测度上Lebesgue积分的确定
本文假定讀者有基本的測度論知識,故僅對測度做簡單介紹.
Definition?1?\text{Definition 1 }Definition?1?集合XXX的子集族τ\tauτ稱為拓撲,若τ\tauτ滿足(1)?,X∈τ\varnothing ,X\in \tau?,X∈τ;(2)可列元素的交的封閉性;(3)有限、可列、或不可列元素的并的封閉性.
這樣(X,τ)(X,\tau)(X,τ)被稱為一個拓撲空間,若x∈τx\in \taux∈τ,稱xxx是開集.
Definition?2?\text{Definition 2 }Definition?2?集合XXX的子集族M\mathfrak{M}M稱為σ?\sigma-σ?代數,若τ\tauτ滿足(1)X∈τX\in \tauX∈τ;(2)補集元素的封閉性(交集逆元);(3)可列元素的并的封閉性.
這樣(X,M)(X,\mathfrak{M})(X,M)被稱為一個可測空間,若x∈Mx\in \mathfrak{M}x∈M,稱xxx是可測集.
注:M\mathfrak{M}M滿足除了不可列元素并的封閉性以外拓撲空間的所有性質.
Defintion?3?\text{Defintion 3 }Defintion?3?設XXX是一個拓撲空間,則XXX中存在一個最小的σ?\sigma-σ?代數B\mathscr{B}B使得τ?B\tau\subset\mathscr{B}τ?B.若x∈Bx\in \mathscr{B}x∈B,稱xxx是Borel\text{Borel}Borel集.
Defintion?4?\text{Defintion 4 }Defintion?4?若X,YX,YX,Y是拓撲空間,設f:X→Yf:X\to Yf:X→Y,若f?1(τY)?τXf^{-1}(\tau_Y)\subseteq \tau_Xf?1(τY?)?τX?,那么稱fff是連續的.
Defintion?5?\text{Defintion 5 }Defintion?5?若X,YX,YX,Y分別是可測空間和拓撲空間,設f:X→Yf:X\to Yf:X→Y,若f?1(τY)?MXf^{-1}(\tau_Y)\subseteq \mathfrak{M}_Xf?1(τY?)?MX?,那么稱fff是可測的.
Defintion?6?\text{Defintion 6 }Defintion?6?若YYY是拓撲空間,XXX上有一B\mathscr{B}B,設f:X→Yf:X\to Yf:X→Y,若f?1(τY)?BXf^{-1}(\tau_Y)\subseteq \mathscr{B}_Xf?1(τY?)?BX?,那么稱fff是Borel\text{Borel}Borel可測的.
設廣義實域R ̄=R∪{?∞,+∞}\overline{R}=R\cup \{-\infty,+\infty\}R=R∪{?∞,+∞},下界符號inf?\infinf,上界符號sup?\supsup,特征函數XE(x)=[x∈E]\mathcal{X}_E(x)=[x\in E]XE?(x)=[x∈E].若我們說f:X→Yf:X\to Yf:X→Y可測,則假定X,YX,YX,Y分別是可測空間和拓撲空間.
先給出一個引理:
Lemma?7?\text{Lemma 7 }Lemma?7?若f:X→Yf:X\to Yf:X→Y將XXX,YYY的開集或可測集映射,那么在X,YX,YX,Y容許的封閉性下.
若x,y∈P(P是MX或τX)x,y\in P(P是\mathfrak{M}_X或\tau_X)x,y∈P(P是MX?或τX?),那么f(x∪y)=f(x)∪f(y),f(x∩y)=f(x)∩f(y)f(x\cup y)=f(x)\cup f(y),f(x\cap y)=f(x)\cap f(y)f(x∪y)=f(x)∪f(y),f(x∩y)=f(x)∩f(y),
若x,y∈P(P是MY或τY)x,y\in P(P是\mathfrak{M}_Y或\tau_Y)x,y∈P(P是MY?或τY?),那么f?1(x∪y)=f?1(x)∪f?1(y),f?1(x∩y)=f?1(x)∩f?1(y)f^{-1}(x\cup y)=f^{-1}(x)\cup f^{-1}(y),f^{-1}(x\cap y)=f^{-1}(x)\cap f^{-1}(y)f?1(x∪y)=f?1(x)∪f?1(y),f?1(x∩y)=f?1(x)∩f?1(y),
這個引理體現了拓撲空間和可測空間的良好性質.有了這個引理,下面幾個定理都好證了.
