離散數學 II（知識點匯總）

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目錄離散數學 II（知識點匯總）代數系統代數系統定義例子二元運算定義運算及其性質二元運算的性質封閉性可交換性可結合性可分配性吸收律等冪性消去律特殊的元素性質幺元零元逆元證明逆元且唯一定理二元運算表中性質的體現半群廣群成立條件半群定義特性子半群獨異點成立條件特性證明是半群或獨異點群和子群群定義階數、有限群、無限群1階、2階、3階、4階群特性冪特性運算表特性運算子群定義判定條件性質平凡子群中心共軛子群阿貝爾群和循環群阿貝爾群 / 交換群定義判定循環群定義特性元素的階定義性質子群性質置換群和伯恩賽德定理置換成立條件運算置換群定義對稱群交錯群輪換定義記法對換定義性質誘導的二元關系定義性質三元素集的置換群對稱群交錯群伯恩賽德定理陪集和拉格朗日定理陪集定義性質特殊關系劃分等價關系等價類商集 A/R子群的指數拉格朗日定理推論正規子群和商群正規子群 / 不變子群定義判別單群性質商群運算定義性質推論同態與同構同態映射 / 同態 ~定義同態象自然同態分類同構凱萊定理自同態 / 自同構同態映射性質同態核定義性質同態基本定理第一同構定理 / 商群同構定理環與域定義零元單位元負元逆元例子性質特殊環交換環含幺環無零因子環零因子整環定義子環定義判定定理域定義例子域與整環的關系環的同態定義分類同態像及其特性綜合例題

代數系統

代數系統定義

一個非空集合A，連同若干個定義在該集合上的運算f1,f2,…,fk，所組成的系統就稱為一個代數系統，記作<A， f1,f2,…,fk >。

例子

例：<N,＋>,<Z,＋,·>,<R,＋,·>都是代數系統,其中+和·分別表示普通加法和乘法。
例：<Mn(R),＋,·>是代數系統,其中＋和·分別表示n階(n≥2)實矩陣的加法和乘法。
例：<ρ(S),∪,∩,~ >也是代數系統，其中含有兩個二元運算∪和∩以及一個一元運算 ~。

二元運算定義

S為非空集合，從S×S->S的映射： f: S×S->S稱為集合S上的一個二元運算。

運算及其性質

二元運算的性質

封閉性

Premise：(*)是定義在集合A上的二元運算， (forall x,yin A)
Condition：( x*yin A)
Summary：(*)在A上是封閉的

可交換性

Premise：(*)是定義在集合A上的二元運算， (forall x,yin A)
Condition：(x*y=y*x)
Summary：(*)在A上是可交換的

可結合性

Premise：(*)是定義在集合A上的二元運算， (forall x,y,zin A)
Condition：((x*y)*z=x*(y*z))
Summary：(*)在A上是可結合的

可分配性

Premise：(*, riangle)是定義在集合A上的二元運算， (forall x,y,zin A)
Condition：(x*(y riangle z)=(x*y) riangle (x*z))、((y riangle z)*x=(y*x) riangle (z*x))
Summary：在A上，(*)對于$ riangle $是可分配的

吸收律

Premise：(*, riangle)是定義在集合A上的二元運算， (forall x,yin A)
Condition：(x*(x riangle y)=x)、(x riangle (x*y)=x)
Summary：(*)和$ riangle $在A上滿足吸收律

等冪性

Premise：設(*)是定義在集合A上的二元運算， (forall xin A)
Condition：(x*x=x)
Summary：(*)在A上是等冪的

消去律

Premise：設(*)是定義在集合A上的二元運算， (forall x,y,z in A)
Condition：（左消去律）(x*y=x*zRightarrow y=z)、（右消去律）(y*x=z*xRightarrow y=z)
Summary：(*)在A上是滿足消去律的

特殊的元素性質

(*)是定義在集合A上的二元運算

幺元

左幺元：對于(e_lin A, forall xin A, e_l*x=x)
右幺元：對于(e_rin A, forall xin A, x*e_r=x)
幺元：對于(ein A)，(e)既是左幺元又是右幺元

