聲明與簡介

線性代數行列式計算之降階法一般針對于行列是0元素較多的情況，它的核心思想是對某行（列）能方便的進行行列式展開，即某行（列）元素與其代數余子式的乘積，而該行（列）元素為0的較多，對應的代數余子式又比較簡單的求出（比如三角形的行列式）。

降階法

代數余子式展開

計算n階行列式：

?過程詳解

#1 思路 Step1 先觀察行列式的特點，再整理思路 Step2 以第1列為軸，不難發現它對應的代數余子式是個對角形。 Step3 思路形成，以第1列對應的兩個元素a和b分別乘以對應的代數余子式得到該行列式。

# 實操
Step1:有上述思路所以，行列式D的計算方式轉換為a乘其代數余子式加上b乘其代數余子式。

這里a的代數余子式為

Step2:而針對b展開時，需要分兩步，展開時系數為

b的代數余子式系數類似a即為0，結果為

step3:所以最終結果為：

附錄是元素b對應的余子式。

?行列臨位錯位相減

計算n階行列式

?過程詳解

#1 思路 Step1 先觀察行列式的特點，再整理思路 Step2 觀察行列式不難發現如下規律：出現了大量重復的a和d（盡管有系數上的差距）。這時優先考慮消除a，因為每一行（列）里的a是固定的，而d是動態（隨元素位置變化）的。進而通過隔行（列）消除d，最終在余子式里化成三角形。

#2 實操

Step1：以行操作為例，第n-1行的-1倍加到第n行上去（等同于第n行減去第n-1行，一般我們用符合行列式性質的說法去描述，盡管有些繞口），同理第n-2行的-1倍加到第n-1行上去，直至第2行的-1倍加到第1行上去，最終第1行沒法類似操作，即保留不動。

結果為：

Step2： 針對上式，以列方式觀察第1行第1列的余子式，不難發現除第1列的其它列含大量重復的d（共n-1個），僅有一處元素對應位置不同，即第一列某處是d而其它列對應位置是-（n-1）d。

處理方法，將第1列的-1倍加到第2、3…n列上去。

結果為：

Step3：針對Step3，需要把第1列的d給消除掉，這時需要第2、3…n列的1/n倍加到第1列上去。

結果為：

Step4：針對行列式第1行第1列的余子式，不難發現是三角型的，這里我們用行列式的定義即可求出。如下圖這個框起來的子行列式（記住E）每個元素都是-nd，這里我們以列作為正序數取，即列為1，2，3…來取b。

那么得到行列式E(n-1階的)對角線元素對應的序號為

(n-1)1、(n-2)2、（n-3）3…1(n-1)

針對上述的逆序數，不能得出代數余子式系數: (n-1+1)(n-1)/2,而對象線相乘得

Step5:整理后最終結果為：

?行列臨位錯位相乘

計算n階行列式

過程詳解?

#1 思路 Step1 先觀察行列式的特點，再整理思路 Step2 觀察行列式不難發現如下規律： 行列的第1列提取公因子之后和其它列對應元素有個倍數差，利用這點可以實現清0。

#2 實操

Step1：提取第1列公因子 ，并將第1列的負倍加到其它各列上去，其中i從2到n。

結果為：

Step2再基于行列式展開式，對第n行元素展開，再結合三角形性質得最終結果：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数行列式计算方法之降阶法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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