Theorem?8?\text{Theorem 8 }Theorem?8?
(1)若f:X→Yf:X\to Yf:X→Y可測,g:Y→Zg:Y\to Zg:Y→Z連續,則g°fg\circ fg°f可測;
(2)若f:X→Yf:X\to Yf:X→Y連續,g:Y→Zg:Y\to Zg:Y→Z連續,則g°fg\circ fg°f連續.
(3)若f:X→Yf:X\to Yf:X→Y可測,g:Y→ZBorelg:Y\to Z \text{Borel}g:Y→ZBorel可測,則g°fg\circ fg°f可測;
Theorem?9?\text{Theorem 9 }Theorem?9?設X,YX,YX,Y分別是可測空間和拓撲空間,有一映射f:X→Yf:X\to Yf:X→Y
(1)設Ω={E?Y∣f?1(E)∈MX}\Omega=\{E\subset Y|f^{-1}(E)\in \mathfrak{M}_X\}Ω={E?Y∣f?1(E)∈MX?}.那么Ω\OmegaΩ是XXX上的σ?\sigma-σ?代數.
(2)設fff可測,若E∈BYE\in \mathscr{B}_YE∈BY?,那么f?1(E)∈MXf^{-1}(E)\in \mathfrak{M}_Xf?1(E)∈MX?.
(3)設Y=R ̄Y=\overline {R}Y=R,且對于任意α∈R\alpha\in Rα∈R,f?1((α,∞])∈MXf^{-1}((\alpha,\infty])\in \mathfrak{M}_Xf?1((α,∞])∈MX?,那么fff可測.
Theorem?10?\text{Theorem 10 }Theorem?10?設{fn}\{f_n\}{fn?}是X→R ̄X\to \overline{R}X→R上可測的.那么sup?n?1fn\displaystyle \sup_{n\geqslant 1} f_nn?1sup?fn?和lim? ̄n→∞fn\underset{n\to \infty}{\overline{\lim}} f_nn→∞lim?fn?均可測.
Definition?11?\text{Definition 11 }Definition?11?設s:X→[0,∞)s:X\to [0,\infty)s:X→[0,∞),并有∣ims∣<∞|\mathrm{im}s|<\infty∣ims∣<∞,我們知道ims\mathrm{im}sims是可列的,設其中的元素為αi,i=1...∣ims∣\alpha_i,i=1...|\mathrm{im} s|αi?,i=1...∣ims∣.因此=∑i=1nαiX{x∣s(x)=αi}\displaystyle =\sum_{i=1}^n \alpha_i \mathcal{X}_{\{x|s(x)=\alpha_i\}}=i=1∑n?αi?X{x∣s(x)=αi?}?.
Theorem?12?\text{Theorem 12 }Theorem?12?設f:X→[0,∞]f:X\to [0,\infty]f:X→[0,∞]可測,那么
(1)存在XXX上一單增簡單函數序列{sn}\{s_n\}{sn?}滿足sup?n→∞sn=f\displaystyle \sup_{n\to \infty} s_n=fn→∞sup?sn?=f.
(2)存在XXX上一簡單函數序列{sn}\{s_n\}{sn?}的點態極限為fff.
這一個定理不如之前那些定理好證.書上給出了一個函數列的構造φn(t)=kn(t)δn\varphi_n(t)=k_n(t)\delta_nφn?(t)=kn?(t)δn?,若0?t<n0\leqslant t<n0?t<n,否則φn(t)=n\varphi_n(t)=nφn?(t)=n.