零元

左零元：對于( heta_lin A, forall xin A, heta_l*x= heta_l)
右零元：對于( heta_rin A, forall xin A, x* heta_r= heta_r)
零元：對于( hetain A)，(e)既是左零元又是右零元

逆元

設在代數系統(<A,*>)中，(*)為二元運算，e為A中關于(*)的幺元，(a,bin A)

左逆元：(b*a=e)，則b為a的左逆元
右逆元：(a*b=e)，則b為a的右逆元
逆元：b?既是a的左逆元又是右逆元，則b為a的逆元，記為a^-1^

此時有a與b互為逆元

證明逆元且唯一定理

Premise：(forall ain A)，e為A的逆元，(*)為A的二元運算
Condition：a都有左逆元，(*)可結合
Summary：a的左逆元為a的逆元且唯一

二元運算表中性質的體現

(*)是定義在集合A上的二元運算

封閉性(Leftrightarrow)運算表中所有元素(in A)
可交換性(Leftrightarrow)運算表中所有元素沿對角線對稱
等冪性(Leftrightarrow)運算表中主對角線元素等于本身
零元(Leftrightarrow)該元素運算行列元素與其本身相同
幺元(Leftrightarrow)該元素運算行列元素與其對應的行列元素一致
逆元(Leftrightarrow)兩元素行列相交處都是幺元

半群

廣群

成立條件

(*)運算封閉

半群

定義

(*)運算封閉
(*)運算可結合

特性

A元素有限，則必有等冪元

證：

∵ <S, *>是半群，∴對于(forall)b (in)S，由運算*封閉可知:
b^2^=b*b(in)S，b^2^ *b=b*b^2^=b^3^(in)S ，b^4^，b^5^… (in)S
∵ S有限，∴必定(exists)i,j，j>ｉ，有b^i^=b^j^（第一輪）
∴ b^i^ =b^j^ =b^j-i^ * b^i^
令p=j-i ，則有 b^i^ =b^p^ * b^i^
∴ 對任意q≥i, 有b^q^= b^p^ *b^q^ （第二輪）
又∵p≥1 ∴$exists $k,有kp≥i，則有b^kp^=b^p^ *b^kp^ （第三輪）
由b^kp^=b^p^ *b^kp^得： b^kp^=b^p^ *b^kp^=b^p^ *(b^p^ *b^kp^)=…=b^kp^ *b^kp^
∴令a=b^kp^ (in)S 則a*a=a，∴b^kp^是等冪元。

子半群

(Bsubseteq A)
(*)在B上運算封閉

獨異點

成立條件

為半群
含幺元

特性

運算表任意兩行兩列都不相同

證：

設獨異點中幺元為e，對于任意 a,b?S且a≠b，總有
（1）∵a*e=a ≠ b=b*e
由a，b任意性， 有<S, *>運算表中任兩行不同；
（2）∵e*a = a ≠ b = e*b
由a，b任意性，有<S, *>運算表中任兩列不同。

若a，b均有逆元，則

((a^{-1})^{-1}=a)
(a*b)有逆元，且((a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1})

