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一桌人在吃燒烤，其中有三個(gè)人不小心將醬汁沾到臉上，大家都能看到別人的臉但不知道自己的。出于禮貌各人都默不吱聲，也不敢露怯去摸自個(gè)兒的臉。這時(shí)候女招待進(jìn)來(lái)說(shuō)：“這里有人臉臟了，請(qǐng)他自己擦了。”連說(shuō)兩次都沒(méi)人反應(yīng)，到了第三次，剛好是這三個(gè)人明白過(guò)來(lái)，把自個(gè)兒的臟臉擦了。問(wèn)：他們是怎么知道的？??

這個(gè)問(wèn)題是?1953?年?Littlewood?書(shū)中一個(gè)例子的變種，中文稱(chēng)為“臟臉博弈”。其他諸如帽子顏色，眼睛顏色，一個(gè)村莊的慘案等等都是這個(gè)問(wèn)題的變種，具有相同的邏輯結(jié)構(gòu)。這類(lèi)問(wèn)題邏輯上比較繞，需要有很清晰的頭腦才能想通。我看過(guò)的解法都沒(méi)把道理說(shuō)透。直到學(xué)了“公共知識(shí)”的理論才想通了。在這里給大家介紹一下。

首先，女招待的話(huà)包含兩個(gè)內(nèi)容。一是：至少有一個(gè)人臉臟了。二是：要求知道了的人自己出來(lái)承認(rèn)。這一桌人都不傻，都會(huì)根據(jù)女招待的話(huà)和大家的反應(yīng)去推測(cè)自己的狀態(tài)。

女招待說(shuō)后，“至少有一個(gè)臉臟了”這個(gè)判斷就成為大家的公共知識(shí)，誰(shuí)都可以用它來(lái)進(jìn)行推斷。這時(shí)候大家想：如果只有一個(gè)人臉臟了，那么這個(gè)臟臉的人會(huì)看到別人全是干凈的臉，他就該明白這個(gè)臟臉人是他自己了。女招待說(shuō)了一次后，他就會(huì)馬上把自己臉給擦了。女招待說(shuō)了一次后沒(méi)人行動(dòng)，這說(shuō)明原來(lái)的假設(shè)不對(duì)了，這臟臉的人至少得有兩個(gè)。

大家都是聰明人，我知道這推斷，你也知道這推斷，我知道誰(shuí)都知道這推斷，誰(shuí)都知道我知道這推斷，。。。，一句話(huà)，這“臟臉的人至少有兩個(gè)”也成了公共知識(shí)，大家都可以用來(lái)推測(cè)別人的推斷。好了，如果只有兩個(gè)臟臉，那其中一人只能看到一個(gè)臟臉，他就該明白自己也是臟臉。女招待催促第二次后，他倆會(huì)乖乖地把臉擦了。還沒(méi)人出來(lái)認(rèn)賬，說(shuō)明這臟臉的人至少有三個(gè)。

當(dāng)這三位臟臉的老兄，在現(xiàn)實(shí)中只看到桌上兩個(gè)臟臉時(shí)，就會(huì)在女招待第三次催促時(shí)把臉給擦了。至于桌上的其他人，知道至少有三個(gè)臟臉時(shí)，他們看到的是三張臟臉，正在忐忑不安地看別人的反應(yīng)，還無(wú)法判斷自己是否臟臉。到了這三位臟臉的老兄擦了臉，其他人就明白了原來(lái)自己的臉不臟，不然這臟臉的老兄看到的也是三張臟臉，就不會(huì)推斷出自己的臉臟。依照這個(gè)邏輯，我們可以很容易地推廣到?N?個(gè)臟臉人的情況，他們都會(huì)在女招待第?N?次催促后明白過(guò)來(lái)。請(qǐng)注意，這桌中可以有任何數(shù)量臉沒(méi)臟的人。

