E(Ri)?RfσiσpE\left(R_{p}\right)=R_{f}+\frac{E\left(R_{i}\right)-R_{f}}{\sigma_{i}} \sigma_{p}$

圖像

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-SxEzlR1D-1648540741628)(FRM_1%204012f/Untitled%203.png)]

說明：最優的投資CAL（至少）是與無差異曲線相切的，它滿足了投資者的投資需求；最優的風險組合（最多）應當是與有效前沿相切的，它是先有的資產組合中最好的一條曲線。因此最優的CAL應當與這兩條曲線分別相切。

Capital Market Line (CML) 資產市場線

模型假設：CAL的假設+所有投資者都有同質化預期；

CML相當于令CAL中的資產為Market Portfolio；

公式： $E(Ri)=Rf+E(Rm)?RfσmσiE\left(R_{i}\right)=R_{f}+\frac{E\left(R_{m}\right)-R_{f}}{\sigma_{m}} \sigma_{i}$ ；

)

由公式可知，CML中的切線斜率即為Sharpe Ratio，斜率的大小反映了市場風險溢價和市場組合的波動性；

Two-fund Separation Theorem：由上圖CAL圖片中可知，當考慮CML時，CML與有效前沿相切得到的投資組合P就是最有效的（風險）投資組合。因此不管是什么樣的投資者都會選擇在這一條CML上進行投資。只不過根據其無差異曲線的不同，其相切所得到的切點C是不同的，也就是其分配的風險資產和無風險資產的比率不同。

理論模型：CAPM & SML

模型假設

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-pFXubCNB-1648540741632)(FRM_1%204012f/Untitled%204.png)]

系統性風險與非系統性風險

系統性風險：

系統性風險/市場風險/不可分散風險；

投資者對系統性風險的承擔會收到回報。

非系統性風險：

非系統性風險/specific risk/idiosyncratic risk

可以通過分散化投資減少；

投資者不會因為承擔該風險獲得回報；

當組合充分分散，系統性風險趨近于0

系統性風險衡量指標：

公式：

βi=Cov?(Ri,Rm)σm2=ρi,mσiσm\beta_{i}=\frac{\operatorname{Cov}\left(R_{i}, R_{m}\right)}{\sigma_{m}^{2}}=\rho_{i, m} \frac{\sigma_{i}}{\sigma_{m}}

；

理解：對于某資產 i 的定價，應當等于無風險收益率+超額風險的回報率。

CAPM模型計算出的價格是為了 compensate for the systematic risk；

Security Market Line

含義：CAPM 的圖象

圖象

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-kPnHBYjm-1648540741636)(FRM_1%204012f/Untitled%205.png)]

當市場均衡，正確定價時，所有的資產應當都在 SML 上。因此也可以用 SML 判斷市場是否被正確定價?？梢哉J為 SML 是價格，圖中 A，B，C 三點是實際價值。因此 A 正確定價；B 被高估，應當賣出；C 被低估，應當買入。

SML與CML比較

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-lYhUsKeH-1648540741640)(FRM_1%204012f/Untitled%206.png)]

理論模型：Measurement

Sharpe Performance Index

公式：

I=\frac{E\left(R_{i}\right)-R_{f}}{\sigma_{i}}

；

夏普比率衡量的是承擔總體風險的回報；

夏普比率中的E(Ri) **可以用CAPM進行計算。

Treynor Performance Index (TPI)

含義：對于某投資組合承擔單位beta（系統性風險）所帶來的回報率；

公式：

I=\frac{E\left(R_{i}\right)-R_{f}}{\beta_{i}}

Sharpe Ratio 由于分母是總體風險，因此既可以評估充分分散化投資組合，也可以評估未分散的投資組合；而 Treynor Ratio由于分母是系統性風險beta，無法捕捉到非系統性風險，因此只能用此評估充分分散化的投資組合。

Jenson Alpha

公式：

Jenson’?α=Rp?{Rf+β[E(Rm)?Rf]}\text { Jenson' } \alpha=R_{p}-\left\{R_{f}+\beta\left[E\left(R_{m}\right)-R_{f}\right]\right\}