證：

a) ∵a^-1^是a的逆元

? ∴a^-1^既是a的左逆元又是a的右逆元

? 即：a^-1^ *a=a *a^-1^=e

? ∴a既是a^-1^的右逆元又是a^-1^的左逆元，

? ∴ a是a^-1^的逆元 即(a^-1^)^-1^=a

b) 要證(a *b)^-1^=b^-1^ *a^-1^，即證b^-1^ *a^-1^為a*b的逆元。

∵(a*b) *(b^-1^ *a^-1^)=a* (b*b^-1^) *a^-1^=a*e*a^-1^=e

∴b^-1^ *a^-1^是a*b的右逆元，

又∵（b^-1^ *a^-1^）*（a *b）=b^-1^ *（a^-1^ *a）*b＝e

∴b^-1^ *a^-1^是a*b的左逆元，

∴(a*b)^-1^=b^-1^ *a^-1^

證明是半群或獨異點

按定義證明

群和子群

群

定義

運算封閉
可結合
存在幺元e
對于每一個元素(xin G)，存在逆元$x^{-1}

階數、有限群、無限群

如果(<G,*>)為群且元素有限，則稱為有限群，元素個數稱為群的階數，否則稱為無限群

1階、2階、3階、4階群

1~4階都有循環群，可以用mod運算推

4階還有克萊因四元群，如下

*	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	e	a
c	c	b	a	e

特性

階大于1的群中不可能有零元

證：

（1）當群的階為1時，它的唯一元素視作幺元e；

（2）設|G|>1且群<G, *>中有零元q，那么群中

? ?x∈G，*都有q*x=x*q=q ≠ e

所以零元q不存在逆元，這與<G, *>是群矛盾。

$forall a,bin G, exists (唯一的)x, a*x=b$

證：

（1）存在性
設群<G, *>的單位元為e，令x=a^-1^ *b， 則
a*x＝a*(a^-1^ *b)＝(a*a^-1^) *b＝e*b=b
所以x＝a^-1^ *b是方程a*x＝b的解。
（2）唯一性
若還有x′∈G， 使得a*x′=b， 則
x′=e*x′
=(a^-1^ *a)*x′=a^-1^ *(a*x′)=a^-1^ *b=x
故x＝a^-1^ *b是方程a*x＝b的唯一解。

滿足消去律

證：

a*b＝a*c

$Rightarrow $ a^-1^ *(a*b)＝a^-1^ *(a*c)

$Rightarrow $ (a^-1^ *a) *b＝(a^-1^ *a)*c

$Rightarrow $ e*b＝e*c

$Rightarrow $ b＝c

冪特性

除了幺元外，不存在其他等冪元
關于逆元,群中任一元素逆元唯一，且有：

((a^{-1})^{-1}=a)
((a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1})
((a^{n})^{-1}=(a^{-1})^n=a^{-n})

證：

已學定理5-2.4：設代數系統<A, *> ， A中存在幺元e，且$forall $x∈A，都存在左逆元，若*是可結合的運算，那么<A, *> 中任何一個元素的左逆元必定也是該元素的右逆元，且每個元素的逆元唯一。

證明：

∵群滿足結合律，且群中每個元素都有逆元，

∴每個元素都有左逆元，

∴每個元素的逆元唯一。

運算表特性

每一行與每一列都是G元素的一個置換，沒有相同元素
運算表中任意兩行或者兩列都不相同

運算

AB={ab|a∈A,b∈B}
A^-1^={a^-1^|a∈A}
gA={ga|a∈A}

子群

記為H(leq)G，真子群記為H<G

定義

為一個群的非空子集
也為群

判定條件

非空(Ssubseteq G)，且S也是群
非空(Ssubseteq G)，G為有限群，S中運算封閉
非空(Ssubseteq G)，有(a*b^{-1}in S)

性質

若<H, *>和<K, *>為<G, *>子群，則

<H(cap)K, *>也是子群
<H(cup)K, *>是子群 當且僅當 H(subseteq)K或K(subseteq)H
HK是子群 當且僅當 HK=KH

平凡子群

(S={e}quad ORquad S=G)

中心

對于(C={y|y*a=a*y,yin G})，則<C, *>為子群，稱為G的中心

共軛子群

若H為G子群，則xHx^-1^={x*h*x^-1^|h ∈H}也是G的子群，稱xHx^-1^是H的共軛子群

阿貝爾群和循環群

阿貝爾群 / 交換群

定義

是群
(*)可交換

判定

是群，且(forall a,bin G, (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b))

證：

充分性 即證a*b=b*a。
∵ (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 且<G,*>是群，*可結合
∴ a*(b*a)*b=a*(a*b)*b
∴ a^-1^ *(a*(a*b)*b)*b^-1^=a^-1^ *(a*(b*a)*b)*b^-1^
即有：a*b=b*a， ∴ <G,*>是阿貝爾群。
必要性 ∵ <G,*>是阿貝爾群，
∴對?a,b∈G，有：a*b=b*a
∴ (a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)