舉例

有個(gè)村子有100對(duì)夫妻，村里有一個(gè)奇特的風(fēng)俗：每天晚上，村里的男人們都將點(diǎn)起篝火，繞圈圍坐舉行會(huì)議，議題是談?wù)撟约旱钠拮印Ｔ跁?huì)議開(kāi)始時(shí)，如果一個(gè)男人有理由相信他的妻子對(duì)他總是忠貞的，那么他就在會(huì)議上當(dāng)眾贊揚(yáng)她的美德。另一方面，如果在會(huì)議之前的任何時(shí)間，只要他發(fā)現(xiàn)他妻子不貞的證據(jù)，那他就會(huì)在會(huì)議上悲鳴慟哭，并企求神靈嚴(yán)厲地懲罰妻子。如果一個(gè)妻子曾有不貞，那她和她的情人會(huì)立即告知村里除她丈夫之外所有的已婚男人。這個(gè)風(fēng)俗雖然十分奇怪，但是人人遵守。
　　事實(shí)上，每個(gè)妻子都已對(duì)丈夫不忠。于是每個(gè)丈夫都知道除自己妻子之外其他人的妻子都是不貞的女子，因而每個(gè)晚上的會(huì)議上每個(gè)男人都贊美自己的妻子。這種狀況持續(xù)了很多年，直到有一天來(lái)了一位傳教士。傳教士參加了篝火會(huì)議，并聽(tīng)到每個(gè)男人都在贊美自己的妻子，他站起來(lái)走到圍坐圓圈的中心，大聲地提醒說(shuō)：“這個(gè)村子里至少有一個(gè)妻子已經(jīng)不貞了。”
　　在此后的99個(gè)晚上，丈夫們繼續(xù)贊美各自的妻子，但在第100個(gè)晚上，他們?nèi)急Q慟哭，并企求神靈嚴(yán)懲自己的妻子。
　　這是一個(gè)有趣的推理過(guò)程：由于這個(gè)村里的每個(gè)男人都知道另外的99個(gè)女人對(duì)自己的丈夫不忠，當(dāng)傳教士說(shuō)“至少有一個(gè)妻子不貞了”，由此并不能必然推出這個(gè)“不貞”的女人是自己的妻子，因?yàn)樗肋€有99個(gè)女人對(duì)自己的丈夫不忠。
　　于是這樣的推理持續(xù)了99天，前99天每個(gè)丈夫不能確切懷疑到自己的妻子。而當(dāng)?shù)?00天的時(shí)候，如果還沒(méi)有人慟哭，那表明所有的女人都忠于自己的丈夫，而這顯然與“至少有一個(gè)妻子不貞”的事實(shí)相悖。于是，每個(gè)男人都可確定地推理出來(lái)自己的妻子已經(jīng)紅杏出墻，于是，總體的推論結(jié)果便是：這100個(gè)妻子都出軌了。
　　傳教士對(duì)“至少有一個(gè)妻子不貞了”這個(gè)事實(shí)的宣布，似乎并沒(méi)有增加這些男人對(duì)村里女人不忠行為的知識(shí)，他們其實(shí)都知道這個(gè)事實(shí)。為什么100天后他們都傷心欲絕呢？根源在于共同知識(shí)的作用。一件事一旦在某個(gè)群體中成為共同知識(shí)，則從任何一個(gè)個(gè)體出發(fā)，他對(duì)這件事的理解都已達(dá)到了與這個(gè)群體的完全統(tǒng)一。
　　傳教士的宣布使得村子里的男人的知識(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，本來(lái)“至少一個(gè)妻子不貞了”對(duì)每個(gè)男人都是知識(shí)，但不是共同知識(shí)，而傳教士的宣布使得這個(gè)事實(shí)成為大家的“共同知識(shí)”。
　　“公共知識(shí)”的概念最早是由美國(guó)邏輯學(xué)家劉易斯提出的，之后經(jīng)過(guò)邏輯學(xué)家辛迪卡以及博弈論專(zhuān)家阿曼等人的發(fā)展，現(xiàn)已成為邏輯學(xué)、博弈論等學(xué)科里頻繁使用的一個(gè)概念。
　　所謂“公共知識(shí)”，是指某一個(gè)群體的知識(shí)，也就是一個(gè)群體人們之間的對(duì)某個(gè)事實(shí)知道的關(guān)系。
　　在日常生活中，許多事實(shí)都是公共知識(shí)，比如，人總會(huì)有一死、地球繞著太陽(yáng)轉(zhuǎn)，對(duì)于這些事實(shí)，人所共知，你知道的，別人知道，別人知道的，你也知道。公共知識(shí)在我們?nèi)粘?duì)話(huà)和交流中起著十分重要的作用，它既是人們進(jìn)行交流和對(duì)話(huà)的起點(diǎn)——從已知的公共知識(shí)入題，也是交流和對(duì)話(huà)的終點(diǎn)——形成新的公共知識(shí)。
　　假設(shè)一個(gè)人群只有甲、乙兩個(gè)人構(gòu)成，兩人均知道且相信一件事實(shí)P，那么，我們就可以說(shuō)P是甲、乙的知識(shí)，但此時(shí)并不能說(shuō)P就是他們的公共知識(shí)，只有當(dāng)甲、乙雙方均知道對(duì)方知道P，并且他們彼此都知道對(duì)方知道自己知道P，這時(shí)才可以說(shuō)P成了甲、乙之間的公共知識(shí)。
　　如果這個(gè)群體是由多人組成的，就不單指任意兩個(gè)人這樣一個(gè)雙方“知道”某件事實(shí)的過(guò)程，還指群體當(dāng)中每個(gè)人知道該群體的其他人知道這個(gè)事實(shí)，并且其他人也知道其他的每個(gè)人都知道這個(gè)事實(shí)，臟臉博弈是一個(gè)無(wú)窮的知道過(guò)程。
　　在生活交際中，共同知識(shí)起著不可或缺的作用，只不過(guò)多數(shù)時(shí)候我們并沒(méi)有留心而已。舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。小王決定做一個(gè)體檢，在經(jīng)歷抽血、B超等多方位檢查后，發(fā)現(xiàn)有一項(xiàng)“屈光不正”需要去眼科診療。花了8元錢(qián)的掛號(hào)費(fèi)后，根據(jù)指引去做光學(xué)檢驗(yàn)。原來(lái)，“屈光不正”就是近視眼。“屈光不正”是醫(yī)學(xué)工作者的共同知識(shí)，但小王并不清楚這樣的知識(shí)，以致讓自己多花冤枉錢(qián)。
　　由此可以看出，沒(méi)有共同知識(shí)，會(huì)給整個(gè)社會(huì)增加許多溝通成本。對(duì)于我們而言，多掌握一些共同知識(shí)，臟臉博弈對(duì)于生活具有重要的意義。