；

記憶：風險債券收益率-CAPM

Active Management: Alpha, Tracking Error & Information Ratio

公式

Alpha：

R_p-R_{BMK}

；

Tracking Error：

TE=σα=σRP?RBMKTE=\sigma_\alpha=\sigma_{R_P-R_{BMK}}

;

Information Ratio：

IR=AverageActiveReturnTrackingError=ασαIR=\frac{AverageActiveReturn}{Tracking Error}=\frac{\alpha}{\sigma_\alpha}

；

說明

TE 與 IR 都是以基準組合為依據，衡量投資組合風險回報的指標；

TE 衡量承擔了多少的主動風險；IR 衡量了承擔一單位的主動風險所獲得的收益；

Sortino Ratio

公式：

R=\frac{R_{p}-R_{B M K}}{ \sqrt{\frac{1}{N} \Sigma_{t=1}^{N} \min \left(0, R_{p t}-R_{B M K}\right)^{2}}}

;

只衡量半波動率

理論模型：APT & Multifactor

APT

公式：

E(Rp)=Rf+βp,1λ1+?+βp,kλkE\left(R_{p}\right)=R_{f}+\beta_{p, 1} \lambda_{1}+\cdots+\beta_{p, k} \lambda_{k}

;

假設：不存在套利機會（APT唯一一個假設條件）；

說明：

投資者可以充分分散化投資稀釋非系統性風險，故資產回報可以被系統性風險完全解釋（因此選擇的風險敞口為beta）；

預期收益率是一系列風險因子的線性表達式；

CAPM可以看作是APT模型的一個特例，即只考慮市場組合的風險溢價。

Fama- French Three Factors Model

Factors： Market index（MKT），firm size（SMB），book-to-market ratio（HML）；

公式：

E(Ri)=Rf+βi,MKTE(Rm?Rf)+βi,SMBE(SMB)+βi,HMLE(SML)E\left(R_{i}\right)=R_{f}+\beta_{i, M K T} E\left(R_{m}-R_{f}\right)+\beta_{i, S M B} E(S M B)+\beta_{i, H M L} E(S M L)

**；

ERM & Risk Aggregation

Data Aggregation & Risk Reporting

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-fYKZP3yj-1648540741644)(FRM_1%204012f/Untitled%207.png)]

ERM

Feature of ERM
關鍵詞：全面、整體；
Comprehensive and integrated，最小化波動，最大化收益；
自上而下推動，將整個機構視為entire portfolio。
Traditional Risk Management vs. ERM

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-yTTe9qKd-1648540741648)(FRM_1%204012f/Untitled%208.png)]
Motivation, benefit & cost
Motivation
Top-to-bottom vertical vision
Concentrations of wisk within the firm
Thinking beyond the silo
Risk retention decisioins
Benefits
Costs
Five key ERM dimensions
Targets: Enterprise goals
Risk appetite
Strategic goals
Structure: How we organize ERM
Governance framework
Identificaiton & Metrics: How we measure enterprise risk
Identify & measure
ERM strategies: How we manage ERM
Avoid
Mitigate
Transfer
Culture: How we do things
Enterprise 從公司層面達成共識
- Enterprise thinking
- Group /enterprise dynamics
Group
- Group thinking
- Recruitment of individuals to a group
Individual
- Recruitment criteria
- Mindset promoted by firm
Scenario analysis（實施ERM的良好手段）
- Dodd-Frank Act Stress Tests
- Comprehensive Capital Analysis and Reviews

補充

ERM的建立是經年累月的一個長久過程（multi-year engagement），而不是一蹴而就的（at the initial of the program）；

風險文化的外部指標：經濟周期、行業事件、專業標準、監管標準；內部指標：公司問責制度、溝通制度、激勵制度等；

銀行可以通過機器學習來處理大量的數據，與更為廣泛的風險數據結合來分析風險文化的深入規律與預警信號，但是僅僅憑數據的收集是遠遠不夠的；

Risk analysis 最后要給出明確結論，不可以是open ended；

原先的independent departmental applications & methodologies 效果不好，被14 principals替代；

金融危機與其他金融風險事件

07~09 Financial Crisis

Haircut：融資資金額度與抵押物價值之差；當危機爆發時，haircut上升；

評級機構對于結構化產品曾經進行評估，但由于錯誤使用歷史數據、從發行人出獲取數據、發行人出錢聘請評級公司等原因，其評級結果是有問題的；

美聯儲為了增加流動性而使用的工具：

TAF: Term Auction Facility
PDCF: Primary Dealer Credit Facility
TARP: Troubled Dealer Relief Program

