接上篇的雅克比行列式部分。其實對于任何變量x,y, dxdy描述的是一個抽象的“面積”。比如，如果x是力F，y是時間t，那么“面積”Ft其實就是做功。所以我們可以認識到，對于dxdy和dudv之間，如果自變量u，v的改變量引起了因變量x，y的改變量，可以通過面積來幫助我們理解。這個面積是廣義的。就像二重積分一樣，體積只是幫助我們更好的去理解它是怎么積分的。

按照這個思路，我們思考下。對于uv空間下，自變量的改變量我們認為的dudv，是描述成面積的。

然后，在xy空間下，因為dudv的改變，導致了最終xy的改變dxdy。

這里還需要注意的一點是，相比于一維空間下的x和dx，二維的dudv是極小的一塊面積。

并不是從u--->du和v---->dv延伸出去的面積。畫個圖說明：

因為右邊才是微元的組成方式。

所以，dudv的改變量，到了xy下，就是(x,y),（x(u+du,v), y(u+du,v)）,(x(u,v+dv),y(u,v+dv),(x(u+du,v+dv),y(u+du,v+dv))這四個點圍成的新的平行四邊形的面積。

這一些都是這么合理。

第二個問題，可以分解成兩個小問題，

曲線的偏導數。

曲面的偏導數

先看曲線的切線方程的證明：

核心思路是割線的極限就是切線，方向向量是p0q

這里很巧妙的同時除以德爾塔t，向量的方向不變。

然后看曲面的法線方程的證明：

取曲面上的一條曲線，按照我們之前的切線方程的性質。

對曲面方程兩邊同時求導就行了。

在《簡明微積分》里面，證明稍微有所不同，

F(x,y,z) = 0

F(x(t),y(t),z(t)) = 0

全微分：F'xdx +F'ydy + F'zdz = 0

把(dx,dy,dz)看成切線，那么(F'x,F'y,F'z)就是法線了。

其實這里有個很重要的隱藏條件，就是為什么(dx,dy,dz)是這個曲面的切線。

如果看y=f(x)，顯然dx可以是任意的。對于z=f(x,y)，dx,dy也可以是任意方向的。注意到，我們現在是F(x,y,z)=0，其實他就是z=f(x,y)的隱函數，也就是說,dz和dx,dy是有關系的。dx,dy可以是任意方向，但dz一定保證了從任何一點出發P(x,y,z), P(x+dx,y+dy,z+dz)一定還是在曲面上。

好好理解，很美妙。

然后是曲面參數方程的法向量怎么求。

x=x(u,v), y=y(u,v), z = z(u,v)

或者寫作r=r(u,v)

固定v0，那么久得到了一條u曲線，固定u0，那么就得到了一條v曲線。

浴室r'u是u曲線的切向量，r'v是v曲線的切向量。

所以對于F(x,y,z)=0

我們對u和v分別求導。

F'xx'u + F'yy'u + F'zz'u = 0

F'xx'v +F'yy'v + F'zz'v = 0

所以F'x,F'y,F'z和r'u,r'v都垂直。所以后面兩者的叉乘就是它的法向量。

代數證明參考https://zhuanlan.zhihu.com/p/481722441

注意里面的核心是du,dv可以是任意的，所以F'x,F'y,F'z不可能同時為0.

這個前面解釋過了。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的雅克比行列式补充和曲面的参数方程求导表示法向量的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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