循環群

定義

(exists ain G, forall bin G)，b都能表示成a的冪，a稱為生成元

特性

是阿貝爾群
如果是有限群，階數為n，則

幺元為a^n^
有(psi(n))個生成元,（歐拉函數，表示小于n且與n互質的正整數個數）
G的其他生成元即(a^k)，k與n互質

若階數無限，則只有兩個生成元e和e^-1^

元素的階

定義

最小正整數k使某一元素(a^k=e)，則k為a的階（周期）

性質

a^k^=e (iff) r | k

（k是r的整數倍，即存在整數m，使得k=rm ）

證：

充分性：r | k (Rightarrow) a^k^=e

設 r | k，則存在整數m，使得k=rm，

? a^k^= a^rm^=(a^r^)^m^=e^m^=e

必要性：a^k^=e (Rightarrow) r | k

若a^k^=e，由帶余除法，一定存在整數p,q，使得

k=pr+q(0≤q<r)，于是a^k^=a^pr+q^=a^pr^ *a^q^=(a^r^)^p^ *a^q^ =(e)^p^ *a^q^ =e*a^q^ =a^q^ =e （a^k^=e）

∵ r是a的階,即使得a^r^=e的最小正整數

∴只有q=0才可能有a^q^ =e， ∴ k=pr 即r | k。

O(a)= O(a^-1^)（元素與其逆元的階相同）

證：

O(a)= O(a^-1^)（元素與其逆元的階相同）

證：?a∈G，a的階為r, a^-1^的階為r’,

則 (a^-1^)^r’^=e ，a^r^=e

∵ (a^r^)^-1^ *a^r^=e 且a^r^=e，
∴ (a^r^)^-1^=e（ (a^r^)^-1^與e做運算=e，則(a^r^)^-1^必=e）
由紅色部分可得(a^r^)^-1^=(a^-1^)^r’^=e－－－－－①
∵ <G,*>是群，即(a^n^)^-1^=(a^-1^)^n^成立，則
(a^r^)^-1^=(a^-1^)^r^ 成立－－－－－②
由①②可得，(a^-1^)^r^ =(a^-1^)^r’^=e
∵ 已知r’是a^-1^的階，即r’是使得(a^-1^)^k^ =e的最小正整數，
∴ r=mr’（m為正整數),即r’|r。 (定理中的(1)剛證明過)
同理可證r|r’。
(a^-1^)^r’^= (a^r’^)^-1^=e
∵ (a^r’^)^-1^ * a^r’^=e
∴ a^r’^=e
∵ 已知r是a的階，即r是使得(a)^r^ =e的最小正整數，
∴ r’=mr (m為正整數),即r|r’ .由r’|r與 r|r’即可證得r=r’。

r ≤ |G|（元素的階一定小于等于群的階）

證：

一個元素a, a的階是r,且r>|G|,則由a可生成一個集合S={a,a^2^,a^3^,…,a^r-1^,a^r^}，因為運算*封閉，所以S?G, 則S的元素個數小于|G|.
然后證明a,a^2^,a^3^,…,a^r-1^,a^r^各不相同。
若不然，假設S中存在兩個元素相同：
a^i^=a^j^,其中1≤i<j≤r，就有e=a^j-i^ (1≤ j-i<r,a^i^=a^j^右側同*a-i)，而已知r是使得a^r^=e的最小整數。
a,a^2^,a^3^,…,a^r-1^,a^r^都各不相同，即集合S的元素個數大于|G|，與S?G矛盾。綜上，r≤|G|

子群性質

循環群的子群也是循環群
循環群是無限階的，則其子群除了{e}也是無限階的
循環群是n階的，對于每個n的因子，有且只有一個循環子群

置換群和伯恩賽德定理

置換

成立條件

對于非空集合S，(Sightarrow S)的雙射稱為S的置換

運算

先運用(pi_2)，再運用(pi_1)

左復合 $circ (：)pi_1circpi_2$
右復合 $diamond (：)pi_2diamondpi_1$

置換群

定義

具有n個元素的集合S中所有的置換組成的群(<S_n,circ>)，其中元素個數有 n! 個
任意(<S_n,circ>)的子群都是S上的置換群

對稱群

(S_n)稱為S的對稱群

交錯群

(S_n)中所有偶置換組成的群，記為(A_n)，(|A_n|=n!/2)