Other Financial Disasters

LTCM 長期資本管理公司
- 事件簡介：高桿桿對沖基金，當發生虧損時敞口巨大；做多意大利國債，做空德國國債，后俄羅斯發生違約，flight to quality，導致巨額虧損；最終美聯儲主持收購注資救市；
- Failing Factors：
  - Trading models：模型沒有充分考慮極端市場情況（極端風險時，各個資產之間的相關性急劇上升）；
  - Liquidity Risks：沒有考慮高杠桿影響（危機出現時，流動性迅速枯竭）；
  - Risk measurement models：VaR模型對于尾部風險評估不足等。
London Whale 倫敦鯨
- London Whale, JP Morgan在倫敦的分行；
- 事件簡介：Bruno Iksil 任職于摩根大通位于倫敦的首席投資室（Chief Investment Office，簡稱CIO）。市場普遍推測，2012年初，該交易員進行了大量不同期限品種的信用衍生品合約買賣交易，甚至參與了和多家對沖基金的對賭，押注企業信用環境未來將有所改善。2012年4月份以后，受歐債危機演變和全球經濟復蘇不佳等因素影響，金融市場動蕩加劇，市場信用環境惡化，企業違約風險攀升，首席投資室的交易策略失敗，在短短六周時間內交易虧損達到20億美元，且虧損金額仍在不斷擴大。
- Failing Factors：
  - Model risk：CIO認為原先的VaR模型過于保守，高估了風險（置信度水平過高），因此降低了置信度修改了VaR，而這導致了更大的風險，增加了損失；
  - Corporate Governance：CIO的新VaR模型并沒有被監管方OCC批準；
  - Operational Risk：JP采用容易出錯的手動輸入數據的方式，還有公式、計算錯誤等，導致VaR模型極不可靠。
Metallgesellschaft 德國金屬公司
- 事件簡介：MGRM，其專門從事石油交易的分公司簽訂了一個long-term fixed-price contract（10年遠期空頭），并且相應地通過購買短期石油期貨多頭進行對沖。由于對沖策略，市場由backwardation轉向contango，滾倉成本升高，加上期貨逐日盯市，流動性枯竭，造成大量損失。
- 關鍵詞：
  - 期限錯配；
  - Short long-term forward+long short-term futures；
  - Stack & roll 滾期；
  - 存在子母公司溝通問題，雙方會計記賬要求不同，導致賬面的虧損。
- Failure Factors：
  - Curve risk：市場由backwardation轉向了contango；
  - Hedging Strategies：即使看似吸引人的策略在市場情況發生改變時也可能帶來不小的風險。
- 德國金屬公司Metallgesellschaft沒有進行大量杠桿的操作；
Saving & Loan Crisis 美國儲貸協會
- 事件簡介：儲蓄貸款機構未能管理好自己的利率風險，當利率朝向不利方向波動時，行業遭受巨大損失，引發曠日持久的危機。最終由美國政府花費USD160million救市。
- Lesson learned：
  - Asset liability Management：公司應當管理器資產負債表；
  - Duration Matching Tools：久期匹配，利率風險的敏感程度應當相同。
Sachsen 薩克森地方銀行
- 事件簡介：在都柏林專門進行MBS產品投資，然而MBS的AAA產品質量并不好。一開始公司獲得大量利潤，在金融危機爆發后，公司產生大量虧損。最終被Landsbank 收購。
Barings, Nick Leeson 巴林銀行
- 事件簡介：short straddle on Nikkei 224，后 double long in Nikker 225 futures.
Orange County 橘子郡
- 高杠桿投資復雜金融產品；
- 投資交易員：Robert Citron；
- 對自己所持頭寸的風險一無所知，沒有足夠的風險管理知識對利率變化進行壓力測試。
Enron 安然
- 管理層腐敗，集體財務造假。
Lehman Brothers 雷曼兄弟
- US 房產泡沫導致次貸市場崩潰是Lehman Brothers破產倒閉的主要原因；
- Lehman 短期融資巨額資金，投資到流動性差的房地產市場中，因此出現liquidity問題；
- Lehman杠桿過高；
- Barclays 與 Bank of America 等都曾經想收購 Lehman Brothers，但最終以失敗告終，因此Lehman Brothers最終以倒閉收場；

