本文假定讀者有基本的測度論知識,故僅對測度做簡單介紹.

$\text{Definition?1?}$集合$X$的子集族$\tau$稱為拓撲,若$\tau$滿足(1)$?,X\in \tau$;(2)可列元素的交的封閉性;(3)有限、可列、或不可列元素的并的封閉性.
這樣$(X,\tau )$被稱為一個拓撲空間,若$x\in \tau$,稱$x$是開集.

$\text{Definition?2?}$集合$X$的子集族$\mathfrak{M}$稱為$\sigma ?$代數,若$\tau$滿足(1)$X\in \tau$;(2)補集元素的封閉性(交集逆元);(3)可列元素的并的封閉性.
這樣$(X,\mathfrak{M})$被稱為一個可測空間,若$x\in \mathfrak{M}$,稱$x$是可測集.

注:$\mathfrak{M}$滿足除了不可列元素并的封閉性以外拓撲空間的所有性質.

$\text{Defintion?3?}$設$X$是一個拓撲空間,則$X$中存在一個最小的$\sigma ?$代數$\mathcal{B}$使得$\tau ?\mathcal{B}$.若$x\in \mathcal{B}$,稱$x$是$\text{Borel}$集.

$\text{Defintion?4?}$若$X,Y$是拓撲空間,設$f:X\to Y$,若$f^{?1}({\tau }_Y)?{\tau }_X$,那么稱$f$是連續的.

$\text{Defintion?5?}$若$X,Y$分別是可測空間和拓撲空間,設$f:X\to Y$,若$f^{?1}({\tau }_Y)?{\mathfrak{M}}_X$,那么稱$f$是可測的.

$\text{Defintion?6?}$若$Y$是拓撲空間,$X$上有一$\mathcal{B}$,設$f:X\to Y$,若$f^{?1}({\tau }_Y)?{\mathcal{B}}_X$,那么稱$f$是$\text{Borel}$可測的.

設廣義實域$\overline{R}=R\cup \{?\infty ,+\infty \}$,下界符號$\inf$,上界符號$\sup$,特征函數${\mathcal{X}}_E(x)=[x\in E]$.若我們說$f:X\to Y$可測,則假定$X,Y$分別是可測空間和拓撲空間.

先給出一個引理:
$\text{Lemma?7?}$若$f:X\to Y$將$X$,$Y$的開集或可測集映射,那么在$X,Y$容許的封閉性下.
若$x,y\in P(P是{\mathfrak{M}}_X或{\tau }_X)$,那么$f(x\cup y)=f(x)\cup f(y),f(x\cap y)=f(x)\cap f(y)$,
若$x,y\in P(P是{\mathfrak{M}}_Y或{\tau }_Y)$,那么$f^{?1}(x\cup y)=f^{?1}(x)\cup f^{?1}(y),f^{?1}(x\cap y)=f^{?1}(x)\cap f^{?1}(y)$,

這個引理體現了拓撲空間和可測空間的良好性質.有了這個引理,下面幾個定理都好證了.

$\text{Theorem?8?}$
(1)若$f:X\to Y$可測,$g:Y\to Z$連續,則$g°f$可測;
(2)若$f:X\to Y$連續,$g:Y\to Z$連續,則$g°f$連續.
(3)若$f:X\to Y$可測,$g:Y\to Z\text{Borel}$可測,則$g°f$可測;

$\text{Theorem?9?}$設$X,Y$分別是可測空間和拓撲空間,有一映射$f:X\to Y$
(1)設$\Omega =\{E?Y|f^{?1}(E)\in {\mathfrak{M}}_X\}$.那么$\Omega$是$X$上的$\sigma ?$代數.
(2)設$f$可測,若$E\in {\mathcal{B}}_Y$,那么$f^{?1}(E)\in {\mathfrak{M}}_X$.
(3)設$Y=\overline{R}$,且對于任意$\alpha \in R$,$f^{?1}((\alpha ,\infty ])\in {\mathfrak{M}}_X$,那么$f$可測.