其中定義kn(t)k_n(t)kn?(t)為使得kδn?t<(k+1)δnk\delta_n\leqslant t < (k+1)\delta_nkδn??t<(k+1)δn?的唯一整數.
Definition?13?\text{Definition 13 }Definition?13?設正測度為一映射f:MX→[0,∞]f:\mathfrak{M}_X\to [0,\infty]f:MX?→[0,∞],如果若{Ai}是正交可列集\{A_i\}是正交可列集{Ai?}是正交可列集,那么μ(?i=1∞Ai)=∑i=1∞μ(Ai)\displaystyle \mu(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_i)μ(i=1?∞?Ai?)=i=1∑∞?μ(Ai?).
若一個可測空間(X,M)(X,\mathfrak{M})(X,M)具有一個定義在M\mathfrak{M}M上的正測度fff,稱其為測度空間,記為(X,M,f)(X,\mathfrak{M},f)(X,M,f).
我們終于看見了這個理論中熟悉的一面.如果XXX指為樣本集SSS,那么M\mathfrak{M}M成為SSS上的事件AAA的集合,從而事件的概率為P:{A∣A?P(S)}→[0,1]P:\{A|A\subset \mathcal{P}(S)\}\to [0,1]P:{A∣A?P(S)}→[0,1]的映射,因為[0,1]?[0,∞][0,1]\subset[0,\infty][0,1]?[0,∞],所以PPP是合理定義的,從而所有在基本概率論中的公理可以推及測度空間的定理,絕大部分測度空間的定理可以用概率測度幫助理解.
并根據上文,我們現在有了一個測度空間(X,M,μ)(X,\mathfrak{M},\mu)(X,M,μ),以下所有的定理圍繞這個假定展開.
下文中的sss是這樣的一個映射:
sss是可測的非負簡單函數,定義ims={s1,s2,..,sn}\mathrm{im}s=\{s_1,s_2,..,s_n\}ims={s1?,s2?,..,sn?},并設Si={x∈X∣s(x)=si}S_{i}=\{x\in X|s(x)=s_i\}Si?={x∈X∣s(x)=si?}.
Definition?14\text{Definition 14}Definition?14若E∈ME\in \mathfrak{M}E∈M,定義sss關于測度μ\muμ的積分:
∫Esdμ=∑i=1nsiμ(Si∩E)\int_{E} s\mathrmze8trgl8bvbq\mu=\sum_{i=1}^n s_i\mu(S_i\cap E)∫E?sdμ=i=1∑n?si?μ(Si?∩E)
規定0?∞=00\cdot \infty =00?∞=0,這樣一個積分擁有良好的定義.
由定理11可以定義所有f:X→[0,∞]f:X\to [0,\infty]f:X→[0,∞]的可測函數的積分:
∫Efdμ=sup?s?f∫Esdμ\int _E f\mathrmze8trgl8bvbq \mu=\sup_{s\leqslant f}\int _E s\mathrmze8trgl8bvbq \mu∫E?fdμ=s?fsup?∫E?sdμ
左側積分被稱為Lebesgue\text{Lebesgue}Lebesgue積分,并可寫作Lμ(f):M→[0,∞]L_\mu(f):\mathfrak{M}\to [0,\infty]Lμ?(f):M→[0,∞],若測度明顯給定,簡記為L(f)L(f)L(f).
Lebesgue\text{Lebesgue}Lebesgue積分根據測度空間的特征,擁有下列性質:
Property?15\text{Property 15}Property?15
(1)若0?f?g0\leqslant f\leqslant g0?f?g,那么(L(f))(E)?(L(g))(E)(L(f))(E)\leqslant (L(g))(E)(L(f))(E)?(L(g))(E).
(2)若f?0f\geqslant 0f?0,且A?BA\subset BA?B,那么(L(f))(A)?(L(f))(B)(L(f))(A)\leqslant (L(f))(B)(L(f))(A)?(L(f))(B).