Quantitative Analysis

Probability & Statistics

IQR (interquartile range)

定義: $α0.75?α0.25\alpha_{0.75}-\alpha_{0.25}$ ；
即使變量嚴重肥尾分布，但是分位數也不受極端值影響，總是可以"robust to apply and well-defined"；
IQR與標準差類似，反應都是觀測值的離散程度（measure of dispersion）而不是中心趨勢（central tendency）。

skewness與kurtosis

Leptokurtic 尖峰， Platykurtic 矮峰；
要注意題目中給的是excess kurtosis還是kurtosis，例如題目中給到excess kurtosis=2.9761，非常tricky；
肥尾一般對應著尖峰。

Lognormal

對數正態，卡方分布與F分布的PDF圖形相似，均為右偏，且以零為下界；
對數正態分布常用語對資產的價格進行建模。

常用特征數的計算

$ρ(a+bX,c+dY)=sgn?bsgn?dρ(X,Y)Cov?(a+bX,c+dY)=bdcov?(X,Y)skew?(aX+b)=sgn?askew?(X)kurt?(aX+b)=kurt?(X)\begin{aligned}&\rho(a+b X, c+d Y)=\operatorname{sgn} b \operatorname{sgn} d \rho(X, Y) \\&\operatorname{Cov}(a+b X, c+d Y)=b d \operatorname{cov}(X, Y) \\&\operatorname{skew}(a X+b)=\operatorname{sgn} a \operatorname{skew}(X) \\&\operatorname{kurt}(a X+b)=\operatorname{kurt}(X)\end{aligned}$

評價統計量

unbiased：統計量的期望與總體參數相同；
- 一個無偏的估計量在經過線性運算后是無偏的，而經過非線性運算通常是有偏的。例如：通過無偏的協方差與方差計算的相關系數是有偏的；樣本方差的估計量是無偏的，樣本的標準差是有偏的。
- 協方差與方差的計算無偏估計量時對應的自由度都是
consistent：隨著樣本容量的增加，估計的準確性增加，抽樣誤差減少；
efficient：在所有無偏統計量中，擁有更小的方差。

BLUE (Best Linear Unbiased Estimator)

在所有線性、無偏估計的統計量中，方差最小的統計量；
比較的前提是線性、無偏，也就是要在"among all linear unbiased estimators"中確定方差最小的；
在非線性的估計量中可能存在更優的估計量。

Hypothesis Testing

置信區間

置信度相同時，t分布于正態分布有更寬的置信區間；
Significance level 代表了觀察值落在置信區間之外的概率；
有時在計算置信區間時，不能得到具體的數值區間，而只能計算區間長度。通過比較選項中的區間長度從而得到選項。

檢驗統計量

檢驗統計量(t-statistics/z-statistics) >關鍵值，拒絕原假設；
T分布于F分布是常用于假設檢驗的分布，當檢驗兩個均值是否相等時用t分布；如果想要檢驗模型整體(as a whole)是否具有解釋力度，則應使用F-test；
題目中若提及大樣本（一般而言）則有中心極限定理可認為該樣本服從正態分布；
檢驗統計量的選擇：

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-OnWF1EJ5-1648540741652)(FRM_1%204012f/Untitled%209.png)]

Type I error & Type II error

I 類錯誤在于拒真；二類錯誤在于存偽；
顯著性水平的降低會減少I類錯誤，增加II類錯誤；
樣本容量的減少會增加I類錯誤及II類錯誤。
Power of the test：檢驗統計力，拒絕錯誤假設的概率。發生二類錯誤的概率為 **;

P Value

含義：拒絕原假設最小的顯著性水平；
若 significance level > p，則拒絕原假設；

Jarque-Bera Test

假設檢驗，用來檢驗隨機變量是否服從正態分布；
H0：隨機變量服從正態分布，偏度=0，峰度=3；

常用數據

雙尾標準正態分布中，依賴因子及其對應的置信區間：

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-NOIkA7YR-1648540741656)(FRM_1%204012f/Untitled%2010.png)]