$\text{Theorem?10?}$設$\{f_n\}$是$X\to \overline{R}$上可測的.那么$\underset{n?1}{\sup }{f}_n$和$\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{f}_n$均可測.

$\text{Definition?11?}$設$s:X\to [0,\infty )$,并有$|\mathrm{i}\mathrm{m}s|<\infty$,我們知道$\mathrm{i}\mathrm{m}s$是可列的,設其中的元素為${\alpha }_i,i=1...|\mathrm{i}\mathrm{m}s|$.因此$=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\mathcal{X}}_{\{x|s(x)={\alpha }_i\}}$.

$\text{Theorem?12?}$設$f:X\to [0,\infty ]$可測,那么
(1)存在$X$上一單增簡單函數序列$\{s_n\}$滿足$\underset{n\to \infty }{\sup }{s}_n=f$.
(2)存在$X$上一簡單函數序列$\{s_n\}$的點態極限為$f$.
這一個定理不如之前那些定理好證.書上給出了一個函數列的構造${\phi }_n(t)=k_n(t){\delta }_n$,若$0?t<n$,否則${\phi }_n(t)=n$.
其中定義$k_n(t)$為使得$k{\delta }_n?t<(k+1){\delta }_n$的唯一整數.

$\text{Definition?13?}$設正測度為一映射$f:{\mathfrak{M}}_X\to [0,\infty ]$,如果若$\{A_i\}是正交可列集$,那么$\mu (\underset{i=1}{\overset{\infty }{?}}{A}_i)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_i)$.

若一個可測空間$(X,\mathfrak{M})$具有一個定義在$\mathfrak{M}$上的正測度$f$,稱其為測度空間,記為$(X,\mathfrak{M},f)$.

我們終于看見了這個理論中熟悉的一面.如果$X$指為樣本集$S$,那么$\mathfrak{M}$成為$S$上的事件$A$的集合,從而事件的概率為$P:\{A|A?\mathcal{P}(S)\}\to [0,1]$的映射,因為$[0,1]?[0,\infty ]$,所以$P$是合理定義的,從而所有在基本概率論中的公理可以推及測度空間的定理,絕大部分測度空間的定理可以用概率測度幫助理解.

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并根據上文,我們現在有了一個測度空間$(X,\mathfrak{M},\mu )$,以下所有的定理圍繞這個假定展開.

下文中的$s$是這樣的一個映射:
$s$是可測的非負簡單函數,定義$\mathrm{i}\mathrm{m}s=\{s_1,s_2,..,s_n\}$,并設$S_i=\{x\in X|s(x)=s_i\}$.

$\text{Definition?14}$若$E\in \mathfrak{M}$,定義$s$關于測度$\mu$的積分:
$${\int }_{E}s\mathrm{d}\mu =\sum _{i=1}^n{s}_i\mu (S_i\cap E)$$

規定$0?\infty =0$,這樣一個積分擁有良好的定義.

由定理11可以定義所有$f:X\to [0,\infty ]$的可測函數的積分:
$${\int }_{E}f\mathrm{d}\mu =\underset{s?f}{\sup }{\int }_{E}s\mathrm{d}\mu$$

左側積分被稱為$\text{Lebesgue}$積分,并可寫作$L_{\mu }(f):\mathfrak{M}\to [0,\infty ]$,若測度明顯給定,簡記為$L(f)$.

$\text{Lebesgue}$積分根據測度空間的特征,擁有下列性質:
$\text{Property?15}$
(1)若$0?f?g$,那么$(L(f))(E)?(L(g))(E)$.
(2)若$f?0$,且$A?B$,那么$(L(f))(A)?(L(f))(B)$.
(3)若$c\in [0,\infty )$,且$f?0$,那么$(L(cf))(E)=c(L(f))(E)$.
(4)若$f=0或\mu =0$,那么即使$\mu (E)=\infty 或每一個x\in E,f(x)=\infty$,都有$(L(f))(E)=0$.
(5)若$f?0$,那么$(L(f))(E)=(L({\mathcal{X}}_{E}f))(X)$.
(6)設$\phi =L(f)$,那么$\phi$仍然是一個測度.
(7)設$s,t$均是上面定義的非負簡單函數,那么$(L(s+t))(E)=(L(s))(E)+(L(t))(E)$.