假設(shè)一個(gè)老師教3個(gè)孩子，其中一個(gè)孩子臉上有泥巴，而每個(gè)孩子不知道自己臉上有沒(méi)有泥巴，如果老師說(shuō)，你們3個(gè)人中，有的臉上有泥巴，有的沒(méi)有，那么這些孩子是如何做出判斷的呢？

這里我們用到一個(gè)詞匯：公共知識(shí)。這里的公共知識(shí)是什么呢，首先，每個(gè)孩子都有邏輯推理能力，孩子看不到自己臉上是否有泥巴，孩子們都相信老師的話(huà)。

那么判斷是如何做出呢，假設(shè)這3個(gè)孩子里只有一個(gè)人臉上有泥巴，那么他看到其他兩個(gè)孩子臉上都是干凈的，會(huì)立刻判斷出自己臉上有泥巴，而另外兩個(gè)孩子都不能確定自己臉上是否有泥巴，所以在判斷時(shí)猶疑不定，拿不準(zhǔn)主意了。

但如果假設(shè)這3個(gè)孩子中有2個(gè)孩子臉上有泥巴，那么結(jié)果就將發(fā)生微妙的變化，如果這時(shí)老師說(shuō)，知道自己臉上有泥巴的同學(xué)請(qǐng)舉手，這個(gè)時(shí)候由于兩個(gè)臉上有泥巴的孩子都不能確定自己臉上是否與有泥巴，所以會(huì)猶疑，而當(dāng)所有人都未舉手時(shí)，這兩個(gè)有泥巴的孩子會(huì)立刻判斷出自己臉上也有泥巴，因此到等到老師問(wèn)第二次的時(shí)候，這兩個(gè)孩子都會(huì)舉起手。

