高等數學（第七版）同濟大學 習題8-6

函數作圖軟件：Mathematica

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$\begin{array}{rlr}& 1.畫出下列曲線在第一卦限內的圖形：& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (1)?\begin{array}{l}x=1，\\ \\ y=2；\end{array}(2)?\begin{array}{l}z=\sqrt{4?x^2?y^2}，\\ \\ x?y=0；\end{array}& \\ & & \\ & (3)?\begin{array}{l}{x}^2+y^2=a^2，\\ \\ x^2+z^2=a^2.\end{array}& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& (1)& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (2)& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (3)& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 2.指出下列方程組在平面解析幾何中與在空間解析幾何中分別表示什么圖形：& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (1)?\begin{array}{l}y=5x+1，\\ \\ y=2x?3；\end{array}(2)?\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1，\\ \\ y=3.\end{array}& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& (1)?\begin{array}{l}y=5x+1，\\ \\ y=2x?3；\end{array}在平面解析幾何中表示兩直線的交點，在空間解析幾何中表示兩平面的交線.& \\ & & \\ & (2)?\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1，\\ \\ y=3.\end{array}在平面解析幾何中& \\ & & \\ & 表示橢圓\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1與其切線y=3的交點，在空間解析幾何中表示橢圓\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1與其切平面y=3的交線.& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 3.分別求母線平行于x軸及y軸而且通過曲線?\begin{array}{l}2x^2+y^2+z^2=16，\\ \\ x^2+z^2?y^2=0.\end{array}的柱面方程.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 方程組?\begin{array}{l}2x^2+y^2+z^2=16，\\ \\ x^2+z^2?y^2=0.\end{array}消去x，得3y^2?z^2=16，即母線平行于x軸而且通過已知曲線的柱面方程.& \\ & & \\ & 方程組?\begin{array}{l}2x^2+y^2+z^2=16，\\ \\ x^2+z^2?y^2=0.\end{array}消去y，得3x^2+2z^2=16，即母線平行于y軸而且通過已知曲線的柱面方程.& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 4.求球面x^2+y^2+z^2=9與平面x+z=1的交線在xOy面上的投影的方程.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 聯立方程組?\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=9，\\ \\ x+z=1.\end{array}消去z，得x^2+y^2+(1?x{)}^2=9，即2x^2?2x+y^2=8，& \\ & & \\ & 表示母線平行于x軸的柱面，因此，?\begin{array}{l}2x^2?2x+y^2=8，\\ \\ z=0.\end{array}表示已知交線在xOy面上的投影的方程.& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 5.將下列曲線的一般方程化為參數方程：& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (1)?\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=9，\\ \\ y=x；\end{array}(2)?\begin{array}{l}(x?1{)}^2+y^2+(z+1{)}^2=4，\\ \\ z=0.\end{array}& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& (1)將y=x代入x^2+y^2+z^2=9，得2x^2+z^2=9，取x=\frac{3}{\sqrt{2}}cost，則z=3sint，& \\ & & \\ & 得該曲線的參數方程?\begin{array}{l}x=\frac{3}{\sqrt{2}}cost，\\ \\ y=\frac{3}{\sqrt{2}}cost，\\ \\ z=3sint.\end{array}(0\le t<2\pi ).& \\ & & \\ & (2)將z=0代入(x?1{)}^2+y^2+(z+1{)}^2=4，得(x?1{)}^2+y^2=3，取x?1=\sqrt{3}cost，則y=\sqrt{3}sint，& \\ & & \\ & 得該曲線的參數方程?\begin{array}{l}x=1+\sqrt{3}cost，\\ \\ y=\sqrt{3}sint，\\ \\ z=0.\end{array}(0\le t<2\pi ).& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 6.求螺旋線?\begin{array}{l}x=acos\theta ，\\ \\ y=asin\theta ，\\ \\ z=b\theta .\end{array}在三個坐標面上的投影曲線的直角坐標方程.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 由?\begin{array}{l}x=acos\theta ，\\ \\ y=asin\theta .\end{array}得x^2+y^2=a^2，因此該螺旋線在xOy面上的投影曲線的直角坐標方程為?\begin{array}{l}{x}^2+y^2=a^2，\\ \\ z=0.\end{array}& \\ & & \\ & 由?\begin{array}{l}y=asin\theta ，\\ \\ z=b\theta .\end{array}得y=asin\frac{z}{b}，因此該螺旋線在yOz面上的投影曲線的直角坐標方程為?\begin{array}{l}y=asin\frac{z}{b}，\\ \\ x=0.\end{array}& \\ & & \\ & 由?\begin{array}{l}x=acos\theta ，\\ \\ z=b\theta .\end{array}得x=acos\frac{z}{b}，因此該螺旋線在xOz面上的投影曲線的直角坐標方程為?\begin{array}{l}x=acos\frac{z}{b}，\\ \\ y=0.\end{array}& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 7.求上半球0\le z\le \sqrt{a^2?x^2?y^2}與圓柱體x^2+y^2\le ax(a>0)的公共部分在xOy面和xOz面上的投影.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 如圖，所求立體在xOy面上的投影即為x^2+y^2\le ax，由方程組?\begin{array}{l}z=\sqrt{a^2?x^2?y^2}，\\ \\ x^2+y^2=ax.\end{array}得z=\sqrt{a^2?ax}，& \\ & & \\ & 因此所求立體在xOz面上的投影為由x軸，z軸和曲線z=\sqrt{a^2?ax}所圍成的區域.& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 8.求旋轉拋物面z=x^2+y^2(0\le z\le 4)在三坐標面上的投影.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 聯立方程組?\begin{array}{l}z=x^2+y^2，\\ \\ z=4.\end{array}得x^2+y^2=4，因此旋轉拋物面在xOy面上的投影為?\begin{array}{l}{x}^2+y^2\le 4，\\ \\ z=0.\end{array}& \\ & & \\ & 聯立方程組?\begin{array}{l}z=x^2+y^2，\\ \\ x=0.\end{array}得z=y^2，因此旋轉拋物面在yOz面上的投影為由z=y^2和z=4所圍成的區域.& \\ & & \\ & 聯立方程組?\begin{array}{l}z=x^2+y^2，\\ \\ y=0.\end{array}得z=x^2，因此旋轉拋物面在xOz面上的投影為由z=x^2和z=4所圍成的區域.& \end{array}$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高等数学（第七版）同济大学 习题8-6 个人解答的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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