變量間Pearson、Spearman、Kendall、Polychoric、Tetrachoric、Polyserial、Biserial相關系數簡介及R計算對于給定數據集中，變量之間的關聯程度以及關系的方向，常通過相關系數衡量。就關系的強度而言，相關系數的值在+1和-1之間變化，值±1表示變量之間存在完美關聯程度，即完全相關時絕對值為1；隨著相關系數值趨于0，意味著變量之間的關系將減弱，完全不相關時為0。關系的方向由系數的符號表示；+號表示正向關系，-號表示負向關系。

圖示兩個變量之間的相關系數，正相關意味著圖表從左到右具有向上的斜率：隨著x值的增加，y值會變大；負相關性意味著圖表從左到右具有向下的斜率：隨著x值的增加，y值會變小；零(不相關)表示y不隨x的變化而變化。

常見的變量間相關系數簡介

首先簡介常見的用于描述變量間相關性的系數，包括Pearson、Spearman、Kendall、Polychoric、Tetrachoric、Polyserial、(Point-)Biserial等。??

Pearson相關(連續變量，數值相關)

Pearson相關系數(皮爾森相關)是使用最廣泛的相關性統計量，用于測量兩組連續變量之間的線性關聯程度。

Pearson相關系數計算如下：

r_xy，變量x和y的Pearson相關系數；

n，觀測對象的數量；

x_i，x的第i個觀測值；

y_i，y的第i個觀測值。

Pearson相關系數應用于連續變量，假定兩組變量均為正態分布、存在線性關系且等方差。線性關系假設兩個變量之間是線性響應的，等方差假設數據在回歸線上均勻分布。

Spearman秩相關(連續變量，秩相關)

Spearman秩相關系數(斯皮爾曼等級相關)是一種非參數統計量，其值與兩組相關變量的具體值無關，而僅僅與其值之間的大小關系有關。Spearman秩相關依據兩列成對等級的各對等級數之差進行計算，所以又稱為“等級差數法”。當變量在至少是有序的尺度上測量時，它是合適的相關分析方法。

Spearman秩相關系數計算如下：

ρ，Spearman秩相關系數；

d_i，對應變量的秩之差，即兩個變量分別排序后成對的變量位置(等級)差；

n，觀測對象的數量。

Spearman秩相關同樣應用于連續變量，與Pearson相關相比Spearman秩相關不要求變量的正態性和等方差假設，且對異常值的敏感度較低(該方法基于變量的排序，因此異常值的秩次通常不會有明顯變化)，因此適用范圍通常更廣。但方法較為保守，統計效能較Pearson相關系數低，容易忽略一些不太強的線性關系。

此外，Spearman秩相關要求數據必須至少是有序的，一個變量的得分必須與另一個變量單調相關(monotonically related)。?

Kendall相關(分類變量，秩相關)

Kendall?相關系數則用于計算分類變量間的秩相關，用于反映分類變量相關性的指標，適用于兩個分類變量均為有序分類的情況。

考慮兩組變量，x和y，它們各自的觀測值數量均為n，則x與y觀測值可能配對的總數為n(n-1)/ 2。由于x和y為分類變量，需要首先根據類別表示的重要度人工賦值。隨后考察x和y的關系對，如果x_ii且x_jj，或x_i>y_i且x_j>y_j，則該關系對是一致的(concordant)，反正則不一致(discordant)。一致關系對數量與不一致關系對數量的差值除以總關系對數量，可得Kendall?相關系數：

如果一致對的數量比不一致對的數量大得多，則變量是正相關的；如果一致對的數目比不一致對的數目少得多；則變量是負相關的；如果一致對的數目與不一致對的數目大致相同，則變量之間的關系很弱。

Polychoric相關(二元有序變量間的相關)

Polychoric相關(多分格相關)度量多個對象之間關于有序變量(有時稱為“有序類別”數據)之間的一致性。當以列聯表的形式組織數據時，兩個分類自變量被排序，據此計算Polychoric相關系數。

對于2×2列聯表的情況，Polychoric相關系數也稱為Tetrachoric相關系數(作為Polychoric相關的一種常見類型)。通過以下對Tetrachoric相關的描述即可理解Polychoric相關的定義。??

Tetrachoric相關(二元有序變量間的相關，Polychoric相關的某種常見類型)

Tetrachoric相關(四分相關)是在二元正態性假設下從2×2表推斷出的Pearson相關，用于測量二元數據一致性。Tetrachoric相關要求基本變量來自正態分布，并且二元數據中存在一個潛在的連續梯度，即觀測值的特征應該是連續而非離散的。

首先將觀察數值矩陣獲得列聯表，并通過下式計算：

?