(3)若c∈[0,∞)c\in [0,\infty)c∈[0,∞),且f?0f\geqslant 0f?0,那么(L(cf))(E)=c(L(f))(E)(L(cf))(E)=c(L(f))(E)(L(cf))(E)=c(L(f))(E).
(4)若f=0或μ=0f=0或\mu=0f=0或μ=0,那么即使μ(E)=∞或每一個x∈E,f(x)=∞\mu(E)=\infty或每一個x\in E,f(x)=\inftyμ(E)=∞或每一個x∈E,f(x)=∞,都有(L(f))(E)=0(L(f))(E)=0(L(f))(E)=0.
(5)若f?0f\geqslant 0f?0,那么(L(f))(E)=(L(XEf))(X)(L(f))(E)=(L(\mathcal{X}_Ef))(X)(L(f))(E)=(L(XE?f))(X).
(6)設φ=L(f)\varphi=L(f)φ=L(f),那么φ\varphiφ仍然是一個測度.
(7)設s,ts,ts,t均是上面定義的非負簡單函數,那么(L(s+t))(E)=(L(s))(E)+(L(t))(E)(L(s+t))(E)=(L(s))(E)+(L(t))(E)(L(s+t))(E)=(L(s))(E)+(L(t))(E).
提示:(1)用sup?\supsup的性質;(2)設B=A∪CB=A\cup CB=A∪C,并用正測度的性質;(5)用μ(E∪Ec)XE=μ(E)\mu(E\cup E^c)\mathcal{X}_E=\mu(E)μ(E∪Ec)XE?=μ(E);(6)用正測度的性質;(7)把s+ts+ts+t分為新的簡單函數取值段{x∣x=si+tj}\{x|x=s_i+t_j\}{x∣x=si?+tj?},并利用有限和式的性質.
Theorem?16?\text{Theorem 16 }Theorem?16?設{fn}\{f_n\}{fn?}為XXX上一可測的單增函數序列.
且假設其點態極限為fff,我們根據定理12,fff是可測的.于是:
lim?n→∞∫Xfndμ=∫Xfdμ\lim_{n\to \infty} \int _{X} f_n \mathrmze8trgl8bvbq\mu=\int _{X} f\mathrmze8trgl8bvbq\mun→∞lim?∫X?fn?dμ=∫X?fdμ
證明:由性質15,∫fn?∫fn+1\int f_n\leqslant \int f_{n+1}∫fn??∫fn+1?,由廣義的單調有界定理,?α∈[0,∞],s.t∫Xfndμ=α\exists \alpha \in [0,\infty],s.t \displaystyle \int _{X}f_n \mathrmze8trgl8bvbq\mu= \alpha?α∈[0,∞],s.t∫X?fn?dμ=α.
因為任意fn?ff_n\leqslant ffn??f,所以α?∫Xfdμ\alpha\leqslant \displaystyle \int _{X}f \mathrmze8trgl8bvbq\muα?∫X?fdμ.
考慮一個En={x∣fn(x)?cs(x)}E_n=\{x|f_n(x)\geqslant cs(x)\}En?={x∣fn?(x)?cs(x)},其中ccc是任意的一個0<c<10< c<10<c<1,s是任意一個0?s?f0\leqslant s\leqslant f0?s?f.
得α=lim?c→1lim?n→∞∫Xfndμ?lim?c→1lim?n→∞∫Encsdμ?lim?n→∞∫Ensdμ?∫Xsdμ\displaystyle \alpha = \lim_{c\to 1}\lim _{n\to \infty}\int_X f_n\mathrmze8trgl8bvbq\mu\geqslant \lim_{c\to 1}\lim _{n\to \infty}\int_{E_n} cs\mathrmze8trgl8bvbq\mu\geqslant \lim _{n\to \infty}\int_{E_n} s\mathrmze8trgl8bvbq\mu\geqslant \int_{X} s\mathrmze8trgl8bvbq\muα=c→1lim?n→∞lim?∫X?fn?dμ?c→1lim?n→∞lim?∫En??csdμ?n→∞lim?∫En??sdμ?∫X?sdμ.