輪換

定義

設s是S={1,2,…,n}上的n元置換，且：

[s(i_1)=i_2, s(i_2)=i_3, …, s(i_k-1)=i_k, s(i_k)=i_1
]

且(forall xin S, x
e i_j (j=1,2,…,k))，有 s(x)=x（即s 不改變其余元素），稱s是S上的一個k階輪換, 當k=2, s也稱為對換。

記法

((i_1,i_2,...,i_k))

對換

定義

k=2時

性質

任意輪換可以寫成對換的乘積。即

(a1 a2…ar)＝(a1 ar)(a1 ar-１)…(a1 a3)(a1 a2)

誘導的二元關系

定義

設(<G,circ>)為S的一個置換群，則其誘導的二元關系有

[R={<a,b>|pi(a)=b, piin G}
]

性質

是一個等價關系（條件：自反性、對稱性、傳遞性）

三元素集的置換群

對稱群

S~3~={ (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) }

交錯群

A~3~={ (1), (1 2 3), (1 3 2) }

伯恩賽德定理

(pi)是劃分S的置換群的一個置換，(phi(pi))指置換中不變元個數

[等價類數目=frac{1}{|G|}sum_{piin G}phi(pi)
]

陪集和拉格朗日定理

陪集

定義

設H是G的子群，(ain G)，則

aH={a*h|h∈H} H關于a的左陪集
Ha={h*a|h∈H} H關于a的右陪集

a稱為陪集的代表元素

性質

元素(Rightarrow)陪集

陪集元素個數相等，(forall ain G)，|aH|=|H|

a∈H$iff $aH=H，Ha=H

a∈aH

b∈aH $iff $ bH=aH

陪集與陪集

aH和bH關系只有兩種

aH∩bH=(varnothing)（Ha∩Hb=(varnothing)）
aH=bH（Ha=Hb）

陪集(Rightarrow)元素，a/b屬于同一陪集

aRb (iff) a^-1^ *b∈H (iff) b∈aH (iff) aH=bH

所有左陪集的集合∑剛好是G的一個劃分

特殊關系

劃分

每個元素非空。不存在空塊
所有元素并集為G
任兩個元素交集為空

等價關系

關系R滿足自反、對稱、傳遞

若<x,y>(in)R，稱x等價于y，記作x~y

等價類

有等價關系的元素組成的一個集合，記為[a]~R~

a稱為[a]~R~的代表元素

商集 A/R

以R的所有等價類作為元素的集合稱為A關于R的商集

子群的指數

G對H的陪集的集合的基數，即陪集的數目，記為[G:H ]

拉格朗日定理

H為G的子群，則：

R={<a,b>|a∈G,b∈G且a^-1^ *b∈H}是G上的一個等價關系。對于a∈G，若記[a]~R~={x|x∈G且<a,x>∈R}，則[a]~R~=aH
如果G是有限群，|G|=n，|H|=m，則m|n。

推論

素數階群的子群一定是平凡群。（素數階的群不存在非平凡子群）
設<G,*>是n階群，則對任意a∈G，有a^n^=e
有限群中，元素的階能整除群的階
素數階群一定是循環群，且每個非幺元均為生成元

正規子群和商群

正規子群 / 不變子群

定義

H(leq)G，(forall gin G)，gH=Hg，記為H(unlhd)G

判別

(forall ain G)，

aH=Ha，（即H(unlhd)G）
(forall hin H)，aha^-1^(in)H
aHa^-1^(subseteq)H
aHa^-1^=H

如果G是交換群，則G的任何子群都是正規子群

[G:H]=2 ， 則H是G的正規子群

單群

G除了平凡子群外無其他正規子群

性質

正規子群與子群的乘積是子群
正規子群與正規子群的乘積是正規子群
無傳遞性

商群

運算

在G/H上定義陪集乘法運算?，對于任意aH,bH∈G/H, 有

[aH·bH=(ab)H
]

