第三章：集合與關系

3.1集合的概念與表示法

一、集合的定義、表示法

1.定義：集合是由某些可以互相區分的事物匯聚在一起組成的整體，用A，B，C表示。（注：元素具有確定性和互異性。）

2.有限集合A的元素個數記作 |A| 。

3.集合的表示法（列舉法，描述法）。

二、元素與集合關系、集合間關系

4.元素和集合的關系（屬于和不屬于）

5.集合間的關系(包含、真包含、相等)(全集、空集)

例：

三、冪集的定義

6.冪集:給定集合A，由A的所有的子集作成的集合，稱為A的冪集，記作P（A）。

定理1： 設A是有限集合，且 |A| = n，則 |P（A）| = 2的n次方

3.2 集合的運算

1 交、并、補、絕對補

2 對稱差

3 運算律

4 集合相等的證明方法

相對補：如果A和B是集合，則在B中的A的相對補集也稱為B和A的集合差，其元素屬于 B，但不屬于 A。A 在B 中的相對補集通常寫作B - A，讀作“A在B中的相對補集”。

絕對補：U是集合，A是U子集，由U不屬于A的元素組成的集合，叫做子集A在U的絕對補集。

對稱差：A⊕B表示對稱差運算，兩個集合的對稱差是只屬于其中一個集合，而不屬于另一個集合的元素組成的集合。（由圖示容易理解）

集合的一些等式：

A - B = A ∩ ~B
A - B = A - (A∩B)

證明集合等式例題：

思路：利用上面的兩個等式將差集運算轉化為交集運算，對補運算用德摩根律展開，再根據目標的形式運用 交集/并集 對 并集/交集 的分配律。

3.3 包含排斥原理（容斥原理 ）

兩個集合的容斥原理：

|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|

對于三個集合，也有類似的定理：

|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |A∩C| + |A∩B∩C|

推廣到三個以上更多集合時有：
|A1∪A2∪......∪An|

= |A1| + |A2| + ......+ |An| ﹣(|A1∩A2| + |A1∩A3| + ......+ |A[n-1]∩An|) +

(|A1∩A2∩A3| + |A1∩A2∩A4| + ......+ |A[n-2]∩A[n-1]∩An|) + ......+

[(-1)^(n-1)]*|A1∩A2∩......∩An| (注：[n-1]，[n-2]為下標；(-1)^(n-1)表示-1的n-1次方)

下面為兩道例題：

(注意：要關注題目所求的量的具體含義，（比如：學法語的人數為65，而只學法語的人數為28）

結合文氏圖進行求解，使用容斥原理能求出的量往往是為了更好地畫出文氏圖)

(注意：本題中在算B∩C的元素個數時，分母上[6,8]表示的是6和8的最小公倍數，為24，而不是6×8，[5,6,8]也同理)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[离散数学]集合3.1、3.2、3.3的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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