Polyserial相關(定量變量和序數變量的相關)

Polyserial相關(多系列相關)測量的是兩個連續變量之間的相關關系，它們具有二元正態分布，其中一個變量可以直接觀測到(以定量數值記錄)，而另一個變量無法被觀測(以序數值記錄)。通過將可觀測的連續變量分類為有限的離散有序值集，可以從可觀測的有序變量獲得不可觀測有序變量的信息。

通過以下其特殊形式Biserial相關幫助理解。

Biserial相關(連續變量和二元有序變量的相關，Polyserial相關的某種特例)

Biserial相關系數為Polyserial相關的一種特例，用于測量一組連續變量和一組二元變量的線性關系，二元變量是二分序數類型，具有潛在的連續性。

Y₀，x=0時變量對的平均分；

Y₁，x=1時變量對的平均分；

p，x=1時變量對的比例；

q，x=0時變量對的比例；

σ_y，總體標準偏差。

Point-Biserial相關(連續變量和二元分類變量的相關)

與Biserial相關系數相比，Point-Biserial相關系數用于測量一組連續變量和一組二元分類變量的線性關系，分類變量是無序的。

M₁，二元變量組“1”對象對應的連續變量的均值；

M₀，二元變量組“0”對象對應的連續變量的均值；

S_n，連續變量的標準偏差；

p，二元變量組“1”對象所占總對象的比例；

q，二元變量組“0”對象所占總對象的比例。

R語言計算相關系數

接下來展示在R中計算上述提到的相關系數的方法。??

Pearson、Spearman和Kendall相關

在R中，cor()可用于計算Pearson、Spearman和Kendall相關矩陣，cov()可用于獲得協方差矩陣。

##Pearson、Spearman、Kendall 相關
data(mtcars)
#標準化不影響相關系數計算值，但可以讓數據服從均值 0，標準差 1 的等方差結構
mtcars
#協方差計算，cov()
cov_pearson cov_pearson
cov_spearman cov_spearman
cov_kendall cov_kendall
#相關系數計算，cor()
cor_pearson cor_pearson
cor_spearman cor_spearman
cor_kendall cor_kendall
#相關圖，例如
library(corrplot)
corrplot(cor_pearson, method = 'number', number.cex = 0.8, diag = FALSE, tl.cex = 0.8)
corrplot(cor_pearson, add = TRUE, type = 'upper', method = 'pie', diag = FALSE, tl.pos = 'n', cl.pos = 'n')
#輸出，例如
write.table(cor_pearson, 'cor_pearson.txt', sep = '\t', col.names = NA, quote = FALSE)

直接指定數據集，默認計算所有變量間的相關系數，獲得斜對角線對稱的矩陣。

也可指定兩組變量集，獲得相互之間兩兩變量間非對稱的相關矩陣。

#指定兩組變量集，獲得非對稱的相關矩陣，例如
x y
cor_pearson_xy cor_pearson_xy
#相關圖
corrplot(cor_pearson_xy, method = 'square', addCoef.col = 'black', number.cex = 0.8, tl.cex = 1.2)
#輸出，例如
write.table(cor_pearson_xy, 'cor_pearson_xy.txt', sep = '\t', col.names = NA, quote = FALSE)

偏相關

偏相關是指在控制一個或多個定量變量時，另外兩個定量變量之間的相互關系。R包ggm中提供的命令pcor()可以計算偏相關系數。

##偏相關，ggm 包 pcor()
library(ggm)
#要計算相關系數的兩個變量，或指定下標
x1
#要控制的條件變量，或指定下標
x2
#指定協方差矩陣，計算偏相關
pcor_pearson pcor_pearson

Polychoric和Tetrachoric相關

psych包提供了計算這些相關系數的方法。

psych包也能計算Polyserial和Biserial相關，但文檔中沒提供示例，沒看明白……

##Polychoric、Tetrachoric
library(psych)
#Polychoric 相關
data(bock)
polyc polyc
#Tetrachoric 相關
tetr tetr

Polyserial和(Point-)Biserial相關

以ltm包提供的方法為例。

##Polyserial、(Point-)Biserial
library(ltm)
#Polyserial 相關
mpg polys polys
#Point-Biserial 相關
poi_biser poi_biser
#Biserial 相關
biser biser

變量相關性的顯著性檢驗

通常來講，相關性分析是一種用于描述變量關聯程度的探索性分析方法，而非確立因果關系的模型，不涉及假設檢驗過程。但如果有必要，仍可以計算相關系數的顯著性，評估哪些變量間的關聯程度是更重要的。

一些R包提供了計算變量間相關系數顯著性的方法。此外，也可以自寫函數獲得，見下文。??

psych包的方法

計算相關矩陣及顯著性水平。

library(psych)
#所有變量間相關系數的對稱矩陣
corr_matrix corr_matrix$r #相關矩陣
corr_matrix$p #p 值矩陣
#相關圖，只展示 p < 0.05 的相關系數
library(corrplot)
col1 corrplot(corr_matrix$r, p.mat = corr_matrix$p, sig.level = 0.05, insig = 'blank', method = 'number',
diag = FALSE, col = col1(21), tl.cex = 1)
corrplot(corr_matrix$r, p.mat = corr_matrix$p, sig.level = 0.05, insig = 'blank', method = 'circle',
add = TRUE, type = 'upper', diag = FALSE, col = col1(21), tl.pos = 'n', cl.pos = 'n')
#自定義篩選，例如選擇 |r| >=0.7，p < 0.05 的結果，將不滿足條件的相關系數值賦值為 0 后輸出
corr_matrix$p[corr_matrix$p >= 0.05] corr_matrix$p[corr_matrix$p < 0.05 & corr_matrix$p >= 0] corr_matrix$p[corr_matrix$p == -1]
corr_matrix$r[abs(corr_matrix$r) < 0.7] corr_matrix$r write.table(corr_matrix$r, 'corr_matrix_select.txt', sep = '\t', col.names = NA, quote = FALSE)