Linear Regression

一元線性回歸

β=cov?(X,Y)Var?(X),α=Y?βX\beta=\frac{\operatorname{cov}(X, Y)}{\operatorname{Var}(X)}, \alpha=Y-\beta X

;

R2=ESSTSS=TSS?RSSTSSR^{2}=\frac{E S S}{T S S}=\frac{T S S-R S S}{T S S}

，其含義為因變量有R2比例的內容可以被自變量解釋 ;

在一元線性回歸中，

ρ=R\rho=R

；

R2的范圍為[0,1]，而adj R2 可以為負,且adj R2定不大于R2；

adj?R2=1?(n?1n?k?1)(1?R2)\text { adj } R^{2}=1-\left(\frac{n-1}{n-k-1}\right)\left(1-R^{2}\right)

,其中n為樣本容量，k為自變量個數；

新變量的引入會使R2 與 adj. R2 增加，因此要判斷一個變量是否統計顯著只能通過假設檢驗；

多元線性回歸

例

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-xhrMQbM3-1648540741660)(FRM_1%204012f/Untitled%2011.png)]

Intercept：B0，X1：B1，X2：B2 …；
在比較時將各自變量的p值與與significant level比較（本題為5%）；
總體統計量的表現程度在ANOVA表格中，例如計算R2以及判斷F檢驗p value顯著性等。

回歸時可能出現的問題：

Heteroskedasticity：異方差
- 回歸殘差的方差會隨著自變量的變化而變化；
- 不會影響最小二乘法下的無偏性，但是會影響最小二乘法的一致性；
Multicollinearity：多重共線性
- 多重共線性不會影響最小二乘法的無偏性；
Perfect collinearity：完全共線性/啞變量陷阱
- 同時設出所有的啞變量再加上結局項就會導致問題，類似于“自由度”溢出，例：
  
  [外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-4In1BIgp-1648540741664)(FRM_1%204012f/Untitled%2012.png)]
- 會導致嚴重問題，使得分母為零，計算機出錯；
Omitted variables：遺漏變量
- 會導致不滿足無偏性與一致性；

模型的檢驗優化

GtS (Generate to Specific)

基本思想：從具有較多變量的大模型入手，逐步剔除不顯著的變量，直到所有的變量相關系數都顯著為止，最終得到的模型不存在變量不顯著的情況；

m-fold cross-validation

利用樣本外數據做模型檢驗，計算RSS最小的模型作為候選模型；

Dependences 各種相關系數

一元線性回歸中，自變量因變量都標準化后，回歸系數=相關系數；
Kendal’s tau & Spearman’s correlation
- Kendal’s tau 范圍為[-1,1]，跟規模變化無關；
- Spearman’s correlation & Kendal’s tau 只考慮隨機變量的排序，不考慮隨機變量本身的取值；因此對隨機變量進行單調遞增不會改變該數值，其對異常值不敏感；
Pearson Correlation
- 用于測量線性相關；
- $β=ρσYσX\beta=\rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}$ ；
- 線性相關系數在應用在異方差上沒有區別；

Time Series

White Noise

殘差項 $εt\varepsilon_t$ 為 serially uncorrelated，無法得出 $εt\varepsilon_t$ 是獨立白噪聲；
one-step-ahead forecast的殘差為白噪聲表明模型較優；

AR, MA, ARMA 模型與檢驗

AR(1)
- 含有參數 $φ\varphi$ ，當 $∣φ∣<1|\varphi|<1$ 時協方差平穩；
- AR模型的長期預測值與均值復歸水平： $截距1?斜率\frac{截距}{1-斜率}$ ；
- 體現了一個隨機過程及其前一期的值之間的關系；
MA(1)
- 含有參數 $θ\theta$ , 其對于任何取值都是方差平穩的；
As time lag length increases:

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-NRtW3mfV-1648540741668)(FRM_1%204012f/Untitled%2013.png)]
Box-Pierce統計量
- 檢驗ARMA模型，檢驗所有的殘差項之間的自相關系數同時為0的原假設；
- 其滯后項h不是越大越好，而應保持適中；