提示:(1)用$\sup$的性質;(2)設$B=A\cup C$,并用正測度的性質;(5)用$\mu (E\cup E^c){\mathcal{X}}_E=\mu (E)$;(6)用正測度的性質;(7)把$s+t$分為新的簡單函數取值段$\{x|x=s_i+t_j\}$,并利用有限和式的性質.

$\text{Theorem?16?}$設$\{f_n\}$為$X$上一可測的單增函數序列.
且假設其點態極限為$f$,我們根據定理12,$f$是可測的.于是:
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_X{f}_n\mathrm{d}\mu ={\int }_{X}f\mathrm{d}\mu$$

證明:由性質15,$\int f_n?\int f_{n+1}$,由廣義的單調有界定理,$?\alpha \in [0,\infty ],s.t{\int }_X{f}_n\mathrm{d}\mu =\alpha$.
因為任意$f_n?f$,所以$\alpha ?{\int }_{X}f\mathrm{d}\mu$.
考慮一個$E_n=\{x|f_n(x)?cs(x)\}$,其中$c$是任意的一個$0<c<1$,s是任意一個$0?s?f$.
得$\alpha =\underset{c\to 1}{\lim }\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_X{f}_n\mathrm{d}\mu ?\underset{c\to 1}{\lim }\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{E_n}cs\mathrm{d}\mu ?\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{E_n}s\mathrm{d}\mu ?{\int }_{X}s\mathrm{d}\mu$.
取$s={\sup }_{s?f}s$即可.

$\text{Theorem?17}$設$\{f_n\}$每項均是$X\to [0,\infty ]$的可測函數.
那么$${\int }_X\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n\mathrm{d}\mu =\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_X{f}_n\mathrm{d}\mu$$

提示:令$g_m={\int }_X\sum _{n=1}^m{f}_n\mathrm{d}\mu$,證明其符號交換的可行性,并用定理16.

以下定理表明算子$\mathrm{d}$在勒貝格積分下的一階微分不變性.
$\text{Theorem?18?}$
設$f:X\to [0,\infty ]$可測,且
$$\phi (E)={\int }_{E}f\mathrm{d}\mu (E\in \mathfrak{M})$$
性質15.6說$\phi$也是個測度.
則對任意可測的$g:X\to [0,\infty ]$,有
$${\int }_{E}g\mathrm{d}\phi ={\int }_{E}gf\mathrm{d}\mu$$
把"${\int }_{E}g$"拿去,該定理同樣可以寫作$d\phi =f\mathrm{d}\mu$.

$\text{Definition?19?}$說性質$P$在$E?X$上幾乎處處成立,就是在說對于一個正測度$\mu$,如果$N?E$,若$\mu (N)?=0$,則性質$P$成立,若$\mu (N)=0$,則性質$P$不一定成立.
把$\mu (N)=0$的集$N$稱為零測度集.

這篇文章以下面一個定理結束.它說明了任意正測度$\mu$的完備化過程,因此我們可以假定任意正測度都是完備的.

$\text{Theorem?20?}$設$(X,\mathfrak{M},\mu )$是一個測度空間,構造一個$(X,{\mathfrak{M}}^{\prime },{\mu }^{\prime })$,使得若$A,B\in \mathfrak{M},A?B$,且$\mu (B?A)=0$,但有$R?X,R?\in \mathfrak{M}$,我們就令$R\in {\mathfrak{M}}^{\prime }$,且${\mu }^{\prime }(R)=\mu (A)$.
這種完備化是合理的,并有,若$f:X\to [0,\infty ]$可測,有:
$${\int }_{E}fd\mu ={\int }_{E}fd{\mu }^{\prime }$$
可以證明$(X,{\mathfrak{M}}^{\prime },{\mu }^{\prime })$依然是一個測度空間.把${\mu }^{\prime }$稱作完備測度.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的测度上Lebesgue积分的确定的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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