定義

設G為群，H為正規子群，則G/H關于運算?構成一個群，稱為G的商群

性質

商群G/H的單位元是eH（=H）
在G/H中aH的逆元是a^-1^H

推論

若G是交換群，G/H也是交換群
商群的階是G階數的因子

同態與同構

同態映射 / 同態 ~

定義

<A,(star)>與<B,*>滿足(f(a_1star a_2)=f(a_1)*f(a_2))

稱 f 為同態映射 / 同態，<A,(star)>同態于<B,*>

記為 A~B

同態象

<f(A), *>為<A,(star)>的一個同態象

自然同態

群G到商群G/H的同態，為 a(ightarrow)aH

分類

f:A(ightarrow)B 為滿射，f 稱為滿同態
f:A(ightarrow)B 為入射，f 稱為單一同態
f:A(ightarrow)B 為雙射，f 稱為同構映射

同構

f 為同構映射時，稱<A,(star)>與<B,*>同構，記為A(cong)B

同構關系是等價關系

凱萊定理

任何一個有限群同構于一個置換群。

置換群即運算表中所有行 OR 所有列。

自同態 / 自同構

自身到自身的映射

同態映射性質

在 f 作用下

<A, $star $>的所有性質在同態象上保留
若同構，則<B, *>擁有<A, $star $>的所有性質

同態核

定義

A中元素映射 f 后為幺元。記為 Ker(f)，稱為 f 的同態核

Ker(f) = {x|x∈G且f(x)=e’}

性質

同態核N為A的正規子群
f 為單同態 (iff) Ker(f)={e}
若Ker(f)=N ，則 f(a)=f(b) (iff) aN=bN

同態基本定理

若 f 為A到B的滿同態，Ker(f)=N，則A/N(cong)B
若h為A自然同態，存在A/N到B的同構g，有f=gh

第一同構定理 / 商群同構定理

若 f 為A到B的滿同態，Ker(f)=N，H(unlhd)A 且 N(subseteq)H

則 A/H (cong) B/f(H)

若 H(unlhd)A 且 K(unlhd)A 且 K(subseteq)H

則 A/H (cong) (A/K) / (H/K)

環與域

定義

對于<A, +, ·>有兩種二元運算的代數系統

<A, +>是阿貝爾群

<A, ·>是半群

運算 · 對于 + 是可分配的，即(forall a,b,cin A)：

a·(b+c)=(a·b)+(a·c)

(b+c)·a=(b·a)+(c·a)

為了區別環中的兩個運算，通常稱＋運算為環中的加法，?運算為環中的乘法。

零元

加法單位元，記為0(( heta))

單位元

乘法單位元，記為1

負元

加法逆元，記為-x

逆元

乘法逆元，記為x^-1^

例子

<R,＋,?> 實數環
<Q,＋,?> 有理數環
<I,＋,?> 整數環
<M~n~(I),＋, ?> n階整數矩陣環
<N~k~ , ＋~k~ , ×~k~> 模k整數環
<Z[i], ＋, ?>(Z[i]=a+bi,a,b(in)Z,i^2^=-1) 高斯整數環 (復數)
<R[x] ,＋, ?> R[x]為實數多項式

性質

與理解的加法乘法相同，消去律不一定

a?( heta)=( heta)?a=( heta)
a?(–b)=(–a)?b = –(a?b)
(–a)?(–b)=a?b
a?(b–c)=(a?b)–(a?c)
(b–c)?a=(b?a)– (c?a)

特殊環

交換環

<A, · >可交換

含幺環

<A, · >含幺元

無零因子環

（等價于乘法消去律）

(forall a,bin A, a
eq heta, b
eq heta)，則必有(a·b
eq heta)

零因子

若(a,bin A, a
eq heta, b
eq heta)，有(a·b= heta)，則a或b為零因子

整環

定義

（基于乘法運算的性質）

交換、無零因子 OR 含幺、無零因子

即同時滿足交換環、含幺環和無零因子環的條件

子環

定義

環的子集，也是環

判定定理

(forall a,bin S,a-bin S,a·bin S)