#給定兩組變量間相關系數的非對稱矩陣
x y
corr_matrix corr_matrix$r #相關矩陣
corr_matrix$p #p 值矩陣
#相關圖，只展示 p < 0.05 的相關系數
col1 corrplot(corr_matrix$r, p.mat = corr_matrix$p, sig.level = 0.05, insig = 'blank',
method = 'square', addCoef.col = 'black', col = col1(21), number.cex = 0.8, tl.cex = 1.2)

Hmisc包的方法

計算相關矩陣及顯著性水平。

library(Hmisc)
#所有變量間相關系數的對稱矩陣
rcorr_matrix rcorr_matrix$r #相關矩陣
rcorr_matrix$P #p 值矩陣
#給定兩組變量間相關系數的非對稱矩陣
x y
rcorr_matrix rcorr_matrix$r #相關矩陣
rcorr_matrix$P #p 值矩陣
#相關圖、自定義結果篩選等，參考上述

手寫置換檢驗程序

置換檢驗是個百搭的非參數檢驗方法，相關系數的顯著性可根據置換檢驗的原理獲得。

上述提到的所有相關系數，包括Polychoric、Tetrachoric、Polyserial、(Point-)Biserial等，如果找不到計算顯著性的R包，不妨考慮手寫函數計算，其實并不難。

#計算觀測值的相關系數(cor0)，還是以 Pearson 相關為例，其它類似
cor0
#隨機置換數據 999 次，計算每次置換后數據計算的相關系數(corN)，并統計 |corN|>|cor0| 的頻數
p_num p_num[abs(p_num)>0]
set.seed(123)
for (i in 1:999) {
random corN
corN[abs(corN) >= abs(cor0)] corN[abs(corN) < abs(cor0)] p_num }
#p 值矩陣，即 |corN|>|cor0| 的概率
p p
#相關圖比較，僅顯著(p < 0.05)的相關系數標以背景色
#左圖為手寫的置換檢驗結果，右圖為 psych 包獲得的結果，二者是一致的
library(corrplot)
library(psych)
cor_psych
layout(matrix(c(1,2), 1, 2, byrow = TRUE))
corrplot(cor0, method = 'square', type = 'lower', p.mat = p, sig.level = 0.05, insig = 'blank',
addCoef.col = 'black', diag = FALSE, number.cex = 0.8, tl.cex = 0.8)
corrplot(cor_psych$r, method = 'square', type = 'lower', p.mat = cor_psych$p, sig.level = 0.05, insig = 'blank',
addCoef.col = 'black', diag = FALSE, number.cex = 0.8, tl.cex = 0.8)

參考資料

Pearson, Spearman &?Kendall：https://www.statisticssolutions.com/correlation-pearson-kendall-spearman/

(Point-)Biserial：https://www.statisticshowto.datasciencecentral.com/point-biserial-correlation/

Tetrachoric & Polychoric：http://john-uebersax.com/stat/tetra.htm

Polyserial：http://support.sas.com/documentation/cdl/en/procstat/63963/HTML/default/viewer.htm#procstat_corr_sect019.htm

友情鏈接

相關分析

基于降維維分析描述矩陣相關的方法：

Mantel tests典范相關分析(CCorA)協慣量分析(CoIA)多重協慣量分析(MCoIA)協對應分析(CoCA)RLQ和第四角分析

多元因子分析(MFA)

假設檢驗

兩組間比較：

參數類：T檢驗

非參數類：Wilcoxon檢驗

多組間比較：

參數類，方差分析(ANOVA)：

????單因素方差分析(單因素ANOVA)+多重比較

????單因素協方差分析(ANCOVA)

????雙因素方差分析(雙因素ANOVA)

多元方差分析(MANOVA)和穩健多元方差分析(穩健MANOVA)

非參數類，ANOVA的替代方法：

????????Kruskal-Wallis檢驗和Friedman檢驗+Wilcoxon檢驗/或非參數多重比較

? ? ? 非參數單因素協方差分析

? ?非參數雙因素方差分析(Scheirer-Ray-Hare檢驗)

置換多元方差分析(PERMANOVA)其它非參數檢驗方法：置換檢驗? ??自助法(bootstrap)

基于距離的差異檢驗：

置換多元方差分析(PERMANOVA)相似性分析(ANOSIM)MRPP分析AMOVA分析

總結

以上是生活随笔為你收集整理的R计算两列数据的相关系数_相关系数简介及R计算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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