取s=sup?s?fss=\sup_{s\leqslant f} ss=sups?f?s即可.
Theorem?17\text{Theorem 17}Theorem?17設{fn}\displaystyle \{f_n\}{fn?}每項均是X→[0,∞]X\to [0,\infty]X→[0,∞]的可測函數.
那么∫X∑n=1∞fndμ=∑n=1∞∫Xfndμ\int _{X}\sum_{n=1}^{\infty}f_n\mathrmze8trgl8bvbq\mu=\sum_{n=1}^{\infty}\int _{X}f_n\mathrmze8trgl8bvbq\mu∫X?n=1∑∞?fn?dμ=n=1∑∞?∫X?fn?dμ
提示:令gm=∫X∑n=1mfndμg_m=\displaystyle \int _{X}\sum_{n=1}^{m}f_n\mathrmze8trgl8bvbq\mugm?=∫X?n=1∑m?fn?dμ,證明其符號交換的可行性,并用定理16.
以下定理表明算子d\mathrmze8trgl8bvbqd在勒貝格積分下的一階微分不變性.
Theorem?18?\text{Theorem 18 }Theorem?18?
設f:X→[0,∞]f:X\to [0,\infty]f:X→[0,∞]可測,且
φ(E)=∫Efdμ(E∈M)\varphi(E)=\int _{E} f\mathrmze8trgl8bvbq\mu\ \ \ \ (E\in \mathfrak{M})φ(E)=∫E?fdμ????(E∈M)
性質15.6說φ\varphiφ也是個測度.
則對任意可測的g:X→[0,∞]g:X\to [0,\infty]g:X→[0,∞],有
∫Egdφ=∫Egfdμ\int _{E} g\mathrmze8trgl8bvbq\varphi=\int _{E} gf\mathrmze8trgl8bvbq\mu∫E?gdφ=∫E?gfdμ
把"∫Eg\int _{E} g∫E?g"拿去,該定理同樣可以寫作dφ=fdμd\varphi=f\mathrmze8trgl8bvbq\mudφ=fdμ.
Definition?19?\text{Definition 19 }Definition?19?說性質PPP在E?XE\subset XE?X上幾乎處處成立,就是在說對于一個正測度μ\muμ,如果N?EN\subset EN?E,若μ(N)≠0\mu(N)\neq 0μ(N)??=0,則性質PPP成立,若μ(N)=0\mu(N)=0μ(N)=0,則性質PPP不一定成立.
把μ(N)=0\mu(N)=0μ(N)=0的集NNN稱為零測度集.
這篇文章以下面一個定理結束.它說明了任意正測度μ\muμ的完備化過程,因此我們可以假定任意正測度都是完備的.
Theorem?20?\text{Theorem 20 }Theorem?20?設(X,M,μ)(X,\mathfrak{M},\mu)(X,M,μ)是一個測度空間,構造一個(X,M′,μ′)(X,\mathfrak{M}',\mu')(X,M′,μ′),使得若A,B∈M,A?BA,B\in \mathfrak{M},A\subset BA,B∈M,A?B,且μ(B?A)=0\mu(B-A)=0μ(B?A)=0,但有R?X,R?∈MR\subset X,R\not \in \mathfrak{M}R?X,R??∈M,我們就令R∈M′R\in \mathfrak{M}'R∈M′,且μ′(R)=μ(A)\mu'(R)=\mu(A)μ′(R)=μ(A).
這種完備化是合理的,并有,若f:X→[0,∞]f:X\to [0,\infty]f:X→[0,∞]可測,有:
∫Efdμ=∫Efdμ′\int _E f d\mu =\int _E f d\mu' ∫E?fdμ=∫E?fdμ′
可以證明(X,M′,μ′)(X,\mathfrak{M}',\mu')(X,M′,μ′)依然是一個測度空間.把μ′\mu'μ′稱作完備測度.
總結
以上是生活随笔為你收集整理的测度上Lebesgue积分的确定的全部內容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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