ACF&PACF

ACF：自相關函數
- 衡量時間序列某一組數據和滯后h期的數據之間的相關性；
- ACF的絕對值越大，相關性越強；
PACF：偏自相關函數
- 衡量的是 $yt,yt?τy_t,y_{t-\tau}$ 之間的自相關函數，且保持其之間的變量不變；

協方差平穩

期望值恒定、方差恒定、自協方差恒定，可以用歷史數據預測未來樣本的數據；

Random Walk

初始值Y0與各期的沖擊對未來數值Yt有相同的權重；
任意一期沖擊對于未來值都將產生永久影響；
隨著時間推移，隨機游走會變得越來越發散；
ADF(Augmented Dickey-Fuller)假設檢驗：
- H0： $γ=0\gamma=0$ （時間序列是隨機游走）；
- Ha： $γ<0\gamma<0$ （時間序列是協方差平穩的）；

Time Trend

若時間序列有恒定增長率，則應當用log-linear trend而不是polynominal trend；
季節性應當通過啞變量進行體現；
季節性與時間趨勢是非平穩的時間序列，其殘差項不是白噪聲；
cycle是指排除季節性與時間趨勢的其他波動性；

Monte Carlo & Boot Strapping

Monte Carlo

輸出結果的質量受到輸入參數質量較大的影響；
Monte Carlo模擬要依賴于某一分布，其分布可以是lognormal distribution等；
缺點為計算量大；
在模擬過程中，通過增加模擬次數減少標準誤的計算成本較高；
誤差減少方法：
- Control Variables
  - 模擬一個更為熟悉的變量以減少誤差；
- Antithetic Variables
  - 構建與原先變量完全負相關的對偶變量；
Data Generating Process （DGP）是進行Monte Carlo的一個步驟；

Bootstrapping

Bootstrapping算法，指的就是利用有限的樣本資料經由多次重復抽樣，重新建立起足以代表母體樣本分布的新樣本。bootstrapping的運用基于很多統計學假設，因此假設的成立與否影響采樣的準確性。
Bootstrapping不對數據的分布進行假設；
當金融市場出現大型震動時，會極大程度影響模擬效果；
并不保證樣本空間中的所有取值都會被抽到；

Application

VaR

假設稀有事件服從伯努利分布；
實驗總數為觀測天數；
為稀有事件發生的概率；
例
- Question:
  
  1-day 99% VaR. Assuming the model is correctly calibrated, and all exceedances are independent of each other, what is the probability that there are exactly six exceedances over a period of 250 trading days.
- Answer:
  
  $n=250,p=1?VaR=1%,X=6P(X=6)=C2506(0.01)6(0.99)244=2.75%\begin{aligned}&n=250, p=1-V a R=1 \%, X=6 \\&P(X=6)=C_{250}^{6}(0.01)^{6}(0.99)^{244}=2.75 \%\end{aligned}$

[

Portfolio

例
- Question:
  
  [外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-NYRNxSYX-1648540741672)(FRM_1%204012f/Untitled%2014.png)]
  
  $ρ=0.3\rho=0.3$
  
  What is the probability of the portfolio return is less than
  11.8%?
Answer:
- 計算單個資產的權重： $ωA=4000040000+60000=0.4,ωB=0.6\omega_{A}=\frac{40000}{40000+60000}=0.4, \omega_{B}=0.6$ ;
- 計算投資組合標準差： $σp=ωA2σA2+ωB2σB2+2ωAσAωBσBρ=15.2%\sigma_{p}=\sqrt{\omega_{A}^{2} \sigma_{A}^{2}+\omega_{B}^{2} \sigma_{B}^{2}+2 \omega_{A} \sigma_{A} \omega_{B} \sigma_{B} \rho}=15.2 \%$
- 計算投資組合期望收益率： $Rp=ωARA+ωBRB=8.6%R_{p}=\omega_{A} R_{A}+\omega_{B} R_{B}=8.6 \%$
- 此時該投資組合服從分布： $Rp～N(8.6%,0.1522)R_p\sim N(8.6\%,0.152^2)$
- 正態分布計算可得最終所求為： $Z(0.21)=58.32%Z(0.21)=58.32\%$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的FRM1 P1B1P1B2 整理笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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