入射波反射波和駐波的基本推導

學習雷達過程中，發(fā)現(xiàn)阻抗匹配是一道邁不過去的坎，而阻抗匹配、能量傳輸與電壓駐波比又有千絲萬縷的聯(lián)系，而電壓駐波比則與反射波、入射波等相關(guān)的特性有關(guān)，于是寫下此文章記錄一下推導過程。 懶得正經(jīng)畫圖，僅作為記錄備份，大家湊合看。

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推導

波的傳播過程如下圖所示

可見，后面的波的相位是滯后于前面的波的。而且波函數(shù)不僅和傳播距離$r$有關(guān)，還和時間$t$有關(guān)。令入射波為$f_1(t,r)$，反射波為$f_2(t,r)$,合成波為$f(t,r)$。那么推導如下
$f_1(t,r)=sin(\omega (t?\frac{r}{v}))=sin(\omega t?\frac{\omega r}{v})=sin(\omega t?kr)$
其中$r$為傳播距離，$v$為波速。$k=\frac{2\pi }{\lambda },v=\lambda f,\omega =2\pi f$。

那么當波到達$R$處，碰到反射體，那么將會產(chǎn)生反射波。
首先有入射波滿足
$f_1(t,R)==sin(\omega (t?\frac{R}{v}))=sin(\omega t?kR)$。假設(shè)反射造成的附加相移為${?}_{\Delta }$，一般來說波疏介質(zhì)到波密介質(zhì)傳播發(fā)生反射時附加相移就是$\pi$，但是其它情況就不確定了。那么反射波$f_2(t,R)=sin(\omega t?kR+{?}_{\Delta })$。那么反射波由右向左傳播，那么傳播距離為$R?r$，則有
$f_2(t,r)=sin(\omega (t?\frac{R}{v}?\frac{R?r}{v})+{?}_{\Delta })=sin(w(t+\frac{r}{v})+{?}_{\Delta }?\frac{2R}{v})$。
那么有$\frac{2R}{v}$可看成常數(shù)${?}_1$，令$?={?}_{\Delta }?\frac{2R}{v}$，有
$f_2(t,r)=sin(\omega t+kr+?)$

那么有合成波$f(t,r)=f_1(t,r)+f_2(t,r)$，通過和差化積，得到
$f(t,r)=2cos(kr+\frac{?}{2})sin(\omega t+\frac{?}{2})$。

可見，合成波在距離上呈現(xiàn)余弦波包絡(luò)，包絡(luò)內(nèi)部波隨著時間震蕩。

駐波

兩列沿相反方向傳播的振幅相同、頻率相同的波疊加時形成的波叫做駐波。可見，反射波和入射波恰好符合形成駐波的條件。那么波節(jié)的位置即可以讓余弦項為0求得，波腹則讓余弦項最大。最終結(jié)果不好展示，貼個MATLAB代碼大家去試試吧。

f = 300; w = 2*pi*f; R = 10; v = 10; lambda = v/f; phi = pi/2;r = 0:0.001:0.5; k = 2*pi/lambda;axis([0 0.5 -2 2]); for t = 0:0.0001:1f4 = sin(w*t + phi/2); %內(nèi)部振幅f3 = 2*cos(k*r+phi/2); %包絡(luò)f5 = f3.*f4;f1 = sin(w*t-k*r);f2 = sin(w*t+k*r+phi);f = f1+f2;figure(1)hold onplot(r,f,'r');plot(r,f3,'--'); % plot(r,f5,'b-');pause(0.1);hold offclfaxis([0 0.5 -2 2]); end

如果反射電壓幅度和入射電壓幅度不一致，那么可用下面的程序來進行模擬

f = 300; w = 2*pi*f; R = 10; v = 10; lambda = v/f; phi = pi/2;r = 0:0.001:0.5; k = 2*pi/lambda;A1 = 1; A2 = 0.5;axis([0 0.5 -2 2]); for t = 0:0.0001:1f4 = sin(w*t + phi/2); %內(nèi)部振幅f3 = 2*cos(k*r+phi/2); %包絡(luò)f5 = f3.*f4;f1 = A1*sin(w*t-k*r);f2 = A2*sin(w*t+k*r+phi);f = f1+f2;figure(1)hold onplot(r,f,'r');plot(r,f3,'--'); % plot(r,f5,'b-');pause(0.1);hold offclfaxis([0 0.5 -2 2]); end

不過這樣好像無法形成駐波，有點暈。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的入射波反射波和驻波的特性推导的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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