域

定義

滿足如下：

<A, +>是阿貝爾群
<A - {( heta)}, ·>是阿貝爾群
運算 ? 對運算＋是可分配的

例子

實數域
有理數域
〈Z~n~,+~n~, ? ~n~ 〉是域的充要條件是n是素數

域與整環的關系

域一定是整環
有限整環一定是域

環的同態定義

設V~1~=<A,*,°>和V~2~=<B,?,◎>是兩環，其中*、°、?和◎都是二元運算。f 是從A到B的一個映射，使得對(forall)a, b(in)A有：

? f(a*b)=f(a)?f(b)

? f(a°b)=f(a)◎f(b)

則稱f是環V1到環V2的同態映射

分類

如果f是單射、滿射和雙射，分別稱f是單同態、滿同態和同構

同態像及其特性

<f(A),?,◎>是<A,*,°>的同態像。

任何環的同態像是環

綜合例題

設<R,+, ? >是環，其乘法單位元記為1，加法單位元記為0，對于任意a,b(in)R,定義

a⊕b=a+b+1,a⊙b=a?b+a+b。求證： <R, ⊕, ⊙ >也是含幺環，并與<R,+, ? >同構。

證明：

首先證明<R, ⊕, ⊙ >是環。

（1） <R, ⊕ >是阿貝爾群。

（2） <R, ⊙ >是含幺半群。

（3） ⊙對⊕可分配，再證明同構。

（4）構造雙射f: f(a)=a-1,驗證同構性。

（1） <R, ⊕ >是阿貝爾群。

顯然R關于⊕是封閉的且⊕運算是可交換的。

結合性：對于任意的x,y,z(in)R,有

(x⊕y)⊕z=(x+y+1)⊕z=x+y+z+2,而

x⊕(y⊕z )= x⊕ (y+z+1)=x+y+z+2, 即⊕運算滿足結合律。

幺元：對于任意x(in)R， x⊕-1= x+(-1)+1=x,-1是R關于⊕運算的幺元。

逆元：對于任意x(in)R， x⊕（-x-2)= x+(-x-2)+1=-1, +(-x-2)是x關于⊕運算的逆元。

所以<R, ⊕ >是阿貝爾群。

（2） <R, ⊙ >是含幺半群。

顯然R關于⊙是封閉的、可交換的。

結合性：對于任意的x,y,z ?R,有

(x ⊙ y) ⊙ z=(xy+x+y) ⊙ z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z,而

x ⊙(y ⊙ z )= x ⊙ (yz+y+z)=xyz+xy+xz+yz+x+y+z, 即⊙運算滿足結合律。

幺元：對于任意x?R， x ⊙ 0=0+ x+0=x，0是R關于⊙運算的幺元。

所以<R, ⊙ >是含幺半群.

（3） ⊙對⊕可分配

對于任意的x,y,z(in)R,有

x⊙(y⊕z )= x⊙(y+z+1)=xy+xz+x+x+y+z+1=xy+xz+2x+y+z+1

(x⊙y)⊕(x⊙z)=(xy+x+y)⊕(xz+x+z)=xy+xz+2x+y+z+1

同理可以證明右可分配性。

綜上所述， <R, ⊕, ⊙ >也是含幺環

再證明同構。

構造雙射f: f(a)=a-1,驗證同構性。

（4）證明同構。構造函數f: f(x)=x-1

雙射：對于任意x(in)R,則有x+1(in)R，使得f(x+1)=x，所以f是滿射

x，y(in)R,若f(x)=f(y),則有x-1=y-1,即x=y,所以f是單射。

同態： f(x+y)=x+y-1

f(x)⊕f(y)=(x-1)⊕(y-1)=x-1+y-1+1=x+y-1

所以f(x+y)= f(x)⊕f(y)

又因為 f(x?y)=x?y-1

f(x)⊙f(y)=(x-1) ⊙(y-1)=(x-1)? (y-1)+x-1+y-1

? =x?y-x-y+1+x-1+y-1=x?y-1

所以f(x?y)= f(x)⊙f(y)

? 綜上，<R, ⊕, ⊙ >與<R,+, ° >同構。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的离散数学 II（最全面的知识点汇总）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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