分析

“公共知識(shí)”的概念最早是由美國(guó)邏輯學(xué)家劉易斯提出的，之后經(jīng)過(guò)邏輯學(xué)家辛迪卡以及博弈論專(zhuān)家阿曼等人的發(fā)展，現(xiàn)已成為邏輯學(xué)、博弈論等學(xué)科里頻繁使用的一個(gè)概念。
　　所謂“公共知識(shí)”，是指某一個(gè)群體的知識(shí)，也就是一個(gè)群體人們之間的對(duì)某個(gè)事實(shí)知道的關(guān)系。公共知識(shí)，比如今天下雨，甲乙兩人都知道這個(gè)情況，但這并不是公共知識(shí)，真正的公共知識(shí)包括：甲明白乙知道今天下雨，乙也明白甲知道今天要下雨；并且甲要明白乙知道自己知道今天要下雨，乙也要明白甲知道自己知道今天會(huì)下雨。只有具備以上條件，甲乙二人的公共知識(shí)才是“今天下雨”。也就是說(shuō)，雙方對(duì)某一件事必須達(dá)到相互間的完全了解，才能說(shuō)這一事物是二人的共識(shí)。

“知識(shí)”是指包含事實(shí)，擁有的人理解它，并相信它的事件。但是“我知道，你知道，大家都知道的知識(shí)”并不就是公共知識(shí)。

?因?yàn)槲也恢滥闶欠裼羞@個(gè)知識(shí)，盡管事實(shí)上你是知道的。所以我不能用“你知道”這個(gè)知識(shí)的事實(shí)作為根據(jù)來(lái)推理。同樣，這時(shí)你也不知道我有這知識(shí)，也不能據(jù)此來(lái)推測(cè)我是怎么想的。所以“我知道，你知道，大家都知道的知識(shí)”只是“彼此的知識(shí)（?Mutual Knowledge?）”，彼此的知識(shí)不能用來(lái)推理，因?yàn)榧词鼓闶聦?shí)上已經(jīng)知道了，而且大家都是理性的人，但不了解你是否知道，我怎么知道你會(huì)怎么想呢？用想當(dāng)然來(lái)猜測(cè)別人知道些什么，依此來(lái)決定自己的行動(dòng)和推斷是不可靠的，這也是世界上許多錯(cuò)誤的根源。要借用對(duì)方的看法來(lái)推理，我必須知道：你知道了什么。記為“我知道（你知道的知識(shí)）”。我從你的角度來(lái)推理，我想象中的你所用的知識(shí)，不是實(shí)際上的你所知道的知識(shí)，而是“我知道（你知道的知識(shí)）”。別人想知道我的邏輯推理，根據(jù)的是“你知道（我知道的知識(shí)）”，如果是多人各自從對(duì)方的角度推理就必須根據(jù)“每個(gè)人知道（其他人知道的知識(shí)）”。這樣的知識(shí)就叫做“二階彼此的知識(shí)”。如果大家都知道了這個(gè)二階彼此的知識(shí)，其中包括諸如“我知道（你知道（我知道的知識(shí)））”和“張三知道（李四知道（王五知道的知識(shí)））”等等各種組合，有各種三重的“知道”，這叫三階彼此的知識(shí)，就可以用來(lái)進(jìn)行三層從對(duì)方角度的推理。這階數(shù)一直加到無(wú)窮的知識(shí)就叫做“公共知識(shí)”。公共知識(shí)是無(wú)窮階彼此的知識(shí)。在博弈研究中原來(lái)大家對(duì)博弈者有否公共知識(shí)是很馬虎的，自從1976年Aumann在他的《AGREEING TO DISGREE》論文中強(qiáng)調(diào)公共知識(shí)對(duì)相互理解的重要性后，這個(gè)概念已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用。兩個(gè)博弈學(xué)者R. Aumann和K. Binmore?長(zhǎng)達(dá)幾十年關(guān)于Backward Induction需要什么知識(shí)的爭(zhēng)論，也促進(jìn)了Aumann等人將公共知識(shí)公理化嚴(yán)格化。近十年來(lái)公共知識(shí)已經(jīng)成為認(rèn)知科學(xué)的基礎(chǔ)，進(jìn)而成為許多學(xué)科的基礎(chǔ)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的脏脸博弈的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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