在直角坐標系下，求下列直線的公垂線方程.
\begin{equation}
\begin{cases}
x+y=1\\
z=0\\
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{cases}
? x-z=-1\\
2y+z=2\\
\end{cases}
\end{equation}
直線1的標準方程為
\begin{equation}
? \frac{x}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{0}
\end{equation}
直線2的標準方程為
\begin{equation}
? \frac{x}{1}=\frac{y-\frac{1}{2}}{\frac{-1}{2}}=\frac{z-1}{1}
\end{equation}
因此直線1的方向向量是$(1,-1,0)$,直線2的方向向量為
$(1,\frac{-1}{2},1)$.設公垂線的方向向量為$(x_0,y_0,z_0)$,則
\begin{equation}
\begin{cases}
? x_0=y_0\\
x_0-\frac{1}{2}y_0+z_0=0\\
\end{cases}
\end{equation}
所以公垂線的方向向量可以是$(2,2,-1)$.所以公垂線方程是
\begin{equation}
? \frac{x-a}{2}=\frac{y-b}{2}=\frac{z-c}{-1}
\end{equation}

聯立方程6和方程1可得交點坐標是$(a+2c,b+2c,0)$.且$a+b+4c=1$.聯立方程6和
方程2可得交點坐標為
$(\frac{1+2a-2b}{3},\frac{1-a+b}{3},\frac{4+2a-2b}{3})$.且
$a-2b-2c=-3$.
且
$$
\begin{align*}
(a+2c,b+2c,0)-(\frac{1+2a-2b}{3},\frac{1-a+b}{3},\frac{4+2a-2b}{3})&\\=(\frac{a+2b+6c-1}{3},\frac{a+2b+6c-1}{3},\frac{2b-2a-4}{3})
\end{align*}
$$
我們可得
\begin{equation}
\frac{a+2b+6c-1}{3}-\frac{a+2b+6c-1}{6}+\frac{2b-2a-4}{3}=0
\end{equation}
即
\begin{equation}
? -a+6b+6c-9=0
\end{equation}
于是我們得
\begin{equation}
? \begin{cases}
? ? a+b+4c=1\\
a-2b-2c=-3\\
-a+6b+6c=9\\
? \end{cases}
\end{equation}
于是
\begin{equation}
? \begin{cases}
? ? a=0\\
b=\frac{5}{3}\\
c=\frac{-1}{6}\\
? \end{cases}
\end{equation}
于是公垂線方程為
\begin{equation}
? \frac{x}{2}=\frac{y-\frac{5}{3}}{2}=\frac{z+\frac{1}{6}}{-1}
\end{equation}

轉載于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/08/12/3828045.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《几何与代数导引》习题